基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷參考文獻：檢測研究

摘 要：文章以基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型為主要研究對象，通過正演模擬和試驗研究驗證該模型對于隧道建設工程內部缺陷檢測的準確性和適用性。結果表明：該模型可以實現對隧道建設工程內部缺陷的精確檢測和評估，為隧道建設工程的施工和質量評估提供重要的理論依據和技術支持，也可為其他相關領域的缺陷檢測研究提供新的思路和方法。

關鍵詞：隧道建設；缺陷檢測；FDTD算法；正演模擬；傳播特性

中圖分類號：U456A401364

0 引言

隧道建設工程在現代城市發展中起著至關重要的作用［1］。然而，隧道在使用過程中可能會出現如裂縫、空洞或材料損壞等一些內部缺陷，這些缺陷可能會對隧道的結構穩定性和使用安全性產生嚴重影響［2-3］。因此，及早發現和修復這些缺陷對于保障隧道的正常運行具有重要意義。目前，隧道內部缺陷的檢測方法主要依賴于傳統的人工巡檢和無損檢測技術，這些方法存在一些固有的局限性，如人工巡檢需要耗費大量的時間和人力資源，并且在檢測過程中存在主觀判斷的不確定性；而無損檢測技術雖然能夠對隧道內部進行全面的檢測，但其成本較高，且依賴于設備和操作者的技術水平［4-6］。FDTD（Finite Difference Time Domain，簡稱FDTD）算法是一種數值計算方法，通過離散化的空間和時間來模擬電磁波在介質中的傳播。該算法具有高度的計算精度和靈活性，并且能夠模擬各種復雜的電磁波傳播現象。因此，本文研究以基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型為主要研究對象，通過正演模擬和試驗研究驗證該模型對于隧道建設工程內部缺陷檢測的準確性和適用性。此外，希望此次研究能為其他相關領域的缺陷檢測研究提供一種新的思路和方法。

1 時域有限差分法研究

時域有限差分算法是一種數值分析技術，用于模擬計算電動力學［7］。時域有限差分法的基本思想是用中心差商代替場量對時間和空間的一階偏微商，通過在時域的遞推模擬波的傳播過程，從而得出場分布［8］。然后，通過在每個網格上求解麥克斯韋方程組的有限差分方程，可以得到每個時間步長的電磁場分布。時域有限差分法的穩定性是指該方法在模擬過程中是否能夠準確地捕捉到電磁波的傳播行為，并且計算結果的誤差隨時間逐漸增加，如果誤差隨時間逐漸增加，則該方法是不穩定的。為了判斷FDTD方法的穩定性，通常采用Courant穩定性條件。Courant穩定性條件表達式如下：

ΔtΔx≤12×sqrtD（1）

式中：Δt——時間步長；參考文獻：

Δx——空間步長；參考文獻：

D——空間維數。

對于一維情況，D=1，因此穩定性條件簡化后的表達式為：

Δt≤0.5×Δx（2）

為了滿足穩定性條件，時間步長和空間步長之間需要滿足一定的比例關系。如果比例過大或過小，都會導致計算不穩定。因此，在應用FDTD算法時，需要根據實際情況選擇合適的步長和差分格式，以保證計算結果的穩定性和準確性。FDTD算法中的吸收邊界條件是指用于限制模擬空間邊界的影響，以避免波在邊界上反射回來。在FDTD計算中，吸收邊界條件可以確保在邊界處的波不會反射回模擬空間，而是被邊界吸收或散射。常用的吸收邊界條件包括Mur吸收邊界條件、PML吸收邊界條件等。其中，PML吸收邊界條件通過將媒質參數設置為隨距離增加而逐漸增大的函數，使波在邊界處逐漸散射，從而達到吸收波的目的。PML介質中的TM波如圖1所示。

ML吸收邊界條件的表達式見式（3）：：

εr=1+0.001*iwavelength*1-i（3）

式中：εr——相對介電常數;

i——虛數單位;

wavelength——波長。

PML吸收邊界條件的具體實現方式可能因不同的文獻或軟件而有所不同，以上僅為其中一種常見的形式。在實際應用中，需要根據具體問題選擇合適的PML吸收邊界條件。在FDTD算法中，旋度方程是描述電磁場矢量在時域中變化的重要方程。為了實現旋度方程的差分格式，可以采用類似于FDTD算法中的有限差分方案。假設在二維空間中，電磁場用三個分量來表示。在FDTD算法中，這些分量通常被離散化為網格節點上的值。旋度方程表達式見式（4）：

×E=-Bt（4）

式中：E——電場強度矢量;參考文獻：

B——磁感應強度矢量;參考文獻：

t——時間。

為了實現差分格式，可以將空間離散化為網格節點，并使用類似于FDTD算法中的向前差分方案來對時間進行離散化。具體來說，時間可以劃分為多個時刻，每個時刻對應一個離散的時間步長。在每個時間步長內，差分格式的計算旋度方程表達式見式（5）：

SymbolQC@×E=-Bi+1，j-Bi-1，jdx/dt（5）

式中：i和j——網格節點的行列索引；參考文獻：

dx——網格節點的間距；參考文獻：

dt——時間步長。

2 基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型構建

FDTD算法作為經典的時域有限差分法，能精確模擬電磁波的傳播過程，該算法不僅可以捕捉到電磁波在隧道表面的反射和透射行為，還能對其進行定量分析，通過深度解析反射波和透射波的波形與幅度特征，進一步界定缺陷的性質和程度。為了進行探地雷達成像研究，選取GprMax2D軟件進行試驗，GprMax2D軟件是一款基于FDTD算法和PML邊界吸收條件的探地雷達正演數值模擬軟件，可以為隧道建設工程的施工和質量評估提供有力的技術支持。基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型如圖2所示。

為了確保模擬結果的穩定性，需要選擇合適的中心頻率F，中心頻率是指電磁波在傳播過程中，其電場矢量或磁場矢量的相位變化的角速度。在FDTD算法中，中心頻率指的是電磁波在模擬空間中傳播時的頻率，其決定了電磁波的波長和傳播速度。其中最高頻率Fm與中心頻率的關系表達式見式（6）：

Fm=3F（6）

在進行FDTD算法模擬時，電磁波的最小波長能夠被準確模擬。該波長取決于模擬空間的網格尺寸和時間步長，以及模擬空間的邊界條件和材料屬性等因素。中心頻率在介質中的最小波長λ表達式見式（7）：

λ=cFmεr（7）

式中：c——光速。

空間離散步長是指空間中兩個節點之間的垂直距離。在該過程模擬中，模型將整個空間離散為N個細小的網格，每個網格可以視為屬性均一的單元，該網格的邊長就是空間離散步長。空間離散步長Δl與λ的關系表達式見式（8）：

Δl=λ10（8）

在設定測量模型中氏網格的步長時，需滿足的條件見式（9）：

Δx=Δy=Δl（9）

為了提高目標體的離散精度和測量效果，通常會將網格步長設定得較小。然而，過小的網格步長會導致計算量增大，耗費時間和計算內存。因此，在滿足每個目標體含有至少N個網格單元的情況下，適當地調整網格步長可以滿足計算要求，同時能平衡計算精度和計算資源的使用。基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型電磁參數如表1所示。

3 基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型結果分析

為驗證基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型的準確性與適用性，此次研究對隧道內部襯砌-圍巖、圓形空洞及矩形空洞等常見缺陷實施了正演模擬，并結合實際工程案例進行實證分析。在某市的高速公路隧道建設項目中，將研究模型應用于施工前的缺陷檢測。該隧道長約2 km，地質條件復雜，施工難度大，對隧道內部結構的完整性要求極高。通過FDTD算法，對隧道內部結構進行模擬分析，預測潛在的缺陷類型與位置。在模擬過程中，對不同缺陷類型進行了細致的正演模擬，并結合電磁波在分界面上的傳播特性進行試驗研究。試驗中采用多種天線與測量設備，以獲取不同角度與距離的測量數據。隧道建設工程內部襯砌-圍巖的層狀模擬圖如圖3所示。

由圖3可知，圖3（a）為襯砌-圍巖電磁波模擬數據的合成圖，其中時窗長度為12 ns，傳播距離為0.9 m。結合表1可以得知網格步長為0.002，中心頻率為900 MHz，由此可知研究模型共采集150道模擬數據。圖3（b）為襯砌-圍巖電磁波地電模型，模型的大小為0.9 m×0.6 m，混凝土的厚度為25 cm。圖3（c）是襯砌-圍巖電磁波第70道的反射波形圖。隨著雙時走程的增加，襯砌-圍巖的電磁波能量逐漸衰減。當雙時走程達到0.9 ns時，出現第一個反射界面。當雙時走程達到5.3 ns時，出現第二個反射界面。綜上所述，基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型可以模擬電磁波在隧道內部和缺陷部位的交互過程，從而幫助檢測和評估隧道內部的缺陷和損傷。

隧道建設工程內部圓形空洞缺陷模型模擬圖如圖4所示。由圖4可知，圖4（a）為圓形空洞缺陷電磁波模擬數據的合成圖。當電磁波在隧道建設工程內部遇到圓形空洞缺陷時，基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型呈現出雙曲線形狀。圖4（b）展示了圓形空洞缺陷的電磁波地電模型圖，該圓形缺陷的半徑為15 cm，混凝土厚度為10 cm。圖4（c）為圓形空洞缺陷電磁波第70道的反射波形圖，隨著雙時走程的增加，電磁波遇到圓形空洞缺陷時會發生反射。當雙時走程達到0.9 ns時，出現第一個反射界面；當雙時走程達到2.9 ns時，出現第二個反射界面；當雙時走程達到4.8 ns時，出現第三個反射界面。綜上所述，基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型可以幫助檢測和預防潛在的安全隱患，提高隧道的使用壽命和安全性。

隧道建設工程內部矩形空洞缺陷模型模擬圖如圖5所示。由圖5可知，圖5（a）為矩形空洞缺陷電磁波模擬數據的合成圖。當電磁波在隧道建設工程內部遇到矩形空洞缺陷時，基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型呈現出平鍋蓋形，且中心區域呈現出繞射現象。這表明矩形空洞缺陷對電磁波的傳播產生了明顯的影響。圖5（b）展示了矩形空洞缺陷的電磁波地電模型，該模型的大小為0.9 m×0.6 m，混凝土的厚度為10 cm，矩形空洞缺陷的長為20 cm，高為10 cm。圖5（c）是矩形空洞缺陷電磁波第70道的反射波形圖。隨著雙時走程的增加，電磁波遇到矩形空洞缺陷時會發生反射。當雙時走程達到0.9 ns時，出現第一個反射界面；當雙時走程達到2.9 ns時，出現第二個反射界面；當雙時走程達到4.2 ns時，出現第三個反射界面。這些反射界面可以提供關于矩形空洞缺陷的重要信息，如位置、大小和形狀。綜上所述，基于FDTD算法的隧道建設工程內部缺陷檢測模型能夠準確地模擬和分析矩形空洞缺陷對電磁波傳播的影響，可以幫助人們更好地理解和評估隧道建設工程內部缺陷對整個工程安全性的影響。

4 結語

此次研究對常見的隧道建設工程內部襯砌-圍巖、圓形空洞和矩形空洞缺陷進行了正演模擬，并結合電磁波在分界面上的傳播特性進行了試驗研究，通過對模擬和試驗結果的分析和討論，發現襯砌-圍巖在第70道反射波形的雙時走程增加時，其電磁波能量逐漸衰減。當雙時走程達到0.9 ns時，觀測到第一個反射界面；當雙時走程達到5.3 ns時，出現第二個反射界面。對于圓形空洞缺陷，在第70道反射波形的雙時走程增加的情況下，電磁波在遇到圓形空洞缺陷時會發生反射，首個反射界面出現在雙時走程為0.9 ns時，而第二個和第三個反射界面分別在雙時走程為2.9 ns和4.8 ns時出現。矩形空洞缺陷的反射波亦顯示了類似的結果，隨著雙時走程的增加，電磁波遇到矩形空洞缺陷時會發生反射，首個反射界面在雙時走程為0.9 ns時出現，而后續的反射界面分別在雙時走程為2.9 ns和4.2 ns時出現。由此可知，此次研究模型可以實現對隧道建設工程內部缺陷的精確檢測和評估，為隧道建設工程的施工和質量評估提供重要的理論依據和技術支持。

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