融合思政元素的工科概率統(tǒng)計與隨機過程案例設計

［摘 要］概率統(tǒng)計與隨機過程作為研究并揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學分支，是利用數(shù)學知識解決復雜工程問題的理論基礎。在工科專業(yè)人才培養(yǎng)過程中，學生人文素養(yǎng)的培養(yǎng)是不可忽視的重要環(huán)節(jié)。因此，在概率統(tǒng)計與隨機過程課程教學過程中，可將理論知識與工科專業(yè)背景相結合，引入融合思政元素的工科課程教學案例，幫助學生更好地理解理論知識、提升個人素質與修養(yǎng)。

［關鍵詞］概率統(tǒng)計與隨機過程；課程思政；教學案例；工科專業(yè)；大學教育

［中圖分類號］G641 ［文獻標識碼］A ［文章編號］2095-3437（2024）23-0107-04

2016年，全國高校思想政治工作會議在北京召開，習近平總書記出席會議并發(fā)表重要講話。他強調，高校思想政治工作關系高校培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人這個根本問題，要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面。

概率統(tǒng)計與隨機過程課程是重要的自然科學類核心基礎課程，包含概率論、數(shù)理統(tǒng)計和隨機過程三大模塊[1]，其與科學實驗和工程實踐存在密切聯(lián)系，是信息論、可靠性理論、人工智能等前沿學科的基礎。在課程教學過程中，應將理論知識與工科專業(yè)背景相結合，設計相關教學案例，有助于學生更好地提升理論水平與實踐能力。與此同時，應在案例教學中融入思政元素，將知識傳授和價值引領相結合，通過潛移默化、循循善誘的方式，幫助學生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，加強學生個人素質與修養(yǎng)的培養(yǎng)[2-4]。

在上述背景下，本文將設計具有工科專業(yè)背景、課程思政育人元素的教學案例，并將教學案例與原有課程知識體系相融合。

一、戰(zhàn)術上重視、戰(zhàn)略上輕視——小概率事件

例1 中國民用航空局發(fā)布的《2023年民航行業(yè)發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2023年，民航安全運行平穩(wěn)可控，運輸航空百萬架次重大事故率十年滾動值為0.0249。從中可以看出，飛機發(fā)生事故的概率非常小，是目前最安全的交通工具之一。假設每架飛機每次飛行時是否發(fā)生重大事故相互獨立且概率相同，試計算在累計經歷過1萬次、10萬次、100萬次、1000萬次飛行后，飛機發(fā)生重大事故的概率。

解 根據(jù)題意可知每萬架次飛機發(fā)生重大事故的概率為0.0249%。設飛機發(fā)生事故的次數(shù)為[X]，則經歷過[n]萬次飛行后，飛機發(fā)生重大事故的概率為

[P{X≥1}=1-P{X=0}=1-（1-0.0249%）n]。

當[n]分別取1，10，100，1000時，飛機發(fā)生重大事故的概率具體為

1萬次：[P{X≥1}=0.0249%]

10萬次：[P{X≥1}=0.249%]

100萬次：[P{X≥1}=2.460%]

1000萬次：[P{X≥1}=22.044%]

課程思政教學 通過對飛機發(fā)生重大事故的概率的計算，幫助學生辯證地看待小概率事件，培養(yǎng)學生的辯證思維能力。一方面，不用過分關注小概率事件，避免因噎廢食。另一方面，只要重復次數(shù)足夠多，即使是小概率事件，其發(fā)生也具有必然性。因此，對于小概率事件，應該做到戰(zhàn)略上輕視、戰(zhàn)術上重視，盡可能降低飛機發(fā)生重大事故的概率，同時減小重大事故的影響。

二、事故調查有方向——貝葉斯公式

例2 馬航MH370航班在2014年3月8日從吉隆坡飛往北京途中失蹤，事件引起了國際社會的廣泛關注。對MH370航班實施的涉及多國的搜尋是航空史上規(guī)模最大、成本最高的搜尋之一，根據(jù)衛(wèi)星數(shù)據(jù)分析，搜尋重點放在印度洋南部的偏遠海域。長時間的搜尋盡管使用了深海潛水器和其他先進技術，但并沒有找到飛機的主體部分。

假設飛機墜落在甲、乙、丙、丁四個區(qū)域之一，搜救部門判斷其概率分別為0.1，0.2，0.6，0.1。現(xiàn)打算逐次搜索不同的區(qū)域。若飛機墜落在某個區(qū)域內，搜救部門在該區(qū)域搜索一次后發(fā)現(xiàn)飛機的概率為0.5。問：若首次搜索丙區(qū)域后，未發(fā)現(xiàn)飛機，則此時飛機落入四個區(qū)域的概率是多少？第二次應該搜索哪個區(qū)域？

課程思政教學 貝葉斯公式可以幫助搜救團隊在有限的信息和資源下，有效地更新和優(yōu)化搜救策略。應讓學生認識到在實際生活中經驗固然是寶貴的，但是任何事物都處在發(fā)展變化之中，需要不斷挖掘和發(fā)現(xiàn)新信息，合理調整對事物的認知，這樣才能做出更好的決策，避免教條主義。

三、質量控制有手段——正態(tài)分布

例3 在藥品生產過程中，要加強質量控制，不斷優(yōu)化生產工藝，以達到產品質量持續(xù)可控的目的。在阿莫西林膠囊質量的過程控制中，通過對目標產品全過程檢驗數(shù)據(jù)的分析，確定影響制劑成品的關鍵質量屬性（CQAs）為阿莫西林閉環(huán)二聚體[5]。

假設產品質量特性值[X]服從正態(tài)分布[N（μ，σ2）]，且根據(jù)國家標準GB/T 17989.2—2020《控制圖第2部分：常規(guī)控制圖》設定制劑成品CQAs的控制界限為[μ±3σ]，即取[μ±3σ]作為上下控制界限，位于該范圍內的產品即為合格產品，利用正態(tài)分布的“[3σ]準則”控制藥品生產質量。

問：（1）制劑成品CQAs的合格品率是多少？（2）若將控制界限設置為[μ±2σ]，制劑成品CQAs的合格品率變?yōu)槎嗌伲浚?）根據(jù)上述結果，若制藥工廠在生產過程中實行“[3σ]準則”，相較于“[2σ]準則”，為什么會導致使用同一個品牌的產品，但不同用戶的療效會有較大差異？

解

（1）制劑成品CQAs的合格品率為

[P{μ-3σ≤X≤μ+3σ}]

[=Φ（3）-Φ（-3）=99.74%]。

（2）若將控制界限設置為[μ±2σ]，制劑成品CQAs的合格品率變?yōu)?/p>

[P{μ-2σ≤X≤μ+2σ}]

[=Φ（2）-Φ（-2）=95.44%]。

（3）根據(jù)上述計算結果可知，當實行“[2σ]準則”時，有4.3%的產品被判定為不合格品，而這些產品在實行“[3σ]準則”時會被判定為合格品。因此，若用戶剛好買到這部分產品，則更容易導致藥物療效不穩(wěn)定，即買到了“合格品中的次品”，這解釋了使用同一個品牌的產品，實行“[3σ]準則”時不同用戶的療效會有較大差異。對工廠而言，不能盲目地通過增大[σ]的系數(shù)來降低次品率，應該設法優(yōu)化生產工藝，提高產品質量。對用戶而言，同一個品牌的產品質量存在差異是不可避免的。

課程思政教學 從生產制造案例出發(fā)，引導學生通過生產過程的質量控制了解正態(tài)分布的應用，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，并將其與生活進行聯(lián)系，引發(fā)學生主動思考。引導學生理性看待產品質量問題，了解產品質量的波動性，學會通過現(xiàn)象了解事物背后的本質，從而正確處理問題。

四、高效檢測有方法——數(shù)學期望

例4 新冠疫情的暴發(fā)對全球公共衛(wèi)生體系提出了嚴峻挑戰(zhàn)。在這場抗擊疫情的戰(zhàn)斗中，科學成了重要的武器。其中，核酸檢測作為診斷新冠病毒感染的關鍵手段，其效率直接關系到疫情防控的效果。

為了提高檢測效率，混檢技術在實際應用中發(fā)揮了重要作用。從數(shù)學期望的角度來看，混檢技術相比單檢技術能夠顯著提高檢測效率，特別是在樣本數(shù)量龐大且感染率較低的情況下。

假設有[N]個樣本需要檢測，感染率為[p]。如果采用單檢技術，則總共需要進行[N]次檢測。當采用混檢技術時，首先將樣本混合后進行一次檢測，此時檢測結果為陽性的概率是[1-（1-p）N]。如果檢測結果為陽性，則對[N]個樣本再單獨進行檢測。因此，檢測次數(shù)的數(shù)學期望為[1+N[1-（1-p）N]]。當感染率較低時，[1-（1-p）N]較小，因此檢測次數(shù)少于[N]。尤其是在樣本數(shù)量龐大且感染率較低的情況下，混檢技術的優(yōu)勢更加明顯。

需要注意的是，在實際應用中還需要考慮其他因素，如檢測過程中可能出現(xiàn)的假陽性、假陰性等問題以及實際操作中的復雜性和成本等因素。總的來說，混檢技術通過減少所需的檢測次數(shù)和樣本數(shù)量來提高核酸檢測的效率，使得工作人員在有限的時間內能夠檢測更多的樣本，為疫情防控提供了有力支持。

課程思政教學 通過此案例，學生可以深刻地認識到科技在抗擊新冠疫情中的重要作用、科技工作者的責任擔當，同時還可以了解到科技與社會發(fā)展的緊密聯(lián)系，以及科技在推動社會進步中的重要作用。這有助于培養(yǎng)學生的科技素養(yǎng)和社會責任感，激發(fā)他們的創(chuàng)新精神和報國情懷。

五、從量變到質變——中心極限定理

例5 中國芯片產業(yè)對國外依存度較高，在外國的限制和封鎖下，中國芯片產業(yè)陷入了“卡脖子”的困境。中國目前在推動芯片產業(yè)的自主可控、減少外部依賴方面投入了大量的資源和精力，例如加大研發(fā)投入、支持本土芯片企業(yè)發(fā)展，以及通過國家層面的戰(zhàn)略規(guī)劃和政策支持來提升整體產業(yè)鏈的競爭力。這是一個長期而艱巨的任務，但對于確保國家安全和經濟自主性至關重要。芯片制造是一個極其復雜且精密的過程，具有多達數(shù)百個步驟，其次品率受多種因素影響，因此控制次品率對整個行業(yè)來說都是巨大的挑戰(zhàn)。

某企業(yè)對某款器件的芯片進行了設計，在芯片量產之前需要經過流片環(huán)節(jié)，這一環(huán)節(jié)是芯片制造的關鍵環(huán)節(jié)，如果流片成功就可以開始大規(guī)模制造，但如果流片失敗則需要繼續(xù)優(yōu)化設計。假設該企業(yè)在流片環(huán)節(jié)總共生產了300片樣品，生產工藝存在不穩(wěn)定性，已知在生產過程中，每片芯片的厚度相互獨立且服從在區(qū)間[（8，12）um]上的均勻分布，問在流片環(huán)節(jié)生產的所有樣品的平均厚度近似服從什么分布？

解 設第[i]個芯片的厚度為[Xi，i=1，2，...，n]，根據(jù)題意可知[Xi～U（8，12）]，因此[E（Xi）=10]，[D（Xi）=43]。又由于[Xi]相互獨立，且[n=300]，由中心極限定理可知，當[n]充分大時，所有樣品的平均厚度[Y]近似服從正態(tài)分布：

[Y=1300i=1300Xi～N（10，4900）]。

課程思政教學 即使獨立同分布的隨機變量本身不服從正態(tài)分布，多個隨機變量和的極限分布也服從正態(tài)分布，這就是量變引起質變的道理。通過此案例教導學生只要腳踏實地、注重積累，就一定會有所收獲；在社會中，每個人的小貢獻加起來就可以推動社會的大發(fā)展。此外，要教導學生有科技強國的責任感與使命感，能夠適應國家重大戰(zhàn)略需求、促進自身發(fā)展，為祖國的繁榮和發(fā)展作出重要貢獻。

社會的發(fā)展對大學生的綜合素質和思想品質提出了更高的要求。在大學生的世界觀、人生觀和價值觀還未完全成熟的情況下，教師在教學過程中適時進行價值引領具有重要意義。在對概率統(tǒng)計與隨機過程課程進行教學案例設計時，要注重落實立德樹人根本任務，為了培養(yǎng)實踐能力強、創(chuàng)新能力強、具備國際競爭力的高素質綜合型工科人才，將思政元素融入具有工科專業(yè)背景的教學案例中，加深理論知識教學、思政教育與工科專業(yè)的有機融合。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 石愛菊，丁秀梅，孔告化，等. 概率統(tǒng)計與隨機過程：第3版[M].北京：人民郵電出版社，2024.

[2] 李晨，陳麗萍. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學中思政元素的挖掘與實踐[J]. 大學教育，2021（9）：104-106.

[3] 曹宏舉，何素艷，郭巧麗. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程浸入式課程思政教學實踐[J]. 大學教育，2023（4）：116-118.

[4] 張宇，姜雄，李芳芳. 基于課程思政理念的概率論與數(shù)理統(tǒng)計案例設計[J]. 大學數(shù)學，2024，40（3）：114-122.

[5] 戚淑葉，黃偉明，王德剛，等. 阿莫西林膠囊生產過程質量控制方案初探[J]. 中國抗生素雜志，2022，47（6）：575-580.

［責任編輯：林志恒］