Black-Scholes模型假設下外匯障礙期權定價的研究

［摘 要］障礙期權作為一種相對于普通歐式期權價格更低的期權，目前主要存在于國際外匯市場上。本文聚焦外匯障礙期權，給出其在Black-Scholes模型假設下解析推導的全部細節，而這些細節才是真正理解、運用障礙期權并對其進行風險管理的關鍵。最后，筆者利用推導出的公式，分析了障礙期權的估值行為及其相對于普通期權的優勢。

［關鍵詞］外匯障礙期權；Girsanov Theorem；反射原理；估值行為

doi：10.3969/j.issn.1673-0194.2024.11.041

［中圖分類號］F832 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1673-0194（2024）11-0139-05

1" " "研究障礙期權的意義

障礙期權（barrier option）之所以值得研究，是因為它比普通期權價格更低。從一個投資者的角度來看，相比于不需要任何費用就可以投資的金融衍生品，比如期貨、互換等，購買期權的費用很貴。對于歐式買入期權，我們知道它的潛在回報是無限大的，即在期權到期時，如果標的資產價格ST無限上漲，那么該歐式期權的回報ST -K也會無限增大，這個無限大的回報自然已經反映到現在的期權價格中。但是投資者一般都對標的資產的價格有預期，他們并不認為自己能夠參與這個無限大的期權回報，自然也不愿意支付相應的期權費。

此時，障礙期權應運而生。障礙期權在Black-Scholes模型假設下有解析，但是這個解析如何推導出，目前沒有文獻完整闡釋。并且，障礙期權目前多活躍于國際外匯市場，因此外匯障礙期權的定價就更為重要。而現有文獻卻多關注個股上的障礙期權，單個股票作為標的資產和外匯作為標的資產仍有很多不同，兩者無法直接轉化。筆者認為，我國要想引入障礙期權，必須扎實掌握障礙期權理論價格如何推導得出。這個推導過程不僅能給我們提供理論價格，還是后續對障礙期權進行風險管理必不可少的工具。因此，筆者在本文中給出自己原創打磨的完整推導。

2" " "即期匯率作為標的資產的價格變動過程

外匯市場上的基礎資產就是一個個貨幣對。這些貨幣對的買賣構成一個交易量巨大、流動性極高、很難因被人為操縱而偏離客觀規律的市場。因此，外匯市場非常符合簡單的數學模型，如Black-Scholes模型的假設。在Black-Scholes模型假設下，即期匯率S的價格變動服從以下過程。

在外匯市場上，我們交易的資產是兩國的無風險債券，這兩國的無風險債券完全等價，并沒有像股票市場上存在某個天然的可以作為計價資產（numeraire）的選擇。事實上，在外匯市場上存在兩個風險中性測度（risk-neutral measure），一個資深的外匯分析師可以在兩個風險中性測度之間熟練轉化［1］。

2.1" "本國風險中性測度（domestic risk-neutral measure）

首先，如果我們選擇本國的貨幣市場賬戶，用M d來表示，作為numeraire，那么外國貨幣就被認為是風險資產。根據資產定價基本原理（Fundamental Theorem of Asset Pricing，FTAP），外國貨幣市場賬戶M f的本幣價值 St以M d來計價時，就應該存在一個概率測度，使得是一個鞅過程，我們用上標d來表示這個測度。

6.1" "反向障礙期權的估值行為分析

上述的障礙期權是一個反向障礙期權（reversed barrier option）。也就是說，該障礙期權想要最終達到實值狀態，需要當前匯率1.26先向下跌破敲入障礙值1.14，然后再反彈超過執行價格1.28。圖1告訴我們這個向下敲入的反向障礙期權的理論價格幾乎為0，而一個平價的普通期權價格是0.025 97，占名義本金的2.6%。圖1也顯示了反向障礙期權的價格行為和普通期權的價格行為有非常明顯的不同，普通期權的價格隨著即期匯率S0的增加而增加，反向障礙期權的價格隨著即期匯率S0的增加而減小。

6.2" "正向障礙期權的估值行為分析

我們再來研究一個正向障礙期權的價格行為。歐元和美元的參數值仍然如表1所示，但是我們研究一個距離到期日還有6個月，執行價格為1.28的EUR call/USD put的障礙期權。它的障礙值為1.33，是一個向上敲出期權，即如果即期匯率突破1.33，那么期權無效到期。圖2顯示這個正向障礙期權價格和普通期權價格隨著即期匯率S0的變化而變化。我們可以發現，對于正向障礙期權，隨著即期匯率越來越接近障礙值1.33，期權的價格先增加后減小。最開始的增加是因為期權最終實值的概率越來越大，實值后的回報越來越高，但是隨著即期匯率不斷接近障礙值時，期權被敲出的風險也越來越大，因此價格也越來越低。這個先向上再向下的價格曲線是正向障礙期權非常典型的價格行為。最后我們可以發現，障礙期權的價格相較普通期權的價格降低了很多。一個平價的障礙期權占名義本金的比例為0.210 6%，普通期權的價格占名義本金的比例為2.597 2%，障礙期權的價格僅僅為普通期權價格的8.11%。因此，筆者認為障礙期權會是一種非常受歡迎的金融衍生工具。

主要參考文獻

［1］IAIN J CLARK. Foreign exchange option pricing a practitioners guide［M］. Wiltshire：John Wiley amp; Sons，2011.

［2］PETER AUSTING. Smile pricing explained［M］. Hampshire：Palgrave Macmillan，2014.

［3］ZARRER DADACHANJI. FX barrier options［M］. Hampshire：Palgrave Macmillan，2015.

［收稿日期］2023-12-28

［作者簡介］趙然（1990— ），女，山西大同人，碩士，主要研究方向：金融衍生品定價、金融風險管理、偏微分方程。