數(shù)學，是一門怎樣神奇的學科

近年來，人工智能、大數(shù)據(jù)等諸多熱門領域取得重大突破，都是以數(shù)學的發(fā)展為基礎。作為一門基礎學科，數(shù)學的重要性不可忽視。

在人類探索宇宙的長河中，數(shù)學一直被視為一種神秘而普遍存在的力量。不管你是天才還是庸人，都或多或少有過被數(shù)學支配的恐懼，差別在于有人在解題的過程中得到快樂，但大部分人得到的是痛苦。在社交媒體上，關于數(shù)學學渣的心酸吐槽引發(fā)了“蓋樓”熱潮，解不出的微積分、求不出的雙曲線、搞不懂的陰影面積……那些抓耳撓腮、冥思苦想、垂死掙扎的過往引發(fā)了強烈共鳴，“原來，被數(shù)學虐傷的不是我一個人”。

數(shù)學這一門讓人“又愛又恨”的科目，究竟有何魔力，為何有著兩極分化的體驗，它是一種怎樣特別的存在？

歷史很長，段位很高

數(shù)學是什么？數(shù)學有什么用？相信每個人心目中都有自己模糊的答案。數(shù)學，可能是人們在現(xiàn)實生活中最陌生的朋友。在公眾眼中，數(shù)學也許僅僅意味著數(shù)字的加減乘除，天氣的冷暖變遷，乃至股市的跌宕起伏。而且我們不得不承認，生活中大多數(shù)場景用到的數(shù)學知識僅僅只需要小學的教育水平。延綿兩千多年的數(shù)學文明，盡管已經(jīng)深邃得令人敬畏，卻依然沒有在現(xiàn)實世界中找準它的生態(tài)位，難以展示它數(shù)千年來的精彩，也就很難讓世人感知它獨有的魅力。

那么，是什么，讓數(shù)學源遠流長的美被忽略？又是什么，讓數(shù)學廣博深邃的魂被深藏？

如果我們回顧數(shù)學漫長的發(fā)展史，會發(fā)現(xiàn)對數(shù)學的熱忱和研究，大多時候代表了部分貴族的精神追求，數(shù)學的蓬勃發(fā)展則依賴于貴族之間的志趣交流。對發(fā)現(xiàn)者而言，發(fā)明新的數(shù)學成果，更多的樂趣是享受到某種精神層面的喜悅。

自古希臘始，在兩千多年的時光歲月里，數(shù)學的長河逐漸流淌出逾百條支流。尤其是進入20世紀以來，數(shù)學的理論和應用真正有了廣袤的空間。建立在計算機和信息科技陣地上的數(shù)學分支，終于融入現(xiàn)代文明的基因。時至今日，數(shù)學內(nèi)部的分工越發(fā)精細。但大體而言，現(xiàn)代數(shù)學體系分化出四個演進的主題，分別在理論、應用、審美和傳承上演繹著自己的傳奇。

以理論研究為職業(yè)的基礎數(shù)學家指引了數(shù)學的前進之光，以服務現(xiàn)實為目標的應用數(shù)學家預示著數(shù)學的實在方向，以創(chuàng)造精神美感為追求的藝術家融入了數(shù)學的審美立場，以教書育人為己任的老師則代表了數(shù)學的傳承發(fā)揚。

然而，無論數(shù)學的前景指向哪里，它底層的邏輯體系一直堅如磐石，它群星璀璨的成果不斷為現(xiàn)代物質(zhì)文明的大廈添磚加瓦。數(shù)學思想的涌現(xiàn)和創(chuàng)造日益成為一口取之不盡的甘泉，源源不斷地滋養(yǎng)著人類文明。

算術之外，生活里還藏著海量“數(shù)學”

現(xiàn)代人的世界，其實早已經(jīng)浸潤在數(shù)學的海洋里。如同空氣一樣，雖視而不見，卻無處不在。

著名的法國布爾巴基學派曾經(jīng)將數(shù)學比作一個城市，城市的規(guī)模就是數(shù)學的知識體系，并且這個體系在不斷擴張。而在城市內(nèi)部，建筑物和街道也在被不斷修繕或重建。這個城市的居民既是間接使用數(shù)學的諸多百姓，也是那些直接運用數(shù)學的普通人。

信息時代的生活離不開手機。手機里琳瑯滿目的程序正支配著大眾的決策。其中和生活息息相關的天氣預報已經(jīng)成為人們出行的必備指南。曾幾何時，天象是神秘和神圣的象征，只有極少數(shù)人才有權(quán)知道來自上天晦暗不明的指示。如今，人們就能在指尖輕易獲取天氣的信息。無論刮風、下雨、陽光普照還是大雪紛飛，氣象局的預報總能為我們提供來自未來的秘密。這背后的原理，正是以流體動力學和混沌學為代表的數(shù)學應用。

當我們出門在外，地圖和導航成了我們的左膀右臂。正是基于數(shù)學家發(fā)明的保角變換而制作的地圖，才讓建筑物在平面地圖上的相對位置與真實世界一一對應。當我們穿梭于繁忙的地鐵時，正是基于拓撲學而簡化繪制的地鐵圖為人們提供了直接明了的視角。

出租車的大量運營為城市居民提供了出行的便利，外賣行業(yè)的興起更是讓忙碌的人群足不出戶享受到全城的美食。正是基于GPS、中國北斗等衛(wèi)星快捷、準確的實時定位，讓千千萬萬的人們享受到了這些城市規(guī)模化、生活舒適化的便捷性。而這背后的功臣恰好是以洛倫茲變換為起點的狹義相對論和以黎曼幾何、張量代數(shù)為基礎的廣義相對論結(jié)出的豐碩果實。

在醫(yī)療健康領域，CT的斷層掃描、冷凍電鏡下DNA分子與細胞的立體圖像、人類器官、組織與血管的再造技術，甚至基于靶向腫瘤抗癌藥物的研發(fā)，都不難看到拓撲學、分析與幾何學的精準應用。

工作之余，準備享受美食時，人們卻不曾看到食物背后的后廚優(yōu)化、蔬菜配送、種植育種等等配套的工程。現(xiàn)代化食物產(chǎn)量和質(zhì)量的提升，從播種到收獲，都和現(xiàn)代數(shù)學的圖論、統(tǒng)籌、糧食統(tǒng)計學息息相關。

結(jié)束了一整天的忙碌后，現(xiàn)代人主要的休閑方式是使用手機、電腦、平板等娛樂設備。毫無疑問，這些來自信息時代的科技饋贈，正是源自康托的集合論、羅素悖論、哥德爾不完備定理、圖靈機、馮·諾依曼結(jié)構(gòu)的傳承。同時，互聯(lián)網(wǎng)背后默默運行的算法，諸如大數(shù)據(jù)、拓撲結(jié)構(gòu)等更是保證了我們能夠及時、高速與世界各地互通相連。

事實上，數(shù)學的應用已無處不在。除了日常生活，生物、通信、高鐵、航空航天、軍工、股市、考古、電影等領域都在現(xiàn)代數(shù)學的分支里汲取養(yǎng)分。如果說現(xiàn)代公民生活的每一個場景都是一個應用程序，數(shù)學就是那底層的操作系統(tǒng)。我們看不見它，甚至無法感知，但卻明白它無與倫比的重要性。

小鏈接

在漫長的時間長河里，數(shù)學也曾發(fā)揮過中流砥柱的作用。

人類歷史上的三次工業(yè)革命都有數(shù)學的積極參與。第一次工業(yè)革命開啟了機械化時代，這其中，是牛頓與萊布尼茨發(fā)明的微積分引領了時代的步伐；第二次工業(yè)革命拉開了電氣化時代的序幕，其中居功至偉的當屬麥克斯韋方程，正是電磁現(xiàn)象的數(shù)學解釋，讓人類大跨步邁入了現(xiàn)代文明；而第三次工業(yè)革命則是以自動化為標志，以相對論與黎曼幾何、布爾數(shù)學等為標桿，開辟出一條無比璀璨光明的道路。我們今天所享受的現(xiàn)代文明，都是前三次工業(yè)革命的福利。

如今，世界已經(jīng)來到第四次工業(yè)革命的前夕。這一次，人工智能、大數(shù)據(jù)、通訊技術、超算等信息科技更是以數(shù)學為先鋒，披荊斬棘，引領人類馳向無比廣闊和光明的信息化時代。其中基于數(shù)論橢圓曲線而設計的區(qū)塊鏈技術、基于概率論貝葉斯估計的深度學習技術、融合傅里葉分析、小波分析、群論、圖論的wifi、5G，乃至6G通訊信息等，不斷開拓國家的科技疆土，亦為人類文明的發(fā)展壯大貢獻智慧。

中國古代數(shù)學，強得可怕

禮樂射御書數(shù)，“數(shù)”是中國古代六藝之一。可以說，有人類的那一天，就有了數(shù)學。中國的數(shù)學在古代就曾領先國外不少段位。

●多古老，多先進

從遠古算起，直到14世紀，中國的數(shù)學一直走在世界的前列。比如說，十進制是中國最早發(fā)明的，這是當時世界上最簡便的計算工具，比巴比倫的六十進位方便。清華大學保存的一批古代竹簡中，還保存著人類最早的十進制計算器：算表。

“算表”由21支簡組成，簡的形制與其他各簡明顯不同。簡面上有紅色的橫貫欄線，使全篇成為整齊的格狀，每格中都填有數(shù)字。據(jù)媒體報道，這個數(shù)學表格比九九乘法表厲害，可以進行乘法除法乘方開方的計算。比如，要計算81乘以72，就把80和1兩個位置的絲帶往下拉，70和2兩個位置的絲帶往左拉，形成四個交叉點，四個交叉點上的數(shù)字加起來，就是乘法的結(jié)果。

數(shù)學家吳文俊曾研究過中國古代數(shù)學，他發(fā)現(xiàn)，除了廣為人知的勾股定理比外國早了5個世紀之外，中國古代數(shù)學中，還藏有世界最早的幾何學、最早的方程組、最古老的矩陣……

王渝生在《中國算學史》中寫道，在中國古代數(shù)學（中國古代稱算學）中，還有開平方，開立方，解線性方程組的“遍乘直除”消元法，計算圓周率的“割圓術”，解高次方程的“增乘開方法”，解一次同余式的“大衍求一術”等，這些都比國外領先一個世紀甚至幾個世紀。

從殷商時期的萌芽，到秦漢時期籌算體系的建立，再到南北朝時期的發(fā)展，直至隋唐時期，中國古代數(shù)學到達一個高峰。然而，到了1370年，明太祖朱元璋規(guī)定八股文為科舉考試的主要文體，數(shù)學體現(xiàn)不到科舉考試的內(nèi)容里，自明初起300余年內(nèi)中國傳統(tǒng)數(shù)學研究呈現(xiàn)全面衰退態(tài)勢。

宋元數(shù)學家著作中借用未知數(shù)解方程式的方法，到了清朝，因長期失傳，一度被認為是無人能解的“天書”。直到清代數(shù)學家梅瑴成引進西方代數(shù)學《借根方》，對照之下，才恍然大悟。

●科舉考試也要考數(shù)學

古人學習四書五經(jīng)之外，數(shù)學也一度是古代學子的必修科目。

西周時期，數(shù)學成了“六藝”之一，是學校教學的必修必考科目之一。那時候的學校，學生全是官家子弟，學習的目的也是專門致力于解決實際問題，數(shù)學要解決的問題，包括土地丈量、谷倉容積的計算、堤壩和河渠的修建、稅收等。

在秦漢時期，“六年，教之數(shù)與方名”，教育從娃娃開始抓起，6歲就開始學數(shù)學了。到了隋朝時期，朝廷甚至成立了“數(shù)學專科學校”，配備博士兩人，助教兩人，這個學校每一屆招收學生80人。

“專科學校”不是隋朝時就有的。東漢靈帝光和元年，就曾設立“鴻都門學”（因地址在洛陽鴻都門而得名），這是一所文學、藝術專科學校，是宦官們一心想與皇親貴胄學校對著干才設立的。至于“數(shù)學專科學校”，北魏就曾設立，前后存在50年以上。

但是到了隋朝，辦數(shù)學專科學校成為一項制度。到了唐朝，唐初沿用隋代的科舉制度，算學仍被作為國子監(jiān)設立的六科之一，稱為明算科，但招生人數(shù)縮減到30人。唐朝的“數(shù)學專科學校”寬進嚴出，入學時不考試，由主管機關按家庭出身選送。但是入學后，要經(jīng)常考試，有旬試、月試、季試、歲試。歲試就是年終考試。歲試三次不及格（下等），就會被逐出校門，回家去吧。

既然是學校，就要有教材。公元656年，風水大師李淳風等人奉敕注釋并校訂了十部數(shù)學書作為教科書，合稱為“算經(jīng)十書”。這些書都是歷代數(shù)學家們的著作，直到清朝都在使用。其中大家熟悉的是《孫子算經(jīng)》，“雞兔同籠”問題就出自該書。

學生入學后，學制七年。七年期滿，若中途考試都合格，還要參加一次畢業(yè)考試，及格了才能送禮部直接參加明算科的科舉考試。考得好，授從九品下的官職。

這大概是數(shù)學在中國歷史上最風光的時候了。

但因為皇帝本人對算學的看法不一，算學——這所數(shù)學專科學校時興時廢，再加上明算科及第后待遇不如明經(jīng)、進士等科學生的好，應試的人并不多，至晚唐時期明算科考試漸漸停止。

對話袁亞湘院士：數(shù)學有點難，所以才好玩

人物名片：

袁亞湘，湖南郴州人，1982年畢業(yè)于湘潭大學數(shù)學系，1986年獲英國劍橋大學博士學位。中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員。中國科學院院士、發(fā)展中國家科學院院士、巴西科學院通訊院士、美國數(shù)學會首屆會士、美國工業(yè)與應用數(shù)學學會會士、倫敦數(shù)學會榮譽會員。現(xiàn)任中國科協(xié)副主席。主要研究非線性最優(yōu)化計算方法，在信賴域法、擬牛頓法、非線性共軛梯度法、子空間方法等方面作出了重要貢獻。

如何培養(yǎng)孩子們對數(shù)學的興趣？如何才能學好這門看似枯燥的學科？8月8日上午，就該話題，《放學后》雜志對袁亞湘院士進行了專訪，讓我們一起來看看這位頂級科學家是如何從從孩子的視角來認識數(shù)學、解讀數(shù)學的吧。

奧數(shù)，有必要學嗎

Q：為了不讓孩子輸在起跑線上，許多家長總愛給孩子報各類培訓班，奧數(shù)班就是其中之一，您覺得普通孩子需要學奧數(shù)嗎？

A：“不能輸在起跑線上”這句話背后的邏輯是：上不了好小學，就上不了好中學，就上不了好大學，就等于沒出息，但這一邏輯是不對的。人生是一場長跑，而非短跑，長跑的起跑線并沒有那么重要。現(xiàn)在的成年人再回望小時候，考試成績、班級排名真的有那么重要嗎？學有余力的學生可以接觸奧數(shù)，但也要警惕超前教育帶來的危害。很多孩子學了奧數(shù)再學校園知識會覺得很容易，于是就不認真聽學校老師上課，這樣的習慣如果養(yǎng)成，早期危害雖不明顯，但長此以往一定會吃大虧。對大部分的普通孩子來說，最重要的還是踏踏實實把課堂內(nèi)的課程學好，保證健康積極的心態(tài)，快快樂樂學習，才是最重要的。

領悟?qū)W好數(shù)學背后的“爬山之道”

Q：您在之前的采訪中說數(shù)學有5大特點，分別是“美、真、趣、難、慧”，但很多孩子暫時只感受到了數(shù)學的難，我們該怎么讓自己不那么懼怕數(shù)學呢？

A：難和易是一組辯證關系，因為不會，所以覺得難。就像有的人不愛交響樂，聽到就頭疼；有的人不愛吃辣，吃辣就感覺痛苦，所以他們體會不到交響樂的優(yōu)美或吃辣的美味。孩子們感受不到數(shù)學之美，一方面是因為不理解，另一方面也是因為家長要求過于嚴厲，對成績、排名看得太重。家長們應當像鼓勵孩子踢足球、學唱歌一樣，鼓勵孩子們學數(shù)學，這樣才不會讓其對數(shù)學本身產(chǎn)生反感。

我很喜歡爬山，因為每次爬不同的山，都能看到?jīng)]看到過的風景。類比到學數(shù)學，只有持之以恒，在不同階段的學習中積累不同的能力，才能不斷向上爬，欣賞到下一階段更好的風景。如果每次學到新的知識，都能讓你心生愉悅，那么數(shù)學之美就盡在其中了。

學好數(shù)學不需要大量刷題

Q：刷題很辛苦，但不刷題心里又沒底，您覺得學數(shù)學有必要刷題嗎？

A：刷題，是對數(shù)學興趣的一種抹殺。試想，一個人再喜歡吃臭豆腐，天天吃恐怕也會膩吧？大量刷題會抹殺孩子的學習興趣，另一方面通過重復做題、死記硬背得到成績的提高并不是學好數(shù)學的本質(zhì)。數(shù)學學習需要培養(yǎng)興趣，孩子們應該帶著思考去做題，明白做題的目的和用途，在解題的過程中培養(yǎng)欣賞數(shù)學之美、解決具體問題的能力。

天賦并非學好數(shù)學的捷徑

Q：90后北大數(shù)學天才韋東奕爆紅網(wǎng)絡，成了很多學子崇拜的“韋神”。學好數(shù)學，天賦和努力哪個更重要？

A：我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“天才在于勤奮，聰明在于積累”。數(shù)學的學習重在勤奮與積累，天賦并不是天生就有的，而是做得多了，做得好了，才有天賦。數(shù)學的學習應該腳踏實地完成，通過持之以恒的不斷努力，才能獲得成就。

數(shù)學要發(fā)展，青少年是未來的希望

Q：科技強國建設需要一批優(yōu)秀的年輕人才投入數(shù)學這種基礎學科的研究中。面對世界百年未有之大變局，請您談談如何將科學家精神融入科學教育，培育更多具備科學家潛質(zhì)、愿意獻身科學研究事業(yè)的青少年？

A：科技要自立自強，基礎科學尤為重要，而數(shù)學又是基礎科學中的基礎，發(fā)展數(shù)學的希望寄托在青少年身上。希望更多優(yōu)秀的青少年喜歡上數(shù)學，將來成為數(shù)學工作者，也希望廣大青少年們從小樹立科技報國之志，打開通往科學圣殿之門。