基于Jitter采樣的壓縮感知地震勘探數據重構

摘要：受野外復雜環境影響，地震勘探采集的地震數據往往不完整且有壞道。為提高原始地震數據的完整度，基于壓縮感知稀疏反演理論，構建了一種基于Jitter采樣的壓縮感知地震勘探數據重構方法。從采樣模型和采樣信號頻譜分析等方面詳細對比3種采樣方法的優缺點。通過合成地震數據測試，從信噪比、均方根誤差、互相關系數3個方面進行重建效果綜合評價并應用于實際數據中。結果表明：與傳統隨機采樣方法相比，基于Jitter采樣方法重構前后的地震數據形態振幅一致性更強，信噪比更高、誤差更小、互相關系數更高。實際數據應用結果顯示：重構后的疊后地震成像數據同相軸清晰，連續性更強，振幅一致性強，對噪聲壓制較好。這表明Jitter采樣在保持隨機性采樣的同時，可以有效控制采樣間隔，解決了采樣點過于分散或者過于集中的問題，更有利于數據的恢復。綜上，Jitter采樣方法能夠從稀疏不均勻數據中重建出密集規則化的地震數據，可以為后續的高質量偏移成像、速度建模等研究提供完整地震數據支撐。

關鍵詞：壓縮感知；Jitter采樣；地震勘探；數據重建

中圖分類號：P315.3"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1000-0666（2025）01-0071-09

doi：10.20015/j.cnki.ISSN1000-0666.2025.0009

0 引言

完整的地震勘探數據是深入認識地下介質速度結構和斷層構造的重要前提，受限于復雜的采集環境以及儀器工作條件，檢波器的空間采樣往往出現不完整、不規則的缺失（曹靜杰等，2022）。但地震子波估計、多次波去除、偏移歸位等對原始地震數據的完整度有很高的要求（唐剛，楊慧珠，2010）。因此，地震數據的壓縮和重建成為必須要解決的問題。為了得到連續完整的數據，需要一種高精度非線性的插值方法對缺失數據進行插值重建（張帥等，2021）。傳統方法大都受到Nyquist采樣理論的限制，對于不滿足采樣定理的超稀疏地震數據，插值效果不佳（郭念民等，2014）。

壓縮感知理論于2006年被正式提出，隨著其理論模型不斷被完善改進（Candes et al，2006；Herrmann，Hennenfent，2008），已被成功應用于多個地震學和地球物理反演問題中（張帥等，2022；白蘭淑等，2022；Zhan et al，2018）。即使是隨機缺失的數據，通過壓縮感知理論也可以恢復出滿足一定精度要求的完整數據（張華，陳小宏，2013；劉璐等，2021）。不同于傳統的插值方法，壓縮感知理論是一種基于物理模型的稀疏反演方法，提供了解決這一問題的新思路，而合理的采樣方法是其關鍵核心技術之一。傳統的壓縮感知重構算法采用的是單純隨機采樣，無法控制采樣間隔，容易造成某些關鍵信息的丟失，也容易出現采樣點聚集現象，造成某些區域采樣過密（唐剛，2010）。基于改進的隨機采樣方法，如Jitter采樣和泊松碟采樣多是直接應用在不同的地震數據重構上（張華，陳小宏，2013；唐剛，2010），并沒有與傳統的采樣方法進行對比分析，Jitter采樣方法的地震數據重構的效果與傳統方法相比到底如何，還需進一步的分析研究。

本文基于壓縮感知理論，構建了一種基于Jitter采樣的壓縮感知地震勘探數據重構方法，從采樣模型和采樣信號頻譜分析方面與傳統的隨機采樣方法進行了詳細地對比分析。通過對合成地震數據進行模擬測試，綜合分析重建前后，模擬地震數據的信噪比、均方根誤差、互相關系數的參數評價結果。最后選取實際地震淺層勘探數據驗證本文方法的重構效果。

1 方法原理

1.1 壓縮感知理論

根據壓縮感知的理論原理（Wang et al，2011，2012），假設稀疏地震信號用

y（p）表示，它的壓縮重建模型表示為：

y（p）=ΨΦ［x（n）］（1）

式中：y（p）表示通過測量矩陣得到的不完整的地震數據；p是原始地震數據長度；Ψ表示稀疏變換基； x（n）表示二維完整地震數據；Φ∈R（PMN），是根據缺失數據定義的單位測量隨機矩陣，其中M、N分別表示Φ二維矩陣的大小，P表示y（p）的大小。假設O為缺失數據在觀測矩陣Φ的位置，值為0，I為未缺失數據在觀測矩陣Φ的位置，值為1（Bai et al，2020）。壓縮感知理論指出，如果x在變換域Ψ中是稀疏的。那么其變換系數為：

α=Ψx（2）

式中：α是Ψ的等價或者稀疏表示。根據缺失的位置設計一個平穩且與變換基Ψ不相關的M×N維的測量矩陣Φ，這里選用Jitter采樣的隨機矩陣來滿足壓縮感知理論對于隨機投影矩陣的要求，其詳細的理論推導詳見1.2節。對α進行觀測得到觀測數據：

y=Φα（3）

式（3）為反演當中常見的欠定方程組，方程無數解，但是α具有稀疏性，我們可以通過不斷增強α的稀疏性進行反演求解。這就為實現缺失數據的精確重構成為可能。其中的稀疏促進策略如下（Herrmann，Hennenfent，2008）：

α=argminα12y-φα1+λα1（4）

式中：α是α的估計值；α1=∑Ni=1α；λ是閾值參數。

圖1展示了基于L2和L1范數的方程求解模型，假設方程求解模型限制在x的一個L-ball 中。L-ball 可理解為：式（3）的解為模型向量x的L2范數所對應的圓在逐漸增大其半x２時與解平面ux＝y的交點（如圖1a所示的黑色交點），很顯然在絕大多數情況下，其解的坐標數值為非零，即解是非稀疏的。但對于式（3）模型的L1范數問題，由于x1對應于四邊形的面，當逐漸增大x1四邊形與解直線相交時所得到的交點，即為式（3）的解，通常情況下交點即為四邊形的頂點（如圖1b所示的黑色交點），因為頂點僅有一個坐標是非零的，從而所得的解是稀疏的。在（x1，x2）平面上可以畫出目標函數直線，而約束條件則成為平面上大小不斷變化的一個norm ball（張帥等，2022）。直線與 norm ball 首次相交的地方就是最優解。與L2范數相比，L1范數更有可能得到最優解，使得x更具稀疏性（姚華建，2013）。基于L1范數的反演問題，本文使用的重構算法是正交匹配追蹤（OMP）進行迭代求解。通過式（4）估計出最佳系數值以后，可以通過式（2）求出缺失地震數據y（n）的最佳重構數據x（n）。

1.2 Jitter采樣原理

Jitter采樣是一種用于信號處理和計算機圖形學的技術，通過在固定采樣點附近隨機擾動采樣位置，來減少系統化的誤差和增加頻譜的多樣性，根據其數學基礎和統計特性，Jitter采樣的理論公式推導如下：

假設有一個信號x（t），在均勻采樣的情況下，其采樣點為 tn=nT，其中T是采樣間隔。通過加入隨機擾動 Δtn，得到Jitter采樣點：

t′n=nT+Δtn（5）

式中：Δtn 是一個在［-J/2，J/2］區間內均勻分布的隨機變量，J是最大Jitter量。對于一個離散時間信號 x［n］=x（nT），加入Jitter后的信號可以表示為：

x′［n］=x（nT+Δtn）（6）

Jitter采樣后信號引入的誤差 e［n］可以表示為：

e［n］=x（nT+Δtn）-x（nT）（7）

對于小的Δtn，我們可以使用泰勒展開式來近似：

e［n］≈Δtnx′（nT）（8）

式中：x′（nT）是信號x（t）在t=nT處的一階導數。

Jitter采樣后地震數據的信噪比影響通過誤差方差來分析。假設Δtn是零均值、方差為σ2Δt的隨機變量， 誤差的方差為：

σ2e=σ2ΔtE［x′（t）2］（9）

因此，信噪比SNR可以表示為：

SNR=E［x（t）2］σ2e=E［x（t）2］σ2ΔtE［x′（t）2］（10）

通過以上推導分析，可以看出Jitter采樣通過在固定采樣點附近隨機擾動采樣位置（圖2），首先將待采集的區域劃分成若干區域，然后在每個子區域內都隨機地強制采一個點，由于每個子區域都有采樣點，這就保證了采樣點不會離得太近，使采樣點分布更加均勻，同時仍然保持隨機，可將假頻轉化成低幅度噪聲，使真實頻率更容易檢測（張華，陳小宏，2013）。

2 采樣方法

本文通過建立一個模型實例來說明不同采樣方法的采樣規則。規則欠采樣一般按照Nyquist-Shannon采樣定理的要求進行采樣，采樣點的分布比較均勻且密集，但是可以保證信號的信息不會丟失（圖2a）。規則欠采樣方法的采樣點間隔相同、比較稀疏，是以遠低于采樣定理規定的采樣率對信號進行欠采樣，采樣率降低，容易造成信號混入假頻（圖2b）。較為常見的高斯隨機采樣方法，其采樣點分布比較隨機，有些采樣點的分布比較密集，有些采樣點比較稀疏，這種采樣方式雖然可以避免混入假頻，但容易引入與頻率相似的相干噪聲，且容易丟失信號細節信息（Loris et al，2007）（圖2c）。Jitter采樣的采樣點比較均勻，既可以以遠低于采樣定理要求的采樣率進行欠采樣，又可以保證信號的信息不會丟失，且假頻均被轉化成不相干的噪聲，且易于去除（圖2d）。

為了更進一步驗證Jitter采樣方法的優點，本文模擬了一組頻率分別為25 Hz、30 Hz和50 Hz的地震信號，按照不同采樣方式進行采樣，并進行頻譜分析，如圖3a所示。

標準的規則欠采樣方式，按照采樣定理的要求，進行100%的高頻率采樣，可以采集到信號的完整信息，并不會導致假頻率混淆，如圖3a所示。分別對原始信號分別進行50%的規則欠采樣、高斯隨機采樣、Jitter隨機采樣，其信號如圖3b～d所示。

圖3e是信號的真實頻譜，可以看到信號的頻率被完全準確識別。而從規則欠采樣后的信號的頻譜（圖3f）可以看出，盡管真實頻率被識別，但出現了一些假頻，分別為300 Hz、350 Hz和375 Hz，而這些假頻會被帶入重建過程，嚴重影響數據恢復質量（張華等， 陳小宏， 2013）。而高斯隨機采樣把假頻轉化成了低幅值的噪聲，真實頻率也可以很容易被檢測到，但是隨機噪聲和部分真實頻譜相互混疊在一起，不容易分離，如圖3g所示。

Jitter采樣方法同樣是一種隨機采樣方法，不同于傳統隨機采樣方式，其對采樣間隔可以進行較為靈活的控制，如圖3d所示。同時其具有藍色噪聲頻譜特征，藍色噪聲頻譜特征是描述隨機類型特征的一個統計模型（Titova et al，2023），其特點是在主要頻率周圍分布的其他頻率值都非常小，所以真值或者主頻率就很容易被檢測到（唐剛，2010）。藍色噪聲頻譜具有明顯的點擴散函數的特征，有效降低互相干噪聲對主頻率的影響，更加有利于數據的恢復重建（Bai et al，2020）。從圖3h可以看出，與高斯隨機采樣相比，Jitter隨機采樣的主頻特征可明顯被識別，且噪聲得到明顯地壓制。

3 合成地震數據測試

為了驗證基于Jitter采樣的壓縮感知地震勘探數據重建效果，本文進行合成地震數據測試，如圖4所示。已知一維理論地震數據長度為1 000個采樣點，信號帶寬20～80 Hz，采樣率100 Hz，且具有兩個正弦周期，如圖4a所示。由于一維地震數據的壓縮重建，只利用到一個方向的信息，實際的應用相對比較有限。為了驗證該方法在多維地震數據的應用效果，提高多方向的地震數據重建效果，按照正弦函數曲線對一維模擬信號進行不同時間延遲排列合成二維地震數據，以模擬地震勘探中的中間放炮的單炮記錄如圖4b、c所示。

首先對原始信號（圖5a）分別進行規則欠采樣、高斯隨機采樣和Jitter采樣。觀測矩陣在采集到的位置設置為１，未采集到的位置設置為0，采樣率均為50%（圖5c、e、g）。對采樣后的二維數據進行f-k譜分析，原始數據的f-k譜比較光滑，譜特征分布較為明顯（圖5b）。50%的規則欠采樣后的信號f-k譜前后出現明顯的假頻，且與真實的頻譜較為一致，幾乎難以區分（圖5d）。而高斯隨機采樣雖然克服了假頻的干擾，但是大量的相干噪聲混淆在真實頻率中，傳統的濾波方法可能無法有效去除（圖5f）。Jitter采樣不但保證信號的真實頻譜得到采集，而且有效壓制了不相干的噪聲（圖5h）。

在壓縮感知理論框架下，根據不同采樣方法采集到的50%的觀測數據，基于正交匹配追蹤算法對稀疏信號進行重建，對重建后的地震數據與原始信號進行對比分析以及f-k譜分析。

從重建信號與模擬信號及其f-k譜（圖6a、b）的對比可以看出，對于規則欠采樣，缺失部分的信號重建效果幾乎不準確，并帶入了大量的假頻信息（圖6c、d），這種采樣方式不可取。而高斯隨機采樣，雖然可以恢復信號的主要信息特征，但采樣較為稀疏的部位，信號恢復不夠理想，f-k譜不光滑，有較小的頻譜泄漏（圖6e、f）。而Jitter采樣可以達到很好的重建效果，重建后的信號與模擬信號的波形和振幅一致性仍較強，相位恢復精度較高，獲得較好的處理效果，f-k譜較為光滑，無明顯的頻譜泄漏，與原始信號的f-k譜較為一致（圖6g、h）。同時，Jitter采樣方法比高斯隨機采樣具有更強的壓制噪聲能力。

為了對重建效果進行綜合評價，從信噪比、均方根誤差、互相關系數3個方面進行分析，如圖7所示。Jitter采樣重建后的信號信噪比高于高斯隨機采樣和規則欠采樣，均方根誤差均低于兩者，并且隨著采樣率越低，信號的缺失比例越高，重建后的信號信噪比越低，誤差越大。當缺失比例達到40%以上時，規則采樣的信噪比大幅下降，均方根誤差大幅增加，重建精度降低。而Jitter采樣和高斯隨機采樣的缺失比例達到70%以上時，信噪比和均方根誤差才出現明顯的變化，

如圖7a、b所示。當缺失比例為50%時，Jitter采樣和隨機采樣重建前后的信號互相關系數均高于0.98，重建精度較高。而規則采樣互相關系數僅僅分散在0.75～0.9，多集中在0.85，如圖7c所示。可見在即使信號缺失比例較高時，本文的方法依然具有較好的重建效果。

4 實際應用

選取在野外開展的一次地震淺層勘探數據驗證本文方法的重構效果，如圖8a所示。該疊加深度剖面有500個地震道，每道有1 000采樣點。首先基于高斯隨機采樣方式隨機缺失50%實際疊加剖面數據，如圖8b所示。利用壓縮感知稀疏反演重建算法對缺失數據進行壓縮重建，重建結果如圖8c所示。可以觀察到基于高斯隨機采樣方式重建后的地震數據信噪比沒有得到明顯改善，噪聲和線性干擾依然較大，深層同相軸的連續性沒有得到明顯改善。

基于Jitter采樣方式，對原始數據（圖9a）隨機缺失50%實際疊加剖面數據，如圖9b所示。利用壓縮感知稀疏反演重建算法對缺失數據進行壓縮重建，重建結果如圖9c所示。本文方法重建后的地震數據信噪比更高，剖面信息更加豐富，深層同相軸的連續性增強，視分辨率得到明顯提高，尤其是局部細節信息得到了很好的恢復。

同時，本文方法重建后的地震數據，同相軸的連續得到明顯的增強，高頻段有效信號得到有效恢復。而且經過處理后的地震數據信噪比高、橫向連續性好，重構前后的誤差較小、分布相對均勻。對隨機的線性干擾也進行了很好地去除，對同相軸的連續性和一致性恢復較好。

5 結論

本文基于壓縮感知理論，構建了一種基于Jitter采樣的壓縮感知地震勘探數據重建方法，并進行了合成地震數據和實際數據測試，主要得到以下結論：

（1）Jitter采樣的采樣點比較均勻，既可以以遠低于采樣定理要求的采樣率進行欠采樣，又可以保證信號的信息不會丟失，且假頻均被轉化成不相干的噪聲，易于去除。

（2） Jitter采樣重建后的信號與模擬信號的波形和振幅一致性仍較強，信噪比更高、誤差小、互相關系數更高，相位恢復精度較高，獲得較好的處理效果，同時，f-k譜較為光滑，無明顯的頻譜泄漏，與原始信號的f-k譜較為一致。

（3）本文方法處理后的地震數據信噪比更高，剖面信息更加豐富，深層同相軸的連續性增強，視分辨率得到明顯提高，尤其是局部細節信息得到了很好的恢復。

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Compressed Sensing Seismic Exploration DataReconstruction Based on Jitter Sampling

ZHANG Shuai1，YANG Runhai1，JIANG Jinzhong1，ZHANG Yan1，ZHENG Dingchang1，DENG Yuefei1，YANG Runping2，WANG Zhihao1

（1.Yunnan Earthquake Agency，Kunming 650224，Yunnan，China）

（2.Yulong Earthquake Agency，Yulong 674100，Yunnan，China）

Abstract

In the process of seismic exploration data acquisition，due to the complex field environment，the collected seismic data are often incomplete and have bad traces，but the completeness of the original seismic data is prerequisite for seismic data processing and interpretation. Based on the theory of compressive sensing sparse inversion，we constructed a compressive sensing method to reconstruct seismic exploration data by Jitter sampling. Then we compared our proposed sampling with the Gaussian sampling method and the regular undersampling method from the aspects such as their sampling model，spectrum analysis of sampled signal. Further，we tested the synthetic seismic data and，aiming at root-mean-square error，signal to noise ratio，cross correlation coefficient，we made a comprehensive evaluation of the reconstruction effect of the three methods. Comparing the three sampling methods，we found that the original seismic data and the reconstructed data by Jitter method have better consistency in the form and the amplitude，higher signal to noise ratio，less error，and larger correlation coefficient. The practical application of the reconstructed seismic data by Jitter method proves that these data have cophasal axes，good continuity，good consistency in amplitudes，and good effect for noise suppression. This indicates that the Jitter sampling method is able to do random sampling and in the meantime control the sampling interval and in this way make the sampling points not too scattered nor too concentrated. This is helpful for data recovery. In conclusion，the Jitter sampling method is able to reconstruct the dense and regularized data from the original，sparse，and uneven seismic data，thus provides the complete seismic data for the follow-up migration imaging and velocity modeling.

Keywords：compressive sensing; the Jitter sampling; seismic exploration; data reconstruction