材料力學(xué)能量法四種不同講授方式

摘"要：材料力學(xué)能量法的教學(xué)一般安排在桿件受力變形、強度理論及壓桿失穩(wěn)之后，單獨成為一個章節(jié)，與結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)等后續(xù)課程緊密銜接，能量法的學(xué)習(xí)對于學(xué)生采用全新視角分析力學(xué)問題十分重要。該文闡述能量法經(jīng)典講授思路，包括應(yīng)變能與加載順序無關(guān)、功的互等定理、外力功/余功和應(yīng)變能/余能的轉(zhuǎn)換和虛位移原理及虛力原理四種推導(dǎo)方式。旨在，其一，聚合不同思維方式，幫助學(xué)生理解能量法知識體系，啟發(fā)學(xué)生科學(xué)思維與創(chuàng)新精神；其二，分析不同講授方法的特點及不同本科專業(yè)的適用性，以針對不同人才培養(yǎng)模式合理安排課程內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：材料力學(xué)；能量法；卡氏定理；虛位移原理；單位荷載法

中圖分類號：G640"""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A"""""文章編號：2096-000X（2025）01-0001-07

Abstract：EnergyMethodsinMaterialMechanicsisgenerallyarrangedafterthestressandstrainanalysisinmostmaterialmechanicsbooks.Itiscloselylinkedtocoursesofstructuralmechanicsandelasticmechanicsforundergraduatestudents.Thispapersummarizesfourtypicalclassteachingwaysfortheenergymethods.Acomprehensivereviewoftheenergymethodsisfirstprovided.Then，comparisonofthedifferentteachingwaysandtheirapplicabilitytodifferentundergraduatemajorsareprovidedinordertoarrangemoresuitableteachingcontents.

Keywords：materialmechanics;energymethods;Castigliano'stheorem;principleofvirtualdisplacement;unit-loadmethod

材料力學(xué)是工程力學(xué)、土木工程、礦業(yè)工程等工科專業(yè)的一門十分重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，具有很強的工程與應(yīng)用背景，它是銜接高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、理論力學(xué)等基礎(chǔ)理論課程到結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、有限元方法、鋼筋混凝土等專業(yè)課程的橋梁，對學(xué)生從理論知識學(xué)習(xí)到嘗試解決實際工程問題具有重要的過渡作用[1]。能量法作為材料力學(xué)課程的一個核心模塊，不僅對于學(xué)生鞏固材料力學(xué)基本知識、理解全新的分析問題思路具有重要意義，同時對后續(xù)課程中核心知識點理解具有重要的銜接作用[2]，尤其是近年來隨著計算力學(xué)的快速發(fā)展，能量法的學(xué)習(xí)更應(yīng)受到重視[3]。

能量法是指利用功和能的概念求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法[4]，能量原理建立在經(jīng)典力學(xué)之后，被看作是19世紀(jì)最重要的發(fā)現(xiàn)之一，能量原理中克拉珀龍定理（Clapeyron'stheorem）、卡氏第一和第二定理（Castigliano'sfirstamp;secondtheorem）、克羅蒂－恩蓋塞定理（Crotti-Engesser'stheorem）、麥克斯韋互等定理（Maxwell'sreciprocaltheorem）、虛功原理等伴隨和影響著近現(xiàn)代力學(xué)、計算力學(xué)的發(fā)展。

由于能量法的特殊性與重要性，當(dāng)前國內(nèi)外大多教材[3-9]均將能量法安排為一個單獨的章節(jié)。涉及桿件受力變形過程中外力功的計算、桿件內(nèi)部存儲的應(yīng)變能計算、卡氏第二定理、變形體的虛位移原理和單位荷載法的內(nèi)容，部分教材會同時安排互等定理、余能的計算、余能定理（克羅蒂－恩蓋塞定理）、卡氏第一定理和圖乘法等內(nèi)容的介紹，以便和后續(xù)結(jié)構(gòu)力學(xué)等課程緊密配合。能量法知識點多，理論性強，對學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、力學(xué)基礎(chǔ)知識和邏輯思維能力要求較高，是材料力學(xué)課程教與學(xué)公認(rèn)的一個難點[10]，學(xué)生普遍反映能量法學(xué)習(xí)困難，難以建立起能量法核心知識體系。

利用有限的課堂講授學(xué)時，合理安排講授能量法講授內(nèi)容，系統(tǒng)優(yōu)化力學(xué)課程相關(guān)知識點教學(xué)，幫助學(xué)生逐漸建立起能量原理知識體系并逐漸具備解決實際問題的能力，值得深入探討[11-13]。

本文總結(jié)了普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材、面向21世紀(jì)課程教材、國外相關(guān)專業(yè)使用的經(jīng)典教材以及網(wǎng)絡(luò)公開課資源，總結(jié)歸納了四種不同的能量法教學(xué)思路，旨在幫助學(xué)生逐漸理解能量原理內(nèi)涵，啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力和高級思維，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。同時進(jìn)行了對比分析，探討了不同講授方法在不同專業(yè)中的適用性，旨在幫助更合理地安排適用于各專業(yè)人才培養(yǎng)的課程內(nèi)容。幫助學(xué)生逐漸具備利用所學(xué)知識創(chuàng)新性地解決實際專業(yè)問題的能力，為提升課程的高階性，突出課程的創(chuàng)新性，增加課程的挑戰(zhàn)性提供參考。

一"能量法的四種講授方式

對于材料力學(xué)能量法講授來說，首先應(yīng)明確應(yīng)變能的概念，尤其是線彈性桿件應(yīng)變能的計算。對于一般彈性材料情形，隨著桿件上廣義力F的增加，廣義位移Δ逐漸增加，二者關(guān)系如圖1所示。外力功為圖示從Δ=0到Δ=Δ1之間F-Δ曲線下圍成的面積，不考慮加載過程中的能量損耗，外力功W轉(zhuǎn)換為積蓄在桿件內(nèi)部的應(yīng)變能Vε，即

各教材一般會說明彈性體應(yīng)變能的特征：①應(yīng)變能恒正，與坐標(biāo)系選取無關(guān)；②應(yīng)變能僅與荷載的最終值有關(guān)，而與加載順序無關(guān)；③線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)變能為內(nèi)力或相應(yīng)變形的二次函數(shù)，也可表示為廣義力或位移的二次函數(shù)，導(dǎo)致計算應(yīng)變能時疊加原理不適用。

在學(xué)習(xí)過桿件基本變形應(yīng)變能表達(dá)形式后，上述①和②容易理解。②中不同書籍給出了不同的說明，其中一個結(jié)合材料力學(xué)課程前述內(nèi)容較易理解的思路：線彈性小變形情形下桿件的變形可通過疊加原理求得，無論多個廣義力何種方式何種順序施加到其最終值，與之對應(yīng)的桿件上的變形為確定值。而應(yīng)變能是由于桿件變形而存儲的能量，變形一定的情況下桿件內(nèi)存儲的應(yīng)變能為確定值。

在明確了應(yīng)變能的基本概念，尤其是線彈性范圍內(nèi)桿件的應(yīng)變能的特征后，不同教材在安排與能量法相關(guān)的其余內(nèi)容及其講授方法時出現(xiàn)了較大不同，不同學(xué)者也針對能量法的教學(xué)給出了不同的建議[2，10，14-19]。此處列出四種典型的講授思路，重點關(guān)注卡氏定理的推導(dǎo)。

（一）"通過應(yīng)變能與加載順序無關(guān)推導(dǎo)

國內(nèi)廣泛使用的教材[3]及大多數(shù)國外教材[8-9，20]都借助了應(yīng)變能與加載順序無關(guān)來進(jìn)行卡氏第二定理的證明。如圖2所示，彈性體上作用了n個廣義外力，分別為F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n，與之對應(yīng)的彈性體上的廣義位移分別為1，2，…，i，…，n。這些廣義力在施加過程中在相應(yīng)的廣義位移上做功。對于彈性體來說，廣義位移可以表示為廣義力的函數(shù)？駐i=f1（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n），同樣廣義力也可以表示為廣義位移的函數(shù)Fi=f2（1，2，…，i，…，n）。在不考慮能量損失的情況下，應(yīng)變能由外力功轉(zhuǎn)換而來，因而應(yīng)變能可以表示為Fi或？駐i的函數(shù)

當(dāng)其中一個廣義力Fi有一微小增量dFi，根據(jù)高等數(shù)學(xué)偏微分知識，由式（2）表示的應(yīng)變能增量可寫為dVε=■dFi，此時桿件上的總應(yīng)變能為Vε+■dFi。對于線彈性體這種特殊情況來說，如果調(diào)換加載順序先施加dFi，此時與dFi對應(yīng)的廣義位移為di，應(yīng)變能為■dFidi。之后再作用F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n，此時雖然已經(jīng)有dFi的作用，由F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n引起線彈性體對應(yīng)的廣義位移大小同樣為1，2，…，i，…，n，導(dǎo)致的應(yīng)變能依舊為Vε。注意F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n施加過程中，已經(jīng)施加的dFi會在廣義位移i上做功，且為常力做功，大小為dFii。按新的加載次序，桿件內(nèi)存儲的應(yīng)變能為■dFidi+Vε+dFii。

由于應(yīng)變能和加載順序無關(guān)，兩次不同加載順序最終的應(yīng)變能應(yīng)相等，略去高階微量■dFid？駐i并化簡后可得卡氏第二定理

即線彈性體應(yīng)變能對于廣義力Fi的變化率等于與該廣義力Fi對應(yīng)的廣義位移？駐i。在講授過程中應(yīng)特別強調(diào)上述推導(dǎo)僅適用于線彈性體，即先作用F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n或者先作用dFi，由于F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n導(dǎo)致的位移？駐1，？駐2，…，？駐i，…，？駐n是一樣的，而此結(jié)論對于非線彈性桿件并不適用。教學(xué)中這一點可以從圖1加以解釋，對于非線彈性體，由于廣義力和廣義位移的非線性對應(yīng)關(guān)系，作用相同的廣義力增量對應(yīng)的廣義位移增量并不相同。

大多數(shù)教材會緊接著講授變形體虛位移原理，進(jìn)而講授單位荷載法及圖乘法相關(guān)內(nèi)容。事實上，也可以在上述卡氏第二定理的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到單位荷載法。以忽略剪切變形的一般對稱彎曲線彈性梁為例，求彎矩時疊加原理適用，因而梁內(nèi)任意位置x處的彎矩M（x）可以表示為廣義力的函數(shù)

式（7）表明在線彈性小變形情形下，卡氏第二定理和單位荷載法是等價的。

此種講授方式無需引入余功及余能等概念，僅涉及線彈性桿件疊加原理、應(yīng)變能的計算等內(nèi)容，可以幫助學(xué)生對之前章節(jié)知識點加以回顧并加深理解，對學(xué)生初步接受能量法基本原理具有幫助作用。同時，此種方式對于教師介紹變形體虛位移原理、單位荷載法及圖乘法提供了較大的自由度，對于學(xué)生融會貫通理解能量法基本思想和原理提供了較易理解的途徑。

（二）"通過功的互等定理推導(dǎo)

部分教材以功的互等定理為切入點推導(dǎo)了卡氏第二定理[7]。以簡支梁為例，如圖3（a）所示，當(dāng)桿件上僅在C1處有一個廣義力F1作用時，與之對應(yīng)的C1處的廣義位移為？駐11，此時C2處也會發(fā)生位移，記為？駐21，表示C2處由于C1處的廣義力F1作用時所產(chǎn)生的位移。對于線彈性桿件來說，這兩個廣義位移都應(yīng)與廣義力F1呈線性關(guān)系

式中：α11和α21為對應(yīng)的柔度系數(shù)。此過程中外力做功W1=■F111=■α11F■■，不考慮能量損耗的情況下，外力功全部轉(zhuǎn)換為桿件內(nèi)存儲的應(yīng)變能Vε1=W1=■α11F■■。

類似，如圖3（b）所示，當(dāng)桿件上僅在C2處有一個廣義力F2作用時，與之對應(yīng)的C2處的廣義位移為？駐22，C1處也會發(fā)生廣義位移為？駐12，這兩個廣義位移都應(yīng)與廣義力F2呈線性關(guān)系

式中：α12和α22為對應(yīng)的柔度系數(shù)。此過程中外力功W2=■F222=■α2２F■■，不考慮能量損耗的情況下，外力功全部轉(zhuǎn)換為桿件內(nèi)存儲的應(yīng)變能Vε2=W2=■α2２F■■。

當(dāng)廣義力F１和F2共同作用時，如圖3（c）所示，求線彈性桿件位移的疊加原理適用，因而可視作首先在C1處施加F１，其次在C2處施加F2。求和得C1處和C2處的廣義位移

現(xiàn)考慮當(dāng)廣義力F１和F2共同作用時桿件內(nèi)的應(yīng)變能，由于彈性桿件內(nèi)存儲的應(yīng)變能和加載順序無關(guān)，不妨首先施加F１，此時桿件內(nèi)存儲的應(yīng)變能為■α1１F■■。其次施加F2，此過程中F2做功導(dǎo)致桿件內(nèi)應(yīng)變能增量為■α22F■■，應(yīng)該注意的是此過程中F1已經(jīng)施加在C1處，會在新產(chǎn)生的位移？駐12上做功，且為常力做功，與之對應(yīng)的梁上應(yīng)變能的增量為F1·α12F2。可得此種加載方式桿件內(nèi)存儲的應(yīng)變能為

如果更改加載順序，首先施加F2再施加F１，與上述分析類似可得桿件內(nèi)存儲的應(yīng)變能為

由于彈性桿件內(nèi)存儲的應(yīng)變能和加載順序無關(guān)，式（14）和式（15）應(yīng)相等，對比可得α12=α21。也就是說由于C1處作用單位力導(dǎo)致的C2處的位移等于由于C2處作用單位力導(dǎo)致的C1處的位移，這個結(jié)論稱為位移互等定理或麥克斯韋互等定理（Maxwell'sreciprocaltheorem）。

現(xiàn)討論由互等定理導(dǎo)出卡氏第二定理，將式（14）關(guān)于F1和F2分別求偏導(dǎo)數(shù)，同時由于α12=α21，可得

從式（16）和式（17）可以看出對于線彈性桿件來說，應(yīng)變能關(guān)于廣義力的偏導(dǎo)數(shù)等于與此廣義力對應(yīng)的廣義位移。

更一般的情況，如果桿件上C1，C2，…，Ci，…，Cn有n個廣義力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n共同作用時，各位置處對應(yīng)的廣義位移分別為1，2，…，i，…，n。與桿件上有兩個廣義力共同作用的式（12）和式（13）類似，n個廣義力共同作用時，Ci處的廣義位移可以表示為

式中：k取1，2，…，n。桿件上存儲的總應(yīng)變能可表示為

式中：j，k分別取1，2，…，n。總應(yīng)變能關(guān)于Ci處的廣義力Fi求偏導(dǎo)數(shù)，即對式（19）中當(dāng)j=i或k=i時求偏導(dǎo)，可得

注意由于αji=αij，并將上式右側(cè)第二項中求和指標(biāo)j替換為k，可得

即i=■，卡氏第二定理得證。

與第一節(jié)類似，此種方式同樣無需引入余功和余能的概念。其中一個難點是在推廣到多個廣義力共同作用時的推導(dǎo)過程中運用了基本的帶求和符號的求導(dǎo)運算，講授過程中需要加以解釋。此種講授方式在國外的部分教材中較常見，推導(dǎo)過程簡潔直接，繞過了必須引入微增量等學(xué)生較難理解的知識點。材料力學(xué)重點討論線彈性桿件小變形情形，此種講授方式易于學(xué)生接受。同時教師在講授過程中可以順帶講授位移互等定理，可以啟發(fā)學(xué)生對于能量原理進(jìn)行更加深入的思考。

（三）"通過外力功/余功和應(yīng)變能/余能的轉(zhuǎn)換推導(dǎo)

與第一種及第二種推導(dǎo)的講授方式稍有區(qū)別，在明確了應(yīng)變能及其由外力功轉(zhuǎn)換而來的同時引出余功和余能的概念。此種講授代表性的教材是高等教育出版社孫訓(xùn)方等編著的系列教材[4]，該教材在第三版后將能量法重點放在應(yīng)變能、余能概念、卡氏定理及其應(yīng)用上，將虛位移原理及單位荷載法放在章節(jié)后半部分作為與后續(xù)結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的銜接。

如圖1所示，余功為圖示從F=0到F=F1之間F-Δ曲線與縱軸圍成的面積，且余能（Vc）和余功（Wc）在數(shù)值上相等

余能是一個人為定義的概念，與應(yīng)變能具有相同的量綱，并無具體的物理意義，對于線彈性材料來說，余能和應(yīng)變能在數(shù)值上相等。

在“外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能”和“外力余功在數(shù)值上等于余能”的前提下，給出了卡氏第一和第二定理的講述。首先是卡氏第一定理的證明，對于彈性體在給定荷載F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n作用時，對應(yīng)的廣義位移1，2，…，i，…，n和彈性體最終存儲的應(yīng)變能Vε也隨即確定。應(yīng)變能（或外力功）僅與荷載（或位移）的最終值有關(guān)，可表示為廣義力或廣義位移的函數(shù)，式（2）和式（3）。

假設(shè)與Fi相應(yīng)的廣義位移Δi有一微小增量dΔi，如圖4所示，在忽略掉二階及以上小量時，由式（3）彈性體內(nèi)應(yīng)變能的變化可表示為dVε=■d？駐i。從另外一個角度考慮，當(dāng)桿件僅發(fā)生與Fi相應(yīng)的廣義位移dΔi變化時，僅Fi做功，外力功的變化為dW=FidΔi。這里學(xué)生在理解過程中的難點是在虛加位移dΔi過程中Fi保持恒定，做功為常力做功，在講授過程中需要特別加以說明。另外，此處需要特別強調(diào)廣義力Fi和廣義位移Δi的對應(yīng)關(guān)系，以幫助學(xué)生正確理解和應(yīng)用卡氏定理。依據(jù)外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能，消去dΔi，可得卡氏第一定理

即彈性體應(yīng)變能對于廣義位移Δi的變化率等于該位移對應(yīng)的廣義力Fi。該定理適用于小變形情況下線彈性及非線彈性桿件。

這種推導(dǎo)過程較易理解，但由于沒有涉及變形體虛位移原理，學(xué)生可能會對彈性體上廣義位移產(chǎn)生微小增量處產(chǎn)生疑問，尤其是對課本簡支梁上只在其中一個廣義位移處產(chǎn)生微增量，而保持其余位移不變產(chǎn)生疑問。因而，需要稍加解釋虛位移模式，即虛位移應(yīng)首先保證變形體的連續(xù)性條件的同時符合約束條件。虛位移有無數(shù)種可能，穩(wěn)定約束系統(tǒng)中，真實發(fā)生的位移僅為可能的虛位移中的一種；其次虛位移為任意虛設(shè)的小位移，計算中可基于變形體原來的形狀進(jìn)行計算。對于課本中簡支梁僅在Fi相應(yīng)的位移Δi有一微小增量dΔi，而其余荷載對應(yīng)的位移保持不變，虛加位移方式有無數(shù)多種，圖5（a）和圖5（b）虛線給出了兩種滿足上述條件的虛加位移dΔi。

有了卡氏第一定理的鋪墊，余能定理的推導(dǎo)可通過對照自然得出。對于線彈性體或非線彈性體在給定荷載F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n作用時，對應(yīng)的廣義位移1，2，…，i，…，n及其余能也即確定。類似，余能Vc可表示為荷載Fi的函數(shù)Vc=f（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n）?，F(xiàn)假設(shè)廣義力Fi有一微小增量dFi，忽略掉二階及以上小量時，梁內(nèi)余能的變化可表示為dVc=■dFi。從另外一個角度考慮，當(dāng)彈性體僅發(fā)生與廣義位移Δi對應(yīng)的Fi變化dFi時，外力余功的變化為dWc=ΔidFi，此處同樣應(yīng)強調(diào)廣義力和廣義位移的對應(yīng)。依據(jù)外力余功在數(shù)值上等于余能，消去dFi可得余能定理或稱為克羅蒂－恩蓋塞定理

即彈性桿件余能對于某一廣義力Fi的變化率等于與該廣義力對應(yīng)的廣義位移Δi。該定理適用于小變形情況下線彈性體及非線彈性體。

特別地，對于線彈性桿件來說，應(yīng)變能Vε和余能Vc在數(shù)值上相等。因而用Vε替換式（24）中的Vc即可得卡氏第二定理Δi=■。與卡氏第一定理適用于線彈性和非線彈性體不同，卡氏第二定理僅適用于線彈性體。

此種講授通過類比對照的方式分別給出了卡氏第一定理及余能定理的證明，通過線彈性材料余能在數(shù)值上和應(yīng)變能相等，給出了僅適用于線彈性材料的卡氏第二定理。講授知識點較全面，講授過程中需要注意幫助學(xué)生回顧高等數(shù)學(xué)全微分等理論知識以及幫助學(xué)生理解虛位移等基本概念，此種講授方式的優(yōu)勢在于可以幫助學(xué)生更全面地了解能量法中的不同定理，同時理解不同定理的適用范圍。

（四）"通過虛位移原理及虛力原理推導(dǎo)

此種講授方式與第三節(jié)類似，不同的是首先講授虛位移原理和虛力原理，進(jìn)而推導(dǎo)卡氏第一和第二定理[16]。講授過程涉及更為嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，可幫助學(xué)生逐漸理解能量法體系，進(jìn)而對后續(xù)學(xué)習(xí)有限元分析等課程具有幫助作用。為了適應(yīng)學(xué)生力學(xué)分析及研究的需要，此種講授方式其中一個代表性教材[21]從第三版起，將能量法擴(kuò)充為兩章，分別講授虛位移及虛力原理相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)而形成更加系統(tǒng)的能量原理知識體系。事實上大多結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中會更詳細(xì)介紹虛功原理，即首先講授變形體的虛功原理，其次講授由虛功原理得到的兩個虛功型原理：虛位移原理（與力系平衡等價）和虛力原理（與變形協(xié)調(diào)方程等價）。

在材料力學(xué)前序課程理論力學(xué)中已經(jīng)給出了質(zhì)點和質(zhì)點系的虛位移原理：質(zhì)點或質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)的充要條件是外力對于虛位移所作的總功為零。對于變形體來說，發(fā)生虛位移時不僅外力做功，內(nèi)力也會由于虛位移導(dǎo)致的桿件變形而做功。大多材料課本中都給出了變形體虛位移原理的簡單論述，例如，以單輝祖版為代表的教材[5]借助簡支梁受分布荷載，采用分部積分法論證了虛位移原理。以劉鴻文版為代表的教材[3]和以孫訓(xùn)方版教材[4]為代表的教材分別在理論力學(xué)剛體虛位移原理的基礎(chǔ)上給出了變形體虛位移原理的說明。關(guān)于虛位移原理更嚴(yán)格的論證可以參考結(jié)構(gòu)力學(xué)書籍[22]。變形體的虛位移原理可以表述為：變形體處于平衡狀態(tài)的充要條件是作用在其上的外力在虛位移上所做的功（外力虛功）等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上所做的功（內(nèi)力虛功），即

基于變形體虛位移原理，可以得出卡氏第一定理。注意虛位移可以是與真實位移有關(guān)的位移，也可以是與真實位移無關(guān)的位移。當(dāng)虛位移是真實位移的增量時，外力虛功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變能增量，即δWe=δVε。彈性體受外荷載（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n）作用平衡后，對應(yīng)位置產(chǎn)生廣義位移（1，2，…，i，…，n），彈性體內(nèi)部所存儲的應(yīng)變能可表示為廣義位移的函數(shù)Vε=f（1，2，…，i，…，n）。如在彈性體上施加虛位移，導(dǎo)致相應(yīng)位置產(chǎn)生虛位移大小為（1，δ2，…，i，…，n），此過程中外荷載在相應(yīng)虛位移上所做的外力虛功可以表示為

而內(nèi)力虛功，即應(yīng)變能增量可表示為

依據(jù)變形體虛位移原理，上述式（26）和式（27）相等可得

式（28）對任意虛位移成立，需保證式（28）括號中的式子恒為零，可得卡氏第一定理Fi=■。

與虛位移原理對應(yīng)，在講授了虛功和余能的概念后可引出虛力原理。與前述虛位移原理類似，可以給出變形體虛力原理的簡要論證，虛力原理：彈性體保持變形協(xié)調(diào)的充要條件是外力虛余功等于內(nèi)力虛余功

基于變形體虛力原理，可以得出克羅蒂－恩蓋塞定理（余能定理）。任意施加的虛力需滿足平衡條件，可以與真實力有關(guān)，也可以與真實力無關(guān)，當(dāng)虛力為作用在彈性體上的真實力的增量時，內(nèi)力虛余功等于桿件內(nèi)的余能增量，即δWic=δVc。當(dāng)桿件受外荷載（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n）平衡后其內(nèi)余能可以表示為廣義力的函數(shù)Vε=f（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n）。如在桿件上施加任意虛力δFi，則外力虛余功可以表示為

余能增量可表示為

由變形體虛力原理上述式（30）和式（31）相等，可得

式（32）對任意虛位移成立可得克羅蒂－恩蓋塞定理。

對于線彈性體，應(yīng)變能在數(shù)值上等于余能，即Vε=Vc，可得卡氏第二定理。

在絕大多數(shù)不涉及虛力原理的教材中[3-6，20]，單位荷載法是通過虛位移原理給出的，即將虛加的單位荷載看作實際外力，而將實際位移看作虛位移，進(jìn)而得到單位荷載法表達(dá)式。事實上，在講授了虛力原理后，單位荷載法的給出更為直接[21]。為求變形體在實際荷載作用下某位置處的廣義位移，在該位置處施加相應(yīng)的單位荷載，并將其看做虛力，由這個單位荷載引起的變形體任意截面上的內(nèi)力記為（■，■，■，■）。則外力虛余功為1·？駐，內(nèi)力虛余功為■■dδ+■dλ+■dφ+■dθ，由虛力原理二者相等可得彈性體單位荷載法的一般表述形式。

此種講授方式通過類比對照分別給出了虛位移原理和虛力原理的說明，并基于此分別給出了卡氏第一定理、克羅蒂－恩蓋塞定理（余能定理）及卡氏第二定理的證明。此種講授知識點全面，相比于第三種推導(dǎo)的講授方式來說理論性更強，其優(yōu)勢在于可幫助學(xué)生逐漸理解能量法知識體系。

二"能量法不同講授方式對比及教學(xué)探討

（一）"四種不同講授方式對比

受課堂教學(xué)課時的限制，絕大多數(shù)材料力學(xué)能量法課堂教學(xué)僅可有針對性地選取其中一種進(jìn)行講授。隨著時代的發(fā)展，國內(nèi)外使用的教材也在不斷迭代，尤其是針對能量法的課程內(nèi)容安排演化較大，逐漸形成了針對不同學(xué)科和專業(yè)的經(jīng)典教材。當(dāng)前國內(nèi)機(jī)械大類專業(yè)多采用劉鴻文版材料力學(xué)，土木大類專業(yè)多采用孫訓(xùn)方版材料力學(xué)教材，其余，如單輝祖、范欽珊、殷雅俊等經(jīng)典教材也被力學(xué)類、航空航天類等專業(yè)廣泛使用。這些經(jīng)典教材的能量法課程內(nèi)容安排基本可囊括在本文所討論的四種講授思路中。

第一種講授方式通過應(yīng)變能與加載順序無關(guān)推導(dǎo)得到卡氏第二定理，在鞏固了基本知識及講授了卡氏第二定理新知識的同時，可以更進(jìn)一步進(jìn)行單位荷載法及圖乘法的講授，此種方式較利于學(xué)生接受。

第二種講授方式通過功的互等定理推導(dǎo)，討論兩個及多個荷載共同作用時線彈性結(jié)構(gòu)的位移及應(yīng)變能，并采用柔度系數(shù)給出了應(yīng)變能的表達(dá)形式，自然引出功的互等定理及位移互等定理，進(jìn)一步通過應(yīng)變能對廣義力求偏導(dǎo)直接得卡氏第二定理。部分學(xué)者也采用與上述推導(dǎo)類似的辦法借助剛度系數(shù)給出了卡氏第二定理的證明[15]。推導(dǎo)中用到的功的互等定理、剛度系數(shù)及柔度系數(shù)等概念的介紹對于學(xué)生銜接后續(xù)課程的學(xué)習(xí)具有引導(dǎo)幫助作用。

第三種講授方式借助外力功/余功和應(yīng)變能/余能的轉(zhuǎn)換推導(dǎo)得到卡氏第一定理、余能定理及卡氏第二定理。講授過程中假設(shè)廣義位移或廣義力有微小增量時，外力功及外力余功的表達(dá)形式為廣義力和廣義位移的乘積，需強調(diào)廣義力和廣義位移的對應(yīng)關(guān)系，以幫助學(xué)生準(zhǔn)確使用卡氏定理。講授中一個難點是證明卡氏第一定理及余能定理時施加廣義位移或廣義力微小增量時，應(yīng)變能增量的計算，可以引入虛位移概念以幫助學(xué)生理解。此外，余功及余能為人為定義的一個量，沒有實際物理含義，且為學(xué)生首次接觸，需要加以說明。此種講授方式知識點更為全面，通過對比可明確不同定理的適用范圍。

第四種講授方式通過虛位移原理及虛力原理推導(dǎo)，與第三種講授方式類似，理論性更強，借助能量法中虛位移原理和虛力原理給出卡氏第一定理及克羅蒂－恩蓋塞定理的證明，有助于理解能量原理的內(nèi)涵。教學(xué)中以虛功原理為主體，并作為貫穿后續(xù)力學(xué)課程的一條主線，對于結(jié)構(gòu)力學(xué)中虛功原理、彈性力學(xué)中關(guān)于能量法的變分原理及有限元法中最小勢能原理的學(xué)習(xí)具有引導(dǎo)作用。

（二）"能量法教學(xué)探討

材料力學(xué)作為工科專業(yè)基礎(chǔ)課，對創(chuàng)新型專業(yè)人才培養(yǎng)有關(guān)鍵的作用。課程知識點多，理論性強，其中能量法的章節(jié)更是其中的典型。本文總結(jié)了四種典型的能量法的講授方式，基本囊括了現(xiàn)行能量法講授思路，可以作為學(xué)習(xí)參考，幫助開拓思路，逐漸加深理解，形成能量法知識體系。

新工科及新時代人才培養(yǎng)不僅要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中掌握基礎(chǔ)知識和基本原理，而且要求學(xué)生能逐漸建立模型分析復(fù)雜工程問題。在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生明確專業(yè)目標(biāo)，將實際專業(yè)問題引入課堂中，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸建立起專業(yè)認(rèn)同感及專業(yè)自豪感，培養(yǎng)學(xué)生從求解固定作業(yè)題目逐步轉(zhuǎn)變到解決實際專業(yè)工程及科學(xué)問題的能力[12]。

三"結(jié)束語

本文總結(jié)了材料力學(xué)能量法教學(xué)中的四種典型講授思路，重點關(guān)注了四種講授方式中卡氏第二定理的推導(dǎo)。結(jié)合材料力學(xué)課程特點，對比分析了四種能量法講授方式的特點及學(xué)生接受過程的難易。前兩種方式無需引入余功及余能等概念，與材料力學(xué)前述講授有更緊密的銜接。后兩種方式更為全面地介紹了能量原理相關(guān)的內(nèi)容，可幫助學(xué)生逐漸形成能量原理知識體系，對后續(xù)相關(guān)力學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)具有幫助作用。本文旨在聚合不同的經(jīng)典教學(xué)方案，以期開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生對于材料力學(xué)學(xué)習(xí)以及對科學(xué)研究的興趣，幫助學(xué)生更深刻地理解材料力學(xué)能量法，同時為相關(guān)專業(yè)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打好堅實的基礎(chǔ)，逐漸培養(yǎng)學(xué)生對于應(yīng)用所學(xué)力學(xué)知識解決實際工程問題的能力。

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基金項目：國家自然科學(xué)基金項目“孔尺度水-油非連續(xù)驅(qū)替行為控制機(jī)理研究”（52274045）；中國礦業(yè)大學(xué)（北京）本科教育教學(xué)改革與研究項目“基于科研訓(xùn)練大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育能力培養(yǎng)模式”（J241509）

第一作者簡介：鄭江韜（1989-），男，漢族，山西運城人，博士，副教授，碩士研究生導(dǎo)師。研究方向為工程力學(xué)教學(xué)與研究。