MATLAB可視化在微分方程教學中的應用

摘"要：在教育教學改革一再深入的背景下，人們開始探索“數學+計算機”的教學模式。該文在剖析微分方程現存教學模式弊端的基礎上，提出微分方程可視化教學的幾點建議。基于數學軟件MATLAB，介紹4個微分方程可視化的具體案例，并在其后附上相應的程序及注釋，以期能幫助有需要的人們更快地進入MATLAB編程的大門。

關鍵詞：常微分方程；偏微分方程；MATLAB；可視化；數值解

中圖分類號：G642"""文獻標志碼：A"""""文章編號：2096-000X（2025）01-0008-06

Abstract：Inthecontextofrepeateddeepeningofeducationandteachingreform，peoplebegantoexploretheteachingmodeof\"mathematics+computer\".BasedontheanalysisoftheshortcomingsoftheexistingteachingmodeofDifferentialEquations，thispaperputsforwardseveralsuggestionsforthevisualteachingofDifferentialEquations.BasedonthemathematicalsoftwareMATLAB，fourspecificcasesofdifferentialequationvisualizationareintroduced，followedbycorrespondingprogramsandcomments，inordertohelptheneedypeopleenterthedoorofMATLABprogrammingfaster.

Keywords：ordinarydifferentialequation;partialdifferentialequation;MATLAB;visualization;numericalsolution

微分方程是以建立數學模型、開展理論分析、解釋客觀現象進而解決實際問題為內容的一個數學分析的重要分支[1]。作為高等學校數學專業的核心課程，起著承前啟后的作用，它既是數學分析和大學物理的后續課程，也是數學建模和泛函分析等課程的先修課程，主要包括常微分方程和偏微分方程兩個板塊。

傳統的微分方程教學主要是“黑板+粉筆”的灌輸式教學，拘泥于抽象的理論學習及復雜的手動計算。學生通過學習一些定義、定理、公式等來了解微分方程知識，抽象的語言和復雜的公式往往使學生望而生畏，興趣索然，打擊了學生學習的熱情和信心，同時也不利于學生創新精神和實踐能力的培養。若能將抽象的概念和結論借助幾何圖形生動直觀地呈現出來，必將非常有助于學生對微分方程知識的學習和理解。

MATLAB是一款以矩陣運算為基礎的的數學軟件，有著強大的數值計算和可視化功能[2]。鑒于此，我們可以將MATLAB可視化融入微分方程教學中，利用MATLAB把過程和結果以可視、動態的形式展示出來，讓微分方程的知識更加直觀、更容易理解，讓學生的學習變得更為有趣、更加高效。

我們在微分方程多年教學經驗的基礎上，提出微分方程可視化教學的一些建議，并結合4個具體的案例介紹了MATLAB可視化在微分方程教學中的應用，其中包含2個常微分方程和2個偏微分方程。同時，還附上了相應的程序及注釋，以方便不熟悉MATLAB操作和編程的師生參考借鑒。

一"可視化教學建議

教學模式單一、以教師為中心、缺乏育人元素是目前大多數的微分方程課程所存在的問題[3]。如何在夯實學生基礎知識的同時，充分發揮學生的主體性，激發學生的學習熱情？下面提出三點建議以供參考。

（一）"滲透數學文化，激發學習熱情

微分方程歷史悠久、應用廣泛，在其發展的各個階段都有著故事，或是微分方程某個理論產生的現實背景，或是幾代數學家接續的刻苦鉆研，亦或是微分方程在自然科學和社會科學中應用的最新成果[4]。在課堂中有意識地給學生滲透微分方程相關的故事和文化，不僅能讓學生了解知識的來龍去脈，知道為什么學、學有何用，還能激發學生的學習熱情，寓教于樂。

（二）"傳授理論知識，搭建知識框架

微分方程的內容具有抽象、復雜等特點[5]。教師在授課過程中，要先將微分方程的理論和方法給學生講解透徹，使學生對微分方程的基本知識框架有個宏觀的認識，在頭腦中形成系統的微分方程知識體系。

（三）"發揮主觀能動，探究可視化過程

在教學過程中，重視教學與信息化技術的融合，以滿足新時代大學生對知識的需求，幫助學生理解和掌握知識[6]。在學生對微分方程知識有了一定的了解后，教師可將MATLAB的使用方法教給學生，讓學生獨立地去探究微分方程及其結果的可視化過程，直觀地感悟微分方程的理論知識。對于較為復雜的方程，還可考慮采用小組合作的方式，促進學生思維之間的碰撞。

此外，教師還可以從銜接中學數學教學、改革教學評價體系等方面入手，改善微分方程教學現狀，提高微分方程教學效果。

二"可視化教學應用舉例

我們選取了微分方程課程中的四個具體例子來探究可視化教學，分別是伯努利微分方程、常微分方程的歐拉法、熱傳導方程和泊松方程。傳統的微分方程教學模式拘泥于抽象的理論學習及復雜的手動計算，學生理解起來有較大的難度。基于MATLAB的可視化功能，采取“數學文化+理論分析+可視化”的教學模式，旨在搭建代數與幾何之間的橋梁，讓微分方程更加直觀，讓學生的學習更加高效，同時也希望學生能因此而更加有信心和興趣學習微分方程。

（一）"常微分方程解析解的可視化

低階特殊常微分方程及線性常微分方程可采用解析解法來求解，其解的表達式為初等函數或超越函數。常用的解析解法有分離變量法、常數變異法、積分因子法和降階法。這些解析解法，既是常微分方程理論中很有自身特色的部分，也與實際問題密切相關，值得我們好好學習、認真體會。

案例1：求方程■=6■-xy2的通解[7]。

1）數學文化。瑞士的伯努利家族，在祖孫三代人中便產生了8位數學家，其中至少有三位出類拔萃。1654年，雅各布·伯努利出生于巴塞爾，其父親老尼古拉·伯努利希望他學神學，遵循父親的意愿，他于22歲取得了神學碩士學位。與此同時，雅各布還自學了他所喜愛的數學，伯努利微分方程便是其研究成果之一。而雅各布·伯努利對數學最大的貢獻在于概率論的研究，他曾發表有關賭博游戲中輸贏次數問題的論文，后來寫成了巨著《猜度術》。1705年，雅各布·伯努利逝世。

2）理論分析。這是n=2的伯努利微分方程。令z=y-1，算得■=-y-2■。代入原方程得到線性微分方程■=-6■+x，由常數變易法求得其通解為z=■+■，其中C為任意常數。最后代回原來的變量y得到原方程的通解■-■=C。此外，方程還有解y=0。

3）可視化探究。程序Case_1.m如圖1所示。

由MATLAB求解得，方程通解為y=■或y=0。如圖2所示，當Clt;0時，曲線有兩個間斷點；當C=0時，曲線有一個間斷點；當Cgt;0時，曲線無間斷點，有兩個極大值點和一個極小值點。所有曲線族均關于y軸對稱，是偶函數。

（二）"常微分方程數值解的可視化

在實際應用中，許多微分方程無顯式解，需要借助數值解法進行求解[8]。所謂常微分方程初值問題的數值解法，即將一個連續的微分方程初值問題轉化為一個離散的差分方程初值問題，而后通過解差分方程獲得其數值解。常微分方程問題常用的數值解法：歐拉（Euler）法和龍格-庫塔（Runge-Kutta）法。

數值解得到的數值不易分析，利用MATLAB等計算機技術可將數據進行可視化，轉化為便于分析處理的圖形圖像。尤其是大部分微分方程都不可解、不可積，若能結合抽象的數值解及其直觀的圖形顯示，對微分方程的學習和研究都有著極大的幫助。

案例2：用向前歐拉法、向后歐拉法和改進歐拉法計算下列初值問題，并與精確解對比，步長h=0.1，

1）數學文化。歐拉于1707年出生于瑞士，一生的大部分時間在俄羅斯帝國和普魯士度過。他是一位多產的數學家，一生寫了三十二部足本著作和七十多卷科學論著，其中一半的著作是在生命的最后七年，在雙目完全失明的情況下產出的。歐拉是剛體力學和流體力學的奠基者，彈性系統穩定性理論的開創人。他曾用兩種方法來描述流體的運動，其一便是根據空間固定點描述流體速度場的歐拉法。

2）理論分析。易得方程的精確解為

根據向前歐拉法、向后歐拉法和改進歐拉法的遞推公式，可得計算結果見表1。

3）可視化探究。程序Case_2.m如圖3所示。

如圖4所示，方程的特解是單調遞減的曲線。從圖4中可以直觀地看出，當用向前或后歐拉法近似曲線時誤差較大，用改進歐拉法近似曲線時誤差較小，即改進歐拉法的近似效果優于向前（后）歐拉法。

（三）"拋物型方程的可視化

拋物型方程是一類重要的二階偏微分方程，在流體力學、熱力學和石油化工等方面都有著應用[9]。它的一般形式為

式中：u為未知函數，a、d、f為已知實值函數，？駐是Laplace算子。拋物型方程的求解難度與空間維數有關，未知函數u與時間t有關，純粹的理論分析對初學者來說理解起來較為困難。這里將可視化引入教學中，讓拋物型方程動起來，使學生能直觀地觀察到函數u隨時間t的變化，激發學生的學習興趣。

案例3：求解下面方程。

1）數學文化。傅里葉是法國的數學家和物理學家，1768年在歐賽爾出生，1840年卒于巴黎。他在數學方面的主要貢獻是在研究熱傳播時創立的數學理論。1807年，傅里葉在論文《熱的傳播》中推導出了著名的熱傳導方程，并在探索方程的通解時發現解函數可表示為三角函數的級數形式，在此過程中，傅里葉逐漸形成了級數收斂的概念，進一步創立了在現代數學和科學技術中十分重要的傅里葉級數和傅里葉積分的系統理論。

2）理論分析。這是二維熱傳導方程的初邊值問題。對此定解問題，首先利用分離變量法解出滿足問題中的方程及邊界條件的非平凡解，再考慮非平凡解的級數形式，使其滿足初值條件，即可得到定解問題的函數解。在MATAB中，可利用函數parabolic求解。

3）可視化探究。程序Case_3.m如圖5所示。

熱傳導方程求解區域及細化后的三角網格如圖6所示。這里MATLAB以動態圖的形式給出t∈[0.01]之間的共20幀熱傳導方程解函數的圖像，圖7為其中的4幀解函數圖。

（四）"橢圓型方程的可視化

橢圓型方程也是一類重要的二階偏微分方程，其一般形式為

式中：u為未知函數，a、f為已知實值函數，？駐是Laplace算子。橢圓型方程有著廣泛的物理背景，主要用來描述物理中的平衡穩定狀態，比如振動趨于平衡、熱傳導趨于穩定及保守場。

案例4：求解Dirichlet問題。

式中：Ω是等腰三角形，其頂點為（-1，0），（1，0），（0，■）[10]。

1）數學文化。西莫恩·德尼·泊松是法國數學家，1781年出生于法國盧瓦雷，1840年卒于法國索鎮。泊松最初奉父命學醫，但他對醫學并無興趣，不久便轉向數學。泊松的科學生涯開始于研究微分方程及其在擺的運動和聲學理論中的應用。在論文《關于球體引力》和《關于引力理論方程》中，泊松引入了著名的泊松方程。

2）理論分析。這是二維泊松方程的初值問題。用對稱開拓法（鏡像法）去構造它在正三角形Ω上的Green函數，從而求得在此區域上的Dirichlet問題的解。

3）可視化探究。為方便繪制求解區域，這里采用PDEToolBox的交互操作求解方程。步驟如下。

①啟動PDEToolBox界面。在MATLAB命令行窗口輸入，回車彈出PDEToolBox對話框。②繪制求解區域并劃分。利用工具欄圖形工具繪制等腰三角形，雙擊等腰三角形可調整頂點坐標；單擊工具欄三角按鈕粗略劃分三角網格，繼續單擊雙三角按鈕可細分三角網格。③修改邊界條件。單擊Boundary-Specifyboundaryconditions，選中左欄Conditiontype中的Dirichlet并修改h=1，r=0。④確定方程類型及參數。泊松方程為特殊的橢圓型方程，選中橢圓按鈕并設置a=0，f=2。⑤求解方程。單擊工具欄“=”按鈕，顯示出方程的數值解分布，還可單擊工具欄三維圖標打開PlotSelection對話框，選擇其他方式顯示泊松方程求解結果。⑥保存為M文件。單擊File-Saveas，將結果保存在C4_4_1.m的M文件中。

泊松方程求解區域及細化后的三角網格如圖8所示。泊松方程求解結果如圖9所示。

三"教學效果分析

在信息化時代，我們要善用科技的力量，幫助學生抽絲剝繭，由淺入深地學習并掌握微分方程的理論和方法，讓計算機輔助教學發揮它應有的作用和價值。教師在教學過程中，首先對微分方程的基本概念和求解方法進行深入講解，使學生從宏觀層面把握微分方程知識間的聯系及系統性；其次，充分發揮學生的主觀能動性，把MATLAB的使用方法教給學生，以自主探索或小組合作的方式進行實踐，討論積極，課堂氣氛活躍，教學效果顯著提高。使學生經歷借助MATLAB將抽象的微分方程問題具體化、可視化的過程，在數學實驗中理解和解決數學問題，從而愛上數學、樂學數學，善于用數學解決實際問題。

參考文獻：

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[2]林挺.研究MATLAB與Mathematica在解微分方程（組）的應用比較及特解的圖形解析[J].現代職業教育，2020（27）：154-155.

[3]李姝敏，郭鵬云，徐國明.常微分方程課堂教學改革的探索與實踐[J].赤峰學院學報（自然科學版），2023，39（3）：88-92.

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[5]金玲玉，王霞.新工科背景下的偏微分方程教學改革的新思考[J].教育現代化，2019，6（A4）：71-72.

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[8]石彤菊.基于互聯網的常微分方程數值解法的可視化設計[J].保定學院學報，2011，24（3）：72-75.

[9]廉海榮，方鑫宇，劉明柱，等.拋物型微分方程的可視化討論[J].數學的實踐與認識，2021，51（24）：304-310.

[10]朱長江，鄧引斌.偏微分方程教程[M].北京：科學出版社，2005.

基金項目：國家自然科學基金面上項目“磁流體方程的能控性”（11971320）；深圳大學研究生教育改革研究項目“應用數學專業微分方程方向交叉創新人才培養模式探索與實踐”（SZUGS2022JG09）；深圳大學教學改革研究項目“《常微分方程》課程思政探索與實踐”（JG2022120）

第一作者簡介：陶強（1982-），男，漢族，吉林長春人，博士，副教授，博士研究生導師。研究方向為微分方程教學與科研。