觀察·想象·推理：幾何學(xué)習(xí)三部曲

第5章走進(jìn)幾何世界

領(lǐng)"銜"人：朱月紅（江蘇省特級教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省泰州市高港區(qū)朱月紅初中數(shù)學(xué)名師工作室

“走進(jìn)幾何世界”屬于幾何的研究范疇。對于剛上初中的同學(xué)來說，初中的幾何知識既熟悉又陌生。與小學(xué)相比，初中幾何知識更系統(tǒng)，更考驗(yàn)我們的觀察力、想象力和邏輯推理能力。今天，就讓我們一起踏上這場充滿樂趣與挑戰(zhàn)的幾何學(xué)習(xí)之旅吧。

觀察——開啟幾何世界的鑰匙

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科。當(dāng)我們環(huán)視四周，不難發(fā)現(xiàn)其中隱含著豐富多彩的幾何圖形。教室里的門窗、課桌的形狀；路邊建筑物的輪廓，樹木的排列；同學(xué)們手中的乒乓球、魔方等日常物品，都可以抽象成我們熟悉的幾何圖形。這些圖形構(gòu)成了幾何研究的對象，包括圓柱、圓錐、正方體、長方體、球體等，以及構(gòu)成這些幾何體的基本元素：點(diǎn)、線、面。

在將現(xiàn)實(shí)世界中的物體抽象為幾何圖形，并確定基本幾何元素之后，我們不禁會問：有了研究對象，接著研究什么？怎么研究？事實(shí)上，我們有了基本元素（研究對象）后，一般要研究元素之間的關(guān)系。比如，當(dāng)我們觀察三棱柱、四棱柱等幾何體時，會研究每個幾何體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，探索其中的規(guī)律。如下頁圖1，如果我們從正方體中切去一個角，我們要研究的問題是：有哪些切法？每一個幾何體頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間有什么關(guān)系？有什么規(guī)律？通過自主探索，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)呢？這可是著名的歐拉公式哦！

想象——翱翔于幾何的藍(lán)天

如果說觀察是打開幾何世界大門的鑰匙，那么想象就是讓我們自由翱翔在這片藍(lán)天中的翅膀。幾何學(xué)習(xí)不是紙上談兵，我們需要發(fā)揮想象力，將抽象的概念轉(zhuǎn)化為生動的圖形，甚至創(chuàng)造出新的圖形組合。

動起來，更精彩。圖形的運(yùn)動包括平移、旋轉(zhuǎn)和翻折。大家不要小看這三種運(yùn)動哦，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，很多幾何運(yùn)動都離不開它們呢。通過展開與折疊，我們還會學(xué)習(xí)常見立體圖形的平面展開圖，同時，也會接觸將展開圖還原成立體圖形等實(shí)踐知識。因而，立體圖形可以轉(zhuǎn)化成平面圖形，平面圖形也可以轉(zhuǎn)化成立體圖形。

如圖2，長方體的長為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A沿直線爬到點(diǎn)B，有幾種走法？

數(shù)學(xué)中，數(shù)和形也可以互相轉(zhuǎn)化。比如：求[12]+[14]+[18]+[116]的和，如果將這個式子與圖3結(jié)合起來，是不是更簡潔？（答案：[12]+[14]+[18]+[116]=1-[116]=[1516]）

推理——攀登幾何的高峰

幾何學(xué)習(xí)不僅僅是觀察和想象的結(jié)合，它更離不開嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评怼Ｎ覀兛梢詮囊阎獥l件出發(fā)，通過推理，一步步得出未知的結(jié)論，感受數(shù)學(xué)邏輯的力量和美感。特別需要注意的是，我們在幾何學(xué)習(xí)中，對任何一個研究對象，都要掌握三種語言——“文字語言、圖形語言、符號語言”，要將三者結(jié)合起來整體學(xué)習(xí)。如“三角形”，它的文字語言是“在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接組成的圖形叫三角形”，圖形語言是下頁圖4②，符號語言是“△ABC”。在語言規(guī)范描述的基礎(chǔ)上，還要注意解題過程的完整，即推理要嚴(yán)謹(jǐn)。如：長方形ABCD的4個角都是90°，根據(jù)圖4的思路，你能得到一般四邊形的內(nèi)角和嗎？

解：因?yàn)殚L方形ABCD內(nèi)角和為360°（已知），所以直角△ABC內(nèi)角和為180°。

因?yàn)椤鰽BC與△BCE的內(nèi)角之和為360°（圖4③），∠ABC+∠CBE=180°，所以△ACE的內(nèi)角和為180°。

所以四邊形ACEF的內(nèi)角和為360°（四邊形可分成任意兩個三角形）。

這種解決問題的過程其實(shí)就是推理的過程。我們通過觀察和想象，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中的幾何圖形及其特征、關(guān)系、規(guī)律，提出問題與猜想，通過推理得到一般結(jié)論。

“走進(jìn)幾何世界”為我們拉開了幾何學(xué)習(xí)的序幕。如果我們想繼續(xù)研究，就必須在此基礎(chǔ)上深入研究平面圖形，最終才能全面認(rèn)識立體圖形，為高中階段要學(xué)習(xí)的立體幾何打下基礎(chǔ)。相信同學(xué)們經(jīng)過自己的努力，一定能夠在幾何學(xué)習(xí)中學(xué)出樂趣，學(xué)出成就。

（作者單位：江蘇省泰州市環(huán)溪初級中學(xué)）