一題多解顯素養

基金項目：榆林市課題《GeoGebra在新人教A版高中函數教學中的應用研究》（課題編號：YWX242992）

《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）第88頁在考試命題原則中強調：考查內容應圍繞數學內容為主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧.把握數學核心概念的本質，明晰什么是數學的通性通法［1］.在一題多解中可以培養學生運算思辨的觀念，優化運算的策略，從而提升學生的邏輯推理、數學運算等數學核心素養.本文例舉漢中市一道質檢題予以研究.

1.試題呈現

已知函數f（x）=alnx－a－x．

（1）討論f（x）的單調性;

（2）證明：當agt;0時，f（x）＜－3a+2.

2.解法探究

解" （1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）.f′（x）=ax－1=a－xx，xgt;0當a≤0時，f′（x）≤0，則f（x）在0，+∞上單調遞減.當agt;0時，當0＜x＜a時，f′（x）gt;0;當xgt;a時，f′（x）＜0，因此f（x）在0，a上單調遞增，f（x）在a，+∞上單調遞減.

（2）證法一：（最值分析） 由（1）得f（x）max=fa=alna－a－a，要證f（x）＜－3a+2，只需證alna－a2+2a－2＜0，agt;0，即證lna－a－2a+2＜0，令ga=lna－a－2a+2agt;0，g′a=2－a1+aa2，當0＜a＜2時，g′agt;0，ga在0，2上單調遞增;當agt;2時，g′a＜0，ga在2，+∞上單調遞減，因此g（x）≤gamax=g2=ln2－1＜0，從而命題得證．

評注：利用第（1）問結論，通過構造差函數g（a），進而證明g（a）的最大值小于0，這種方法是證明不等式最常用的一種方法.

證法二：（飄帶放縮+基本不等式） 令h（x）=lnx－12（x－1x），xgt;1，h′（x）=－（x－1）22x2＜0，h（x）在（1，+∞）上單調遞減，h（x）＜h（1）=0，即lnx＜12（x－1x），xgt;1，由方法一知，只需證lna－a－2a+2＜0，agt;0，（）令g（a）=lna－a－2a+2＜0，agt;0，當0＜a≤1時，g（a）≤－（a+2a）+2≤－2a2a+2＜0，滿足題意，當agt;1時，g（a）=［lna－12（a－1a）］+12（a－1a）－a－2a+2＜－（a2+52a）+2≤－2a252a+2=－5+2＜0，因此（）成立，原不等式成立.

評注" 利用“飄帶不等式”對原不等式進行放縮，結合基本不等式證明原不等式，證明中要求熟一些飄帶不等式，比如：

12（x－1x）≤lnx≤2（x－1）x+1，0＜x≤1，2（x－1）x+1≤lnx≤12（x－1x），x≥1.等等.

證法三：（切線放縮）易證x－lnx－1≥0，（當且僅當x=1時取等號）［2］，因此用xe替換x得，lnx≤1ex，當且僅當x=e時取等號，由方法二知，只需證lna－a－2a+2＜0，agt;0，（）令g（a）=lna－a－2a+2＜0，agt;0，則g（a）≤ae－a－2a+2=（1－e）a2+2ea－2eea，令y=（1－e）a2+2ea－2e，agt;1，當a=ee－1時，ymax=e（e－2）1－e＜0，因此g（a）＜0，（）式成立，原不等式成立.

評注" x－lnx－1≥0，lnx≤1ex是常見的對數切線不等式，利用此不等式進行放縮，進而證明了原不等式.

證法四：（凹凸反轉）由方法二知，只需證lna－a－2a+2＜0，agt;0，（）即證lnaa＜2a2－2a+1，agt;0.令g（x）=lnaa，agt;1，h（a）=2a2－2a+1，agt;1，則g′（a）=1－lnaa2，當0＜a＜e時，g′（a）gt;0;當agt;e時，g′（a）＜0，因此g（a）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，g（a）≤g（e）=1e，當a=e時取等號.h（a）=2a2－2a+1=2（1a－12）2+12≥12，當a=2時取等號，故g（a）≤1e＜12≤h（a），（）式成立，原不等式成立.

評注" 將原不等式轉化為g（a）＜h（a），并且g（a）max＜h（a）min，從而證明了原不等式，文獻［3］中詳細給出了凸凹反轉題型的策略，由不等式lnx≤1ex，ex≥ex，可以得到以下推論：

推論1 ""lnxxn≤1ne（ngt;0，xgt;0），當且僅當x=ne時取等號.

推論2 ""lnx+1x=eln（ex）ex≤1，當且僅當x=1時取等號.

推論3 ""lnx+ax=lnx+lneax=ealn（eax）eax≤ea－1，當且僅當x=e1－a時取等號.

推論4 ""enxnx≥eenxx≥ne，當且僅當x=1n時取等號.

推論5 ""exx2≥14（ex2x2）2≥e24，當且僅當x=2時取等號.

推論6 ""exx3≥127（ex3x3）3≥e327，當且僅當x=3時取等號.

推論7 ""exxn≥ennn，當且僅當x=n時取等號.

證法五：（異構［4］）由方法二知，只需證a+2a－lna－2gt;0，agt;1，（）由方法二知lnx＜12（x－1x），xgt;1，令g（a）=a+

2a－2－lna，agt;1，g（a）=a+2a－2－12（a－1a）+［12（a－1a）－lna］=（a－2）2+12a+［12（a－1a）－lna］gt;0，所以g（a）gt;0，（）式成立，故原不等式成立.

評注" 利用“飄帶不等式”將原不等式變形為2個非負函數的和，進而證明了原不等式，這樣的方法稱為異構法，文獻［4］中詳解給出了出異構法在不等式證明、不等式恒成立求參數范圍、函數零點問題中的應用.

證法六：（隱零點法）由方法一知只需證alna－a2+2a－2＜0（），令g（a）=alna－a2+2a－2，（agt;0），當0＜a≤1時，g（a）＜0－（a－1）2－1＜0顯然成立;當agt;1時，因為g′（a）=lna－2a+3，g″（a）=1a－2＜0，所以g′（a）

在（1，+∞）上單調遞減，又g′（1）=1gt;0，g′（2）=ln2－1＜0，因此存在唯一的a0∈（1，2），使得g′（a0）=0，即lna0=2a0－3，當1＜a＜a0時，g′（a0）gt;0;當agt;a0時，g′（a0）＜0，g（a）在（1，a0）上單調遞增，在（a0，+∞）上單調遞減，因為1＜a0＜2，所以g（a）≤g（a0）=a0lna0－a20+2a0-2=a0（2a0－3）－a20+2a0-2=a20－a0-2=（a0－2）（a0+1）＜0，（）式成立，故原不等式成立.

評注" 只需證函數g（a）的最大值小于0，但由于g′（a）=0的解不容易求出，我們利用隱零點法求出函數g（a）的最大值g（a0）小于0，在計算過程中用到了g′（a）=0進行替換，體現了數學中的“設而不求”方法，將xlnx放在一研究問題，是一種常見策略，文獻［5］.中分別給出了利用此法與“對數單身狗”解答了2023年乙卷理科數學導數壓軸題.

證法七：（主元法）要證當agt;0時，f（x）＜－3a+2，只需證a2－（3+lnx）a+2+xgt;0（agt;0），令ga=a2－（3+lnx）a+2+x（agt;0），則只需證g（a）gt;0（agt;0），（*）對稱軸a=3+lnx2，當3+lnx2≤0，即0＜x≤e－3時，g（a）在（0，+∞）上單調遞增，g（a）gt;g（0）=2+xgt;0，（*）成立;

當3+lnx2gt;0，即xgt;e－3時，g（a）在（0，e－3）上單調遞減，在（e－3，+∞）上單調遞增，因此g（a）min=

g（e－3）=e－6－（3+lnx）e－3+2+x，令h（x）=e－6－（3+lnx）e－3+2+x（xgt;e－3），則h′（x）=e3x－1xe3，當xgt;e－3時，h′（x）gt;0，因此h（x）在（e－3，+∞）上單調遞增，h（x）gt;h（e－3）=e－6+e－3+2gt;0，故g（a）mingt;0，g（a）gt;0，（*）成立，綜上，原不等式成立.

評注" 將要證明的不等式看成關于a的函數，即變換主元法，這是一個二次函數在有限區間上的問題，進而將a消掉，轉化為關于x的函數，這也是不等式證明的一種常用方法.

3.試題溯源

這道題源于2023年高考數學新課標Ι卷第19題：已知函數f（x）=aex+a－x.（1）討論f（x）的單調性;（2）證明：當agt;0時，f（x）gt;2lna+32.及2015年新課標Ⅰ卷文數第21題：設函數f（x）=e2x－alnx，

（1）討論f（x）的導函數f′（x）的零點的個數;（2）證明：當agt;0時，f（x）gt;2a+aln2a.因此備考中，研究歷年真題時很有必要的.

證法八：（凸凹性）當agt;0時，要證f（x）＜－3a+2只需證alnx－a2+3a＜x+2，設g（x）=alnx－a2+3a（agt;0），g′（x）=axgt;0，g″（x）=－ax2＜0，因此g（x）為凹函數，令g′（x0）=1得x0=a，g（x0）=alna－a2+3a，則g（x）在點（x0，g（x0））處的切線方程為y=x+alna－a2+2a，此直線與直線y=x+2平行，由證法三知lna－a－2a+2＜0，即alna－a2+2a＜2，由凹函數幾何意義知g（x）=alnx－a2+3a≤x+alna－a2+2a＜x+2恒成立，式成立，因此原不等式成立.

圖1

評注" 函數凸凹性［3］為解題提供了新的視角，可以看出出題人的命題思路，理解數學的本質，如圖1，以函數凸凹性為其背景，立意新穎，創新性極高，具有選拔人才的作用，利用高觀點可以溯其源，探其本，文獻［3］中利用函數凸凹性對2023年高考數學新課標Ι卷第19題進行了背景溯源.

4.結語

本文這幾種方法涵蓋了證明含參數不等式幾乎所有的方法，利用一題多解，培養了學生的發散思維能力和創新精神，提高了學生分析問題與解決問題能力，老師們應重視學生知識結構的建構，加強學生“一題多解、多題一解”的訓練，夯實學生基本技能和基本方法，提升學生的數學學科素養，新高考導數題不一定是壓軸題，因此要注意對學生一些中檔題的訓練，希望本文對讀者的學習有一定的啟發作用.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］郭蒙.攜手切線不等式 巧解導數壓軸題——例說切線放縮攜手同構法在解題中的應用［J］.高中數學教與學，2023（08）：28-30.

［3］郭蒙.高觀點視角下的函數凸凹性問題及其高考應用［J］.福建中學數學，2023（12）：26-28.

［4］郭蒙，薛小強.秉通法 悟通性 提升學科素養——以異構法在高考導數壓軸題中的應用為例［J］.中學數學教學，2023（06）：44-48.

［5］郭蒙.對2023年高考乙卷第20題的深度探究［J］.中學數學研究（江西師大），2024（02）：48-50.