構筑線、面、體多維全景圖

【摘 要】測量是小學數學“圖形與幾何”領域的重要內容之一，而長度、面積和體積是“空間與圖形”領域中最為基本的從一維到二維再到三維的測量概念，小學蘇教版數學教材中的長度、面積和體積這三部分的教學結構有著高度一致性。教師教學時應重視溝通和揭示概念之間的區別與內在聯系，要著眼于“整體”，把握“本質”，抓住知識間的聯系，整體架構，使數學知識目標在落地的同時，幫助學生構筑從一維到二維再到三維的空間觀念，培養學生量感和促進思維多維成長。

【關鍵詞】數學教學 圖形與幾何 空間觀念 多維全景圖

眾所周知，教材在編排上總有一定的局限性，教材呈現的知識在形式上是固定的。因此，教師教學時不能只停留在熟記教材呈現的結論上，應引導學生深入知識的產生過程中去，進一步發掘和揭示結論產生和形成的過程。小學蘇教版數學教材的編排順序是，二年級先學習長度，三年級再學習面積，最后六年級學習體積，而在學習它們時，都是經歷先學習度量單位，再學習計算公式，最后學習度量單位之間的進率這樣的路徑。從這個角度看，它們的教學結構有著如出一轍的一致性。因此，教師教學時應重視溝通和揭示概念之間的區別與內在聯系，要著眼于“整體”，把握“本質”，幫助學生構筑從一維到二維再到三維的空間觀念，促進學生空間想象思維的成長。

一、立好標尺——感受標準的必要性

實現度量的前提是要立好度量的標尺，這個標尺在圖形測量主題中表達為“計量單位”。在認識長度單位之前，學生已經認識了貨幣等計量單位，在生活中也有相關的思維經驗，所不同的是長度單位的構建過程更為直觀。因此，教學中引導學生經歷“建立標尺”和“統一標尺”的過程尤為重要。

以蘇教版數學二年級上冊“認識厘米”的學習為例。首先播放視頻：集市買繩。在沒有尺子的古代，顧客想買5拃長的繩子，店主用自己的手量了5拃給顧客，結果引發爭執。教師提問：為什么會引發爭執？讓學生體會到，因為每個人的一拃不一樣長，用拃作為測量標準會引起誤解。接著提問：如何解決？引導學生想到一樣長的手，拿短一點的繩子量等。最后問：這樣能徹底解決買繩的問題嗎？學生感受到必須以一個大家都認可的一樣長的東西去測量某個物體的長短，古人也就這樣發明了長度單位，即統一規定1尺、1寸、1厘米、1分米和1米的長度。

在上述教學中，統一長度單位經歷了兩個層次的思考，第一層次是建立適用于臨時度量的統一的單位，第二層次是統一成通用標準，即能實現互通、交流的單位。經歷這一過程后，學生能充分體會到單位不統一時的交流不暢到統一后便于交流的優勢，進而理解為什么會產生長度單位，體會到統一長度單位的必要性。

理解統一長度單位是理解統一面積、體積單位的起點，三個維度的計量單位的統一的教學都應引導學生達成上述兩個層次的思考，還需要和學生說明，臨時度量的統一單位的選取是有原則的，即確立1個計量單位的屬性。其基本原則是必須保證計量單位的屬性與測量對象的屬性是一致的，即“局部量”作為1個計量單位（圖1），學生的語言生動地描述了對局部量的理解：用短線量長線，用小面量大面，用小體量大體。對兩個層次的簡單理解就是“形狀”的統一，其次是“大小”的統一。

一樣的學習思路使得學生自然而然地能從一維到二維再升華到三維，認識到統一單位的必要性，有了統一性和一致性的意識，則為整個全景圖架構打下了基礎。

二、精密度量——體悟公式背后的合理性

有了計量單位，就可以以此來度量。怎樣度量？即通過密簇累加計量單位后“計數”，來實現對所測物體大小的“精密表征”。在實際教學中，通過大量練習，學生基本能知道并熟練量長度、運用公式計算面積和體積，但對“為什么會出現小尺” “長方形面積計算公式為什么可以用長乘寬計算”“為什么測量的是長、寬、高的長度，算出來的卻是體積”這些問題知道得并不多。可見，學生只是被動地接受了知識，沒有理解長度、面積和體積以及它們的度量單位的概念，進而對空間觀念的發展產生了負面影響。小學階段要消除這些困惑，教師就要在測量起始階段，引導學生經歷先“累滿”再“相加”的過程。

（一）密簇累加

在教學“長方形和正方形的面積計算”時，教師提問：這應該拿什么量？1厘米的小長條量還行嗎？引導學生想到用一些“小小的面”來測量。這個小小的面應該是什么樣的呢？小長方形、小正方形、小三角形、小梯形、小的不規則圖形等，這些都可以嗎？（圖2）

教師通過幾何畫板的演示讓學生感受單位長度1的小正方形也就是前面提到的“局部量能夠鋪滿長方形”，其他圖形都有或多或少的局限性。密簇鋪滿后，教師詢問：此時長方形的面積是多少？學生累加數出小正方形的數量，以此來表征長方形的面積。

長方形的面積就是小正方形數量的累加，和測量長度、體積本質上一致。用長度是1的小長條去量線段的長度，小長條的個數就是線段的長度；用單位棱長為1的小正方體去填滿長方體，小正方體的數量就是長方體的體積。無論是哪個維度的度量，目的都是實現對線、面、體三維的精密表征。這種思維方式的一致性，可以遷移到其他度量內容的學習上，只要確定標準，找到合適的工具，累加出度量單位的個數，世間萬物皆可度量。

（二）精簡公式

數學公式來源于數學規律，是數學核心知識的精確而簡單的表述。計量簡單的面積、體積都有公式，計量長度沒有公式，但是有“小尺”，它們的出現都是對長度、面積和體積計算的精彩而簡潔的表征。

一是小尺的出現。

例如，在測量線段的長度時，讓學生經歷拿1厘米長的紙條實實在在地量的過程，肯定會出現小紙條“不穩定”的現象，不方便測量，即引發學生制作簡易小尺的想法——把多個“厘米”單位連接起來，再讓學生繼續用自己制作的簡易尺子量，體會到如果簡易小尺上有刻度就方便了。

將古人漫長的知識創造的過程精簡為課堂上的探究過程，學生感受到原來看似簡單的一把小尺，蘊涵著古人智慧的結晶。小尺雖然不是公式，但是它極大地簡化了測量的過程，一次讀數便相當于累加了若干個長度單位，測得長度，有著公式一樣的功能。

二是面積公式的出現。例如，教學面積計算公式時，長方形中小正方形的個數可以怎么數出來？學生可能會一個一個累加地數，可能會聯想到一排有幾個，一共有幾排，然后用乘法計算，思維水平較高的學生可能會體會到長方形的長其實就是一排有幾個，長方形的寬就是一共有幾排，相乘得到小正方形的個數（圖3），也就是長方形的面積，進而推導出長方形面積的計算公式。

面積測量上承長度測量，下啟體積測量，是實現一維測量到二維測量階段性飛躍的關鍵節點，教師需要幫助學生突破一維到二維的思維屏障，以消除“長×寬為何等于面積”等認知困惑，因此既是轉折點也是難點。這種以測量和計算相結合的學習方式，一方面，學生能突破簡單的累加個數，到能利用一維長度與二維面積之間的關系，通過對長度的量進行運算得到長方形的面積，其實是深刻理解了簡單公式背后的含義；另一方面突破了量感的形成是通過度量這一視角，有利于創新量感形成的多元視角

三是體積公式的出現。體積測量是一維、二維測量思想方式的遷移與運用。利用同樣的原理，學生知道，量出的長和寬可以算出一層可以擺多少個，高就是能夠擺幾層，長×寬×高就是小正方體的個數，進而得到長方體計算公式（表1）。這個從整體架構到三維空間觀念的過程，體現了學生的量感已經發展到較為抽象的水平，其在量感素養上的表現也從“用數學的眼光觀察現實世界”上升到了“用數學的思維思考現實世界”與“用數學的語言表達現實世界”。

先“滿”后“加”的過程是簡單計量的過程，后期公式的出現則是計數的優化過程，學生經歷這一系列的過程，構建了多維全景圖，發展了空間觀念。

三、多維交互——貫通進率背后的遷移性

進率是很多教師要學生熟記的基本知識，他們認為教學內容較為淺顯，通常都是用傳授的方式來教學，學生的學習過程不過是簡單的模仿。在教學中，教師應引導學生在探索中經歷合情的推理過程，在探索中形成科學的研究方法，探尋規律的本質和構建真正的數學理解。

例如，教學長度單位之間的進率時，告知學生這個1分米長的線段，如果用1厘米長的線段去量，需要多少個？學生通過測量和數發現是10個，也就是10厘米。所以得出1分米等于10厘米。面積、體積單位之間的換算同樣依據數出小一級度量單位的個數，得出進率。教師可選擇用小一級度量單位去量大一級度量單位的方式進行講解，背后還是基于學生對測量本質的深刻理解。

相同維度的單位轉換還可以基于國際基本單位“米”進行。其他長度單位可以通過對米按照十進制關系進行細分，細分的規則就是進率。可是為什么不把1米細分為9分米或者8分米呢？那樣1分米就不知道等于幾厘米了，也除不盡。進而學生感受到很奇怪，不好記。

課程內容結構化是新課標的重要理念之一，將三個維度的單位進行聯結，有利于學生對度量幾何的單位形成整體性認識，將點狀的知識織成多向的結構網絡，揭示測量單位所蘊含的內在邏輯和思維方式，呈現不同階段問題解決的思維路徑；有利于學生深入數學的結構內核，增強對數學知識理解的靈活性和延展性，從而獲取知識之外的重要的思維價值，實現在知識系統中的自由穿插，達到數學知識的深度理解。

引導學生在學習時立好標尺，就有了度量單位統一性的基礎，加上精簡測量時，密簇累加和由此得到的精簡公式的表征，以及在多維交互中，啟發學生生成對進率的合理性的貫通和多維發展，有效刻畫了測量上的全景圖樣態，讓學生的知識掌握更扎實，學生的學習更有價值感。

【參考文獻】

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