機械臂非奇異快速終端滑模迭代學習軌跡跟蹤控制研究

摘要：針對機械臂建模參數精準性與擾動不確定性的精確軌跡跟蹤控制問題，提出了一種非奇異快速終端滑模控制與迭代學習控制相融合的控制方法。首先，為保證跟蹤誤差的收斂速度，避免收斂中的奇異性問題，設計采用飽和函數趨近律的非奇異快速終端滑模控制器。其次，為進一步提高軌跡跟蹤精度，設計誤差迭代學習控制器，并對所設計的控制器進行了收斂性分析。最后，在Simulink軟件中搭建所提方法的控制系統，進行迭代控制與對比控制仿真實驗，并同步開展機械臂跟蹤控制真機實驗。結果表明：在迭代實驗中，關節最大平均穩態誤差提升了72%；在對比實驗中，與比例微分（PD）型迭代學習控制和PD型線性滑模控制相比，最大平均穩態誤差分別提升了97%、51%，最大響應調整時間分別減少70%、50%；在真機實驗中，機械臂跟蹤誤差穩定在［－0.05，0.05］rad區間內。實驗結果充分驗證了所提控制方法的正確性與有效性，為解決機械臂軌跡跟蹤中的不確定性問題提供了一種有效的控制方案。

關鍵詞：機械臂；迭代學習控制；非奇異快速終端滑模控制；軌跡跟蹤

中圖分類號：TP241"文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202501012"文章編號：0253-987X（2025）01-0125-12

Research on Trajectory Tracking Control of Non-Singular Fast Terminal Sliding Mode Iterative Learning for Robot Manipulators

CHEN Tao， LI Xiaojuan， LIU Jianxuan， WANG Lizhong

（School of Mechanical Engineering， Xinjiang University， 830047， Urumqi）

Abstract：In response to the challenge of precise trajectory tracking control for robot manipulators， influenced by the accuracy of modeling parameters and disturbance uncertainties， a novel control approach that combines non-singular fast terminal sliding mode control with iterative learning control is presented. First， to ensure the convergence speed of tracking errors and prevent singularity issues during convergence， a non-singular fast terminal sliding mode controller employing the law of approach to saturation is designed. Second， to further improve trajectory tracking accuracy， an error iterative learning controller is developed， and the convergence of these controllers is analyzed. Finally， the control system based on the proposed method is implemented in Simulink for iterative and comparative control simulation experiments. Additionally， real-machine experiments for robot manipulator tracking control are carried out. The experimental results show that： in the iterative experiment， the maximum average steady-state error in joints increases by 72%; in the comparative experiment， compared to PD-type iterative learning control and PD-type linear sliding mode control， the maximum average steady-state error rises by 97% and 51%， respectively， while the maximum response adjustment time decreases by 70% and 50%， respectively; in the real-machine experiment， the robot manipulator tracking error stabilizes within the range of ［－0.05， 0.05］rad.These findings thoroughly validate the effectiveness and accuracy of the proposed control method， offering an effective control solution for addressing uncertainties in robot manipulator trajectory tracking.

Keywords：robot manipulators; non-singular fast terminal sliding mode control; iterative learning control; trajectory tracking

近年來，隨著材料科學、電子技術和機械工程的迅猛發展，機械臂在工業自動化^［1］、農業采摘^［2］、醫療手術^［3］等領域的應用愈加廣泛。隨著機械臂的應用場景的不斷精細化和復雜化，對機械臂控制精度要求也在不斷提升。然而，機械臂系統具有高度非線性和強耦合特性，且受到建模參數精準性和擾動不確定性等因素影響，實現不確定機械臂非線性系統的高精度軌跡跟蹤控制，成為控制領域的重要研究問題之一。為此，有必要設計出具有高精度和強魯棒性的軌跡跟蹤控制器，以確保機械臂在各種復雜應用場景中的可靠性能和精準操作。

為提高機械臂的軌跡跟蹤精度，國內外學者開展了大量研究，提出了多種控制策略，包括PID控制^［4-5］、神經網絡控制^［6-7］、滑模控制^［8-9］、迭代學習控制^［10-11］和模糊控制^［12-13］等。其中，滑模控制因其快速響應和強魯棒性的顯著優勢，尤其是切換項在抑制擾動和處理不確定參數方面的卓越表現，被廣泛應用于機械臂非線性系統控制中^［14-15］。隨著滑模控制技術的發展，從線性滑模控制（SMC）^［16］，到終端滑模控制（TSMC）^［17］，再到非奇異快速終端滑模控制（NFTSMC）^［18］，滑模控制不斷優化和改進，改善了系統的控制精度和魯棒性。

考慮到機械臂系統具有強非線性和強耦合性的特點，采用單一的控制方法很難使軌跡跟蹤達到滿意的效果。因此，研究者們提出了多種融合的控制策略，以期待在應對復雜系統動態行為方面取得更好的效果。Cruz-Ortiz等^［19］設計了基于分布式狀態約束的非奇異終端滑模控制，實現了二軸機械臂在全狀態約束下的有限時間軌跡跟蹤。Guo等^［20］提出了一種帶有非線性干擾觀測器的非矢量終端滑模控制器軌跡跟蹤方法，實現了二自由度機械臂的扭矩輸出無顫振、平滑，且具有精確的跟蹤效果。賈華等^［21］設計了對機械臂進RBF神經網絡分塊逼近的方法，減少了軌跡穩態誤差。

綜上所述，融合多種控制策略可以提升機械臂的軌跡跟蹤性能，而迭代學習控制（ILC）作為一種基于重復性任務的控制方法，利用系統的誤差信息不斷優化控制輸入，提高系統的軌跡跟蹤精度和魯棒性。結合ILC，研究者們設計了多種融合控制策略，殷春武等^［22］提出了基于時變滑模面的 PID型閉環迭代學習控制策略，達到二自由度機器人軌跡局部精確跟蹤目的。Wu等^［23］將二階終端滑模與迭代學習控制相結合，提高了工業機械臂的控制精度。張程琳等^［24］針對多自由度機械臂系統，設計了自適應滑模模糊邏輯迭代學習跟蹤控制方法，提高了六自由度工業機械臂系統的魯棒性。

在上述研究啟發下，本文設計了一種機械臂非奇異快速終端滑模迭代學習控制（NFTSMILC）方案。首先，設計非奇異快速終端滑模控制器，實現系統有限時間內快速收斂到滑模面，采用飽和函數的趨近律，增強機械臂系統的抗干擾能力，并能減少系統的抖振。其次，設計迭代學習控制器，對跟蹤誤差信號進行迭代學習并更新控制變量，以實現對期望軌跡的高精度跟蹤，改善系統的性能。最后，在Simulink軟件中對機械臂進行仿真控制實驗，并在機械臂實驗平臺驗證了所提控制方案的有效性與優越性。

1"機械臂動力學模型建立

考慮6關節不確定機械臂動力學系統，其方程可表示如下

M（q）+C（q，）+G（q）=τ+τd（1）

式中：q、、∈R^6×1分別為關節位置、關節角速度和關節角加速度；M（q）∈R^6×6表示慣性矩陣；C（q，）∈R^6×6表示離心力和科氏力；G（q）∈R^6×1表示重力；τ∈R^6×1表示控制輸入關節力矩；τd∈R^6×1表示外部未知擾動。

在實際機械臂系統建模過程中，受到建模誤差、物理參數誤差等因素的影響，機械臂系統存在模型不確定性，將不確定性表示為

M（q）=M₀（q）+ΔM（q）

C（q，）=C₀（q，）+ΔC（q，）

G（q）=C₀（q）+ΔC（q）

（2）

式中：M₀（q）、C₀（q，）、G₀（q）為名義模型參數；M（q）、C（q，）、G（q）為實際模型參數；ΔM（q）、ΔC（q，）、ΔG（q）為名義模型參數的誤差。

考慮模型參數誤差影響，將式（1）改寫為

M₀（q）+C₀（q，）+G₀（q）=τ+Y（q，，）（3）

式中：Y（q，，）=τd－ΔM（q）－ΔC（q，）－ΔG（q）表示系統的不確定項和外界干擾的集總擾動。

性質1^［25］"慣性M₀（q）為對稱正定矩陣，存在正數λ₁、λ₂，滿足

λ₁‖x‖²≤xTM₀（q）x≤λ₂‖x‖²， x∈R⁶（4）

性質2^［26］"₀（q）－2C₀（q，）為斜對稱矩陣，滿足

xT（₀（q）-2C₀（q，））x=0， x∈R⁶（5）

2"控制器設計與收斂性分析

2.1"非奇異快速終端滑模控制器設計

定義1"為簡化分析，定義誤差如下

e=［e₁，e₂，e₃，e₄，e₅，e₆］T

sgn（e）^a=|e|^asgn（e）（6）

誤差變量e、、定義為

e=qd-q

=d-

=d-

（7）

式中：qd、d、d分別為期望軌跡、速度、加速度；q、、分別為實際軌跡、速度、加速度。

綜合考慮收斂速度和奇異問題，將NFTSMC滑模面設計為

s=e+αsgn（e）^r₁+βsgn（）^r₂

（8）

式中：α、β為正常數；1lt;r₁lt;2，r₂gt;r₁。

對滑模函數式（8）求導，可得表達式

=+αr₁|e|^r₁^-1sgn（e）+βr₂||^r₂^-1sgn（）

（9）

將式（3）和式（7）帶入式（9），可得

=+αr₁|e|^r₁^-1sgn（e）+βr₂||^r₂^-1sgn（）［d-

M^-1₀（τ-C₀-G₀）］

（10）

為了提高系統的抗干擾能力，我們設計等效控制律τ_eq以抵消系統已知的動態特性，設計切換控制律τ_sw以補償系統擾動，具體控制律如下

τ=τ_eq+τ_sw（11）

令=0，可得等效控制率τ_eq

τ_eq=M₀（q）［_d+（βr₂）^-1sgn（）||^2-r₂

（1+ar₁|e|^r₁^-1sgn（e））］+C₀+G₀（12）

在趨近律的選取中，采用飽和函數的指數趨近律，其表現形式如下

=-ks-μsat（s）（13）

其中：k、μgt;0為趨近律參數矩陣。

飽和函數sat（s）的表達式為

sat（s）=1，sgt;0

s/Θ，|s|≤Θ

-1，slt;-Θ（14）

式中：邊界層厚度Θgt;0，在邊界層內采用線性化反饋控制，在邊界層之外采用切換控制。

等效控制率τ_sw為

τ_sw=M₀［ks+μsat（s）］（15）

將式（12）和式（15）帶入式（11），可以得控制率表達式

τ=M₀（q）［_d+（βr₂）^-1sgn（）||^2-r₂（1+

ar₁|e|^r₁^-1sgn（e））+ks+μsat（s）］+C₀+G₀（16）

2.2"迭代學習控制器設計

迭代學習控制通過修正誤差來改善控制輸入量，實現高精度期望軌跡跟蹤。閉環PD型迭代利用當次誤差進行學習，具有較好的收斂速度，因此，采用PD型閉環迭代學習控制律

u_k+1（t）=u_k（t）+Kd_k+1（t）+Kpe_k+1（t）

（17）

式中：u_k為迭代控制輸入量；u₀（t）=0；Kd、Kp為正定增益參數矩陣；_k+1（t）=d（t）－_k+1（t）；e_k+1（t）=qd（t）－q_k+1（t）。

將式（16）融合PD型閉環迭代學習控制律后滑模迭代算法的控制律為

u_k+1（t）=u_k（t）+Kd_k+1（t）+

Kpe_k+1（t）+τ（18）

若令Γ=Kd_k+1（t）+Kpe_k+1（t）+τ，則式（18）可改寫為

u_k+1（t）=u_k（t）+Γ（19）

根據式（3），記第k次迭代的機器人動力學系統為

M₀（q_k）_k+C₀（q_k，_k）_k+G₀（q_k）=u_k（t）+Γ（20）

由此可得，所設計的控制系統整體流程如圖1所示。

2.3"控制器收斂性分析

構建正定Lyapunov函數

V=12sTM₀sgt;0（21）

對V求導，可得

=sTM₀+12sT₀s=

sTM₀+12sT（₀-2C₀）s（22）

由性質2可知xT（₀（q）－2C₀（q，））x=0，則式（22）改寫為

=sTM₀（23）

將式（7）～式（9）、式（16）帶入式（23），可得

=sT（+αr₁|e|^r₁^-1+βr₂||^r₂^-1）=

sTM₀（-ks-μsat（s））=

-sTM₀ks-sTM₀μsat（s）lt;0（24）

由Lyapunov穩定性定理可知，本文設計的非奇異快速終端滑模面可使跟蹤誤差收斂，閉環系統漸進穩定。由式（24）可知，隨著時間是單調遞減的，已知M₀，s在整個運行周期內連續且有界，則V、在迭代周期內連續且有界。因此，在k個迭代周期內有

ΔV_k（t）=V_k（t）-V_k-1（t）=

V_k（0）+∫^t₀V_k（x）dx-V_k-1（t） （25）

機械臂在迭代周期中，迭代周期結束為下一次迭代周期的開始，此刻機械臂動力學模型與位置信息為相同，即V_k（0）=V_k-1（t），因此

ΔV_k（t）=∫^t₀V_k（x）dx（26）

由式（24）可知lt;0，則式（26）的ΔV_k（t）lt;0，所以Lyapunov函數V_k（t）隨迭代次數增加而遞減。對ΔV_k（t）進行累加，可得

∑ΔV_k（t）=∑∫^t₀V_k（x）dx（27）

已知V、在迭代周期內連續且有界，可得級數∑ΔV_k（t）有界，又已知ΔV_k（t）lt;0，則∑ΔV_k（t）為單調遞減且有界。根據數列性質單調有界必有極限及級數收斂的必要條件，可知級數∑ΔV_k（t）收斂，且可得

limk→∞∫^t₀V_k（x）dx=0（28）

隨著迭代次數的增加，誤差e在周期滿足e≡0。由此說明本文所設計的控制器能實現隨著迭代次數的增加，對期望軌跡的精確跟蹤。

3"實驗與分析

定義2"平均穩態誤差為周期內穩態誤差的平均值，數學表達式為

e_ss=1T∫^t₀^+T_t0e（t）dt（29）

式中： t₀是系統穩態的起始時間； T是用于計算平均穩態誤差的時間區間的長度。

為驗證所提控制方案的有效性與可行性，在Simulink軟件中搭建控制模型，本文使用六軸機械臂為控制對象，結構如圖2所示，各關節動力學參數如表1所示。

為了驗證所提控制方案的有效性與優越性，設置基本參數、外部干擾、期望軌跡如下所示。

設置外部干擾為

τd=2（cos3t）³

2（sint）³

（cos2t）²

0.5sin（0.2t）

0.15e^-t

0.07sinπ100（30）

設置期望軌跡為

qd=

sin-t+π12

0.1sint+π6+e^-1

1.4e^-t

0.25cos（0.5t）+1.4e^-1

0.7sin（0.1t）

-cosπ15t（31）

3.1"迭代仿真實驗分析

為驗證所提控制算法的有效性，在Simulink中進行迭代實驗。仿真時間設置為10s，采樣頻率為0.001s，設置機械臂的初始狀態為0rad，外部擾動按式（30）設定，期望軌跡按式（31）設定，其他仿真參數詳見表2。對所提算法分別進行0～15次迭代計算，軌跡跟蹤效果如圖4所示。為對比不同迭代次數的性能，采用平均穩態誤差來評估控制算法的性能，6個關節對比結果如圖3所示。

從圖3可以分析出，在第0次迭代到第15次迭代過程中，隨著迭代次數的增加，平均穩態誤差逐次減少，軌跡跟蹤精度逐步提升。初始控制輸入未經過修正時，軌跡跟蹤誤差較大，各關節受耦合影響明顯；第1次迭代后，第1～6關節的平均穩態誤差分別減少了約71%、25%、54%、55%、64%、72%；在第5次迭代后，第1～6關節的平均穩態誤差分別減少了約28%、25%、35%、40%、41%、55%；在第10次迭代后，第1～6關節的平均穩態誤差分別減少了約25%、37%、29%、30%、29%、20%。經過多次迭代學習，系統對耦合效應的抑制能力增強，軌跡跟蹤誤差顯著減少，達到較高精度的軌跡跟蹤效果，關節間耦合影響基本被克服。從圖3可以看出，第1次迭代后跟蹤效果提升最為明顯，其中第6關節平均穩態誤差最大減幅為72%；在第5次迭代后，平均穩態誤差的改善效果趨于平緩，曲線下降速率變。因此，綜合考慮跟蹤效果和迭代次數，在后續實驗中迭代次數選擇為5次，以實現較少迭代次數下的最佳控制效果。

通過對圖3的分析，選取第1次、第5次、第10次軌跡跟蹤效果進行代表性分析。由圖4可知，存在外部干擾的情況下，隨著迭代次數的增加，各個關節軌跡跟蹤效果顯著提升，有效抑制各關節之間的耦合效應。這表明本文所提的控制算法在應對外部干擾時具有良好的適應能力，隨著迭代過程的進行，系統能夠逐步調整控制誤差，從而提高軌跡跟蹤的精度。

3.2"無初態對比控制仿真實驗分析

為驗證所提算法的優越性，設置與PD型迭代學習控制（PDILC）^［25］、PD型線性滑模控制（SMILC）^［24］對比實驗。仿真時間設置為10s，采樣頻率為0.001s，設置機械臂的初始狀態為0rad，外部擾動按式（30）設定，期望軌跡按式（31）設定，其他仿真參數詳見表2。，設置迭代次數為5次。實驗結果如圖5～7所示。

PD型迭代學習控制表達式為

u_k+1（t）=u_k（t）+Kd_k+1（t）+Kpe_k+1（32）

令s₁為線滑模面，cgt;0為增益參數，PD型線性滑模控制表達式為

s₁=ce+

u_k+1（t）=u_k（t）+M₀（q）［d+ks₁+μsat（s₁）］+C₀+G₀

c=2（33）

分析圖5與圖6可知，經過5次迭代后3種控制算法均可以跟蹤上期望軌跡。從跟蹤效果上分析，PDILC的控制精度欠佳，存在明顯的超調和波動誤差，SMILC在跟蹤精度方面有所改善，而NFTSMILC跟蹤精度最好。從收斂速度上分析，NFTSMILC控制算法能實現在很短的時間內保證機械臂完全跟蹤上期望軌跡，明顯優于其他兩種控制算法。通過對6個關節的跟蹤效果分析發現，在強耦合的機械臂系統中，本文提出的NFTSMILC控制算法在所有關節上均能精確地跟蹤期望軌跡，有效克服了耦合效應，顯著提高整體系統的控制精度和魯棒性。

為進一步對比3種控制算法的性能，采用關節跟蹤的響應調整時間（取誤差首次穩定在０的時間）、關節跟蹤的平均穩態誤差來評估控制器的性能，6個關節的對比結果的仿真數據見表3所示。

分析表3中的數據可知，從平均穩態誤差與響應調整時間的角度分析，NFTSMILC的總體性能相比于PDILC、SMILC有顯著提升。以1～5關節進行分析，NFTSMILC相比于PDILC，在平均穩態誤差方面分別提升了約97%、96%、92%、93%、94%，在響應調整時間上分別減少了約69%、68%、70%、66%、69%；相比于SMILC，NFTSMILC在平均穩態誤差方面分別提升了約51%、32%、27%、23%、45%，在響應調整時間上分別減少了約25%、32%、50%、39%、38%。通過對比分析，可知NFTSMILC控制算法在顯著提高軌跡跟蹤精度的同時，大幅縮短了系統的響應調整時間，驗證了NFTSMILC算法在保證快速收斂的同時，有效降低了平均穩態誤差，提升了系統的控制精度和魯棒性。

分析圖7可知，為克服機械臂系統建模參數的不精確性與外部擾動，初始控制輸入力矩較大，在控制關節達到期望的位置后，控制輸入力矩逐漸趨于穩定，波動幅度顯著減小。進一步與SMILC和PDILC兩種控制算法對比，NFTSMILC在啟動時所需的最大力矩較小，能夠更快速地收斂到穩定狀態，控制力矩曲線更為平滑。這從側面反映出，NFTSMILC控制算法在抑制擾動和處理不確定參數方面具有顯著優勢，更快的收斂速度和更平滑的力矩曲線反映了算法在提高系統控制精度和穩定性方面的優越性能。

3.3"機械臂真機實驗

為進一步驗證本文所提控制算法在實際應用中的控制性能，搭建機械臂實驗平臺，如圖8所示，進行軌跡跟蹤實驗。機械臂平臺硬件系統主要包括六軸機械臂本體、控制器、上位機及底座。上位機用于編譯、下發、顯示數據；控制器為基于ARM Cortex-A55的CSPACE半實物仿真平臺，用于控制輸入、采集、轉換及上傳數據；機械臂型號為ROCR6，執行動作及反饋數據信息。在實驗中，設置6關節的期望軌跡均為sint，將Simulink仿真控制模型中的反饋輸入替換為控制器采集的機械臂實際位置數據，將仿真控制力矩輸入模型替換為控制器的輸入模塊；在Simulink中編譯整個控制模型，生成可執行文件，并在控制器上運行可執行文件；通過EtherCAT通信將控制力矩發送至機械臂關節，以實現機械臂關節軌跡跟蹤控制。在運行過程中，通過上位機實時觀測機械臂關節跟蹤軌跡情況。

從跟蹤效果分析，圖9中所有關節均能準確跟蹤上期望軌跡，尤其第5和第6關節跟蹤效果最佳。從跟蹤誤差分析，圖10中機械臂關節跟蹤誤差大約在0.5s內快速收斂，并穩定在［－0.05，0.05］rad區間內，波動幅度較小；從表4數據可知，在軌跡跟蹤過程中，本文提出的控制策略能夠將跟蹤誤差控制在較小的范圍，驗證了控制策略能夠在有限時間內迅速收斂，確保機械臂的高精度軌跡跟蹤性能。

從控制關節輸入力矩分析，圖11中每個關節的力矩均能夠迅速響應并達到穩態，顯示出控制策略在不同關節上的良好動態性能，其中第5和第6關節的力矩曲線波動較小。同時，還分析出關節間的耦合效應差異，第6關節處于機械臂末端，可能受到的負載變化和外部干擾較少，因此力矩曲線波動較小；第2關節處于較靠近基座的位置，承受較大的力和力矩，且耦合效應更為顯著，導致其力矩曲線波動較大。

從仿真實驗與真機實驗結果可知，本文所提控制算法在實驗中展現了優異的軌跡跟蹤性能和快速收斂速度，在控制精度和穩定性方面均能滿足機械臂控制要求，能夠有效應對機械臂系統的非線性、強耦合和外部擾動等復雜情況。

4"結"論

本文提出了一種非奇異快速終端滑模迭代學習控制算法，以解決協作機械臂受不確定外部干擾及自身參數不精確影響的軌跡跟蹤問題。非奇異快速終端滑模控制器實現了對機械臂系統擾動和不確定參數的有效抑制，確保了控制誤差的快速收斂；迭代學習控制器通過對誤差的逐步校正，不斷提高對期望軌跡的跟蹤精度。經迭代與對比仿真實驗，驗證了NFTSMILC能有效降低平均穩態誤差且保證快速收斂，同時在處理非線性和耦合效應方面表現優越；在真機實驗中也驗證了控制策略的有效性。在接下來的工作中，考慮將控制策略引入采摘場景，通過對控制參數的調整，進一步驗證控制策略在復雜環境的控制性能。

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（編輯"杜秀杰）