結合Udwadia-Kalaba控制理論的下肢外骨骼步態軌跡跟蹤控制
2025-01-20 00:00:00肖志毅沙連森鄒學坤黃錕李永斌劉斌
西安交通大學學報 2025年1期
摘要：針對現有軌跡跟蹤控制方法較難兼顧控制精度與穩定性的問題，提出一種基于Udwadia-Kalaba（U-K）控制理論的魯棒控制方法。基于拉格朗日法建立機器人動力學模型，將動力學參數分為確定的名義部分與不確定部分；結合U-K理論與系統名義部分參數確定外骨骼機器人系統理想運動軌跡約束下的名義部分控制力矩；為消除機器人系統不確定部分的影響，引入魯棒控制器，通過劃分不確定性邊界確定其應輸出的額外控制力矩。仿真結果表明：相較于傳統PID算法，基于U-K控制理論的魯棒控制的外骨骼機器人髖關節、膝關節角度的軌跡跟蹤控制精度分別提高了76.4%和96.8%。基于設計的下肢外骨骼機器人樣機進行軌跡跟蹤對比實驗，實驗結果表明：基于該方法的下肢外骨骼髖關節、膝關節角度的軌跡跟蹤精度為0.467 0°和0.114 1°，相比作為對照的PID算法，分別提高了82.6%和86.8%，同時系統整體控制周期縮短了56.6%，該控制方法具有更高的同步性、控制精度與穩定性。
關鍵詞：下肢外骨骼機器人；Udwadia-Kalaba控制理論；魯棒控制；軌跡跟蹤控制
中圖分類號：TP242.6"文獻標志碼：A
DOI：10.7652/xjtuxb202501014"文章編號：0253-987X（2025）01-0148-11
Lower Limb Exoskeleton Gait Trajectory Tracking Control Based on
Udwadia-Kalaba Control Theory
XIAO Zhiyi1，2， SHA Liansen1，2， ZOU Xuekun2， HUANG Kun1，2， LI Yongbin1，2， LIU Bin1，2
（1. School of Biomedical Engineering （Suzhou）， University of Science and Technology of China， Suzhou， Jiangsu 215000， China;
2. Suzhou Institute of Biomedical Engineering and Technology， Chinese Academy of Science， Suzhou， Jiangsu 215000， China）
Abstract：To address the challenge of balancing control precision and stability in existing trajectory tracking control methods， a robust control method based on Udwadia-Kalaba （U-K） control theory is introduced. Using the Lagrangian method， a dynamic model for robots is established， dividing dynamic parameters into a deterministic nominal part and an uncertain part. The nominal control torque under ideal motion trajectory constraints for the exoskeleton robot system is determined based on the U-K theory and the nominal parameters. A robust controller is introduced to mitigate the effects of uncertainty， with uncertainty boundaries defined to establish the necessary additional control torque. The simulation results indicate that， compared to traditional PID algorithms， the trajectory tracking accuracy of the hip and knee joint angles for the exoskeleton robot is enhanced by 76.4% and 96.8%， respectively， using the proposed U-K-based robust control method. The results from trajectory tracking comparative experiments using a prototype of the lower limb exoskeleton robot designed based on this method show that the trajectory tracking accuracy for the hip and knee joint angles are 0.4670° and 0.1141° for the lower limb exoskeleton， indicating an 82.6% and 86.8% enhancement over the PID algorithm used as a control. Furthermore， the overall system control period is decreased by 56.6%. That control method exhibits enhanced synchronization， control precision and stability.
Keywords：lower limb exoskeleton robots；Udwadia-Kalaba theory；robust controller；trajectory tracking control
下肢外骨骼機器人在輔助患者行走、促進運動功能恢復與提升方面起著關鍵作用［1-2］。作為一種典型的非線性時變系統，外骨骼機器人在實際應用中不可避免地受到系統內部不確定性因素的影響，這些因素常導致步態軌跡跟蹤控制過程中出現精度降低和穩定性下降的問題［3-4］。因此，開發適宜的軌跡跟蹤控制方法以滿足患者下肢步態康復訓練的需求，已成為當前的研究熱點［5-6］。
近年來，針對下肢外骨骼機器人的控制方法研究取得了一定進展。牟如強等對滑模控制算法中的趨近律進行了創新性改進，顯著提升了控制精度［7］。然而，該系統在運行過程中仍存在抖振問題，且穩定性有所下降。趙子瑞等提出了一種基于深度確定性策略梯度的PD控制方法，通過實時分析系統誤差來動態調整控制參數，實現步態軌跡的精確跟蹤［8］。然而，當系統受到未知干擾時，誤差會增大，穩定性也會下降。邢文琪等將滑模控制與PD控制理論相結合，進一步提升系統控制精度［9］，盡管這一方法在一定程度上達成了目標，但高計算量導致系統響應速度減慢，限制了其在實際應用中的性能。Shi等將模糊控制理論與PID控制相結合，構建了模糊PID控制策略，確保非線性系統信號的最終有界性［10］。然而，面對復雜系統時，該方法的控制精度有所下降，且由于需要大量數據支持，其適用性受到限制。綜上所述，現有下肢外骨骼機器人軌跡跟蹤控制方法難以同時保證精度與穩定性。
Udwadia和Kalaba提出的Udwadia-Kalaba（U-K）控制理論為軌跡跟蹤控制提供了新思路［11-12］。該理論通過引入伺服約束力控制，為構建被控系統運動方程提供了一種簡潔而高效的途徑。張佳樂基于U-K理論構建了自行車側向扭矩模型，通過施加側向約束力，精準地實現了自行車橫滾角的軌跡跟蹤控制，仿真實驗證實了該方法的有效性和準確性［13］。梁斌將U-K控制理論應用于四足機器人的腿部軌跡跟蹤控制，通過仿真實驗驗證了該方法的準確性和有效性［14］。這些研究不僅展示了U-K控制理論在復雜系統控制中的適用性，也為下肢外骨骼機器人的軌跡跟蹤控制提供了新的思路。然而，盡管U-K控制理論可以保證被控系統在理想條件下的軌跡跟蹤精度，但在實際應用中仍面臨一些挑戰。系統的不確定性因素和外部干擾對軌跡跟蹤控制產生負面影響［15］，導致系統難以同時保證準確性和穩定性。魯棒控制理論在系統不確定性邊界已知的情況下，能夠有效保證系統的穩定性，并具有良好的抗干擾能力［16］。因此，結合U-K控制理論與魯棒控制策略，有望為下肢外骨骼機器人等復雜系統的軌跡跟蹤控制提供更全面和穩定的解決方案。
基于上述分析，本研究提出一種基于U-K控制理論的魯棒控制方法，以保證下肢外骨骼機器人在康復訓練過程中步態軌跡跟蹤的準確性和穩定性。通過U-K控制理論確定名義系統約束力以保證軌跡跟蹤精度，并通過魯棒控制理論提高系統穩定性。根據下肢外骨骼機器人動力學方程建立控制器，并通過Simulink進行仿真實驗，與PID控制效果進行對比。最后，搭建實驗平臺，進行樣機實驗以進一步驗證控制方法的有效性、準確性和穩定性。
1"基于U-K理論的系統約束力確定
基于U-K理論確定系統名義約束力的過程如下。設被控系統具有n個自由度，其動力學方程可表示為
M（θ，t）=F（θ，，t）（1）
M（θ，t）∈Rn×n為正定慣性矩陣，F（θ，，t）是n×1的廣義約束力矢量，用于描述被控系統所受到的外力，系統的廣義坐標用θ∈Rn表示，∈Rn為系統廣義速度矢量，∈Rn為系統廣義加速度矢量，可推導出被控系統在無約束情況下的加速度為
a（θ，，t）==M－1（θ，t）F（θ，，t）（2）
被控系統所受的軌跡約束表達式為
ηi（θ，t）=0，i=1，2，…，l（3）
式中：l為系統所受約束數。
被控系統受到的二階軌跡約束表達式為
Al×n（θ，，t）=bl×n（θ，，t）（4）
將設定的軌跡約束施加到被控系統上，更新后的動力學方程為
M（θ，t）=F（θ，，t）+Fc（θ，，t）（5）
式中
Fc（θ，，t）=M1/2AM－1/2+（b－Aa）（6）
AM－1/2+為AM－1/2的廣義逆矩陣，是AM－1/2的唯一Moor-Penrose（MP）廣義逆矩陣［17］，Fc（θ，，t）為當被控系統受到設定的軌跡約束時，為滿足該約束被控系統需要額外施加的廣義約束力，即被控系統為實現精確的軌跡跟蹤控制所需的約束力。
當被控系統受到伺服約束，且該系統不存在不確定性因素時，可根據式（6）確定被控系統滿足約束條件的精確約束力，該約束力同樣滿足式（5）。但實際情況下，被控系統不可避免地存在不確定性因素，例如可穿戴外骨骼系統中人體自身所具有的不確定性，會對系統的精度與穩定性產生影響，因此控制器設計過程中將額外引入魯棒控制，通過設定系統不確定性參數邊界，建立魯棒控制器，使其輸出相應的力矩，以降低不確定性因素對系統造成的影響。
2"基于U-K與魯棒控制理論的機器人軌跡跟蹤控制器設計
2.1"機器人動力學模型
本文以設計的下肢外骨骼機器人（左右各具有兩自由度）為對象進行分析，關節分別設置在下肢髖關節和膝關節位置，機器人結構如圖1所示，采用直流無刷電機進行驅動。
鑒于行走過程具有周期性，且雙腿步態軌跡只存在相位差，所以將下肢外骨骼機器人簡化為如圖2所示的二自由度運動鏈結構。設下肢外骨骼機器人大腿位置的桿件長度為l1，質量為m1；小腿位置的桿件長度為l2，質量為m2；膝關節處質量為m3；小腿末端負載質量為m4；大腿位置桿件與豎直方向的夾角為θ1；小腿位置桿件相對大腿位置桿件的轉角為θ2；髖關節轉動的角速度為1；膝關節轉動的角速度為2；髖關節轉動的角加速度為1；膝關節轉動的角加速度為2。
根據拉格朗日方程，本文建立了二自由度下肢外骨骼機器人動力學模型，以針對其進行步態軌跡跟蹤控制。模型包括兩桿件和兩質點，兩桿件質量都均勻分布，在計算系統動能時需要考慮轉動慣量。大腿桿件與小腿桿件的轉動慣量分別為
I1=13m1l21（7）
I2=112m2l22（8）
系統的總動能和總勢能分別為
Es=∑4i=1Esi=16（（l22（m2+3m4）+
l21（m1+3（m2+m3+m4））+
3l1l2（m2+2m4）cosθ2）θ21+
l2（2l2（m2+3m4）+3l1（m2+2m4）cosθ2）12+
l22（m2+3m4）22）（9）
Ep=∑4i=1Epi=m1gl12+m2gl1+l12+m3gl1+
m4g（l1+l2）－m1gl1cosθ12+
m2g（l1cosθ1+l2cos（θ1+θ2）2+
m3gl1cosθ1+m4g（l1cosθ1+l2cos（θ1+θ2）））（10）
式中：Es與Ep分別表示系統的動能與勢能；Esi表示系統第i部分動能；Epi表示系統第i部分勢能。
根據拉格朗日方程［18］定義下肢外骨骼機器人系統動力學模型為
L=∑4i=1Esi－∑4i=1Epi（11）
ddtL－Lθ=τ（12）
式中：L表示拉格朗日函數；τ表示關節力矩。整理得到下肢外骨骼機器人系統的動力學方程為
M（θ）+C（θ，）+G（θ）=τ（13）
式中：M（θ）為系統的慣性矩陣；C（θ，）為系統科氏力/離心力矩陣；G（θ）為重力矩陣；為關節角加速度。以上參數的表達式如下
θ=θ1θ2（14）
M=M11M12M21M22
（15）
C（θ，）=H11H21（16）
G（θ）=G11G21（17）
τ=τ1τ2（18）
其中
M11=13m1+m2+m3+m4l21+13m2+m4l22+（m2+2m4）l1l2cosθ2
M12=M21=13m2+m4l22+
12（m2+2m4）l1l2cosθ2+12（m2+2m4）l1l2cosθ2
M22=13m2+m4l22
H11=-12m2+m4l1l2（sinθ2）22-
（m2+2m4）l1l2（sinθ2）12
H21=12m2+m4l1l2（sinθ2）21
G11=12m1+m2+m3+m4gl1sinθ1+
12m2+m4gl2sin（θ1+θ2）
G21=12m2+m4gl2sin（θ1+θ2）
2.2"軌跡跟蹤控制器設計
設被控系統約束方程的一階、二階導數表達式為
Am×n（θ，t）=cm×n（θ，，t）（19）
Am×n（θ，t）=bm×n（θ，，t）（20）
矩陣A的行數和列數分別為m和n，對于任意θ∈Rn， t∈R，Am×n（θ，t）滿秩，Am×n（θ，t）和ATm×n（θ，t）互逆。
基于式（13）下肢外骨骼動力學模型中確定參數與不確定參數進行分離
M（θ，σ，t）=（θ，t）+ΔM（θ，σ，t）（21）
C（θ，，σ，t）=（θ，，t）+ΔC（θ，，σ，t）（22）
G（θ，σ，t）=（θ，t）+ΔG（θ，σ，t）（23）
控制系統的名義部分為（·）、（·）、（·），該部分用于構建名義系統，不確定部分為M（·）、ΔC（·）、ΔG（·），構建不確定系統，σ是參數中不確定因素的統一表達，為便于后續表達與計算，將下列參數表示為
D（θ，t）=－1（θ，t）（24）
ΔD（θ，σ，t）=M－1（θ，σ，t）－－1（θ，t）（25）
E（θ，σ，t）=（θ，σ，t）M－1（θ，σ，t）－I（26）
ΔD（θ，σ，t）=D（θ，t）E（θ，σ，t）（27）
根據的U-K理論結合控制系統名義參數，確定出控制器應輸出的名義力矩表達式為
p1（θ，，t）1/2（θ，t）A（θ，t）－1/2+·
b（θ，，t）+A（θ，t）－1（θ，，t）+（θ，t）（28）
在控制器中添加p2，用以處理被控系統在運行過程中產生的軌跡跟蹤誤差，提高控制器控制精度。
p2（θ，，t）=－12f（θ，t）AT（θ，t）Pβ（θ，，t）（29）
β（θ，，t）=A（θ，t）－c（θ，，t）（30）
p1、p2兩個控制項均使用系統的名義參數作為控制參數，f為標量，是控制器的比例參數，矩陣P∈Rn×n，同時矩陣元素Pij≥0， i=1，2，…，n，j=1，2，…，n。
為消除不確定因素對控制系統造成的影響，提高系統穩定性，本文采用魯棒控制理論為控制器添加額外控制力矩［19-20］，并提出以下條件。
定義矩陣ψ（θ，t）
ψ（θ，t）PA（θ，t）D（θ，t）D（θ，t）AT（θ，t）P（31）
該矩陣滿足
infθ∈Rn， t∈Rλmψ（θ，t）gt;0（32）
式中λm為矩陣的最小特征值。
針對矩陣E（θ，σ，t），定義變量ρE，表示系統不確定性達到邊界時所對應的極限值，且ρEgt;1，由式（26）可知，所有的θ∈Rn， t∈R均滿足下式
12minσ∈ΣλmE（θ，σ，t）+ET（θ，σ，t）≥ρE（33）
當系統無不確定因素，即當σ恒等于0時，ρE≡0。
為了限定被控系統不確定因素邊界，設計函數ρ（θ，，t），其中θ∈Rn， ∈Rn， t∈R，且該函數滿足下式
ρ（θ，，t）≥max‖PAΔD（－C（t）－G+p1+p2）+
PAD（－ΔC（t）－ΔG）‖（34）
式中：ΔG表示重力矩陣與名義重力矩陣的差值，即為重力矩陣的不確定參數部分。
基于上述分析及條件建立用以處理被控系統不確定因素的控制項
p3（θ，，t）=－γ（θ，，t）μ（θ，，t）ρ（θ，，t）（35）
根據魯棒控制理論，為了便于計算，定義μ（·）、（·）、η（·）為中間數量，γ（·）為調節系數， 以表示系統在不確定性因素影響下的調節作用，表達式如下
γ（θ，，t）=
（1+ρE）－1μ（θ，，t）μ（θ，，t），μ（θ，，t）gt;ε
（1+ρE）－1μ（θ，，t）2ε，μ（θ，，t）≤ε（36）
μ（θ，，t）=η（θ，，t）ρ（θ，，t）（37）
η（θ，，t）=（θ，，t）β（θ，，t）（38）
（θ，，t）=（θ，t）AT（θ，t）P（39）
式中：p3用于降低不確定性因素的影響，ε用于調控控制項對系統不確定性因素輸出控制力矩的靈敏程度，通過對參數ρ（·）的調節，實現控制項p3對不確定性因素邊界不同做出調整的目的。
根據以上分析建立基于U-K控制理論的魯棒控制器為
τ（t）=p1（θ（t），（t），t）+p2（θ（t），（t），t）+p3（θ（t），（t），t）（40）
基于U-K理論的魯棒控制框圖如圖3所示。
2.3"穩定性分析
選取合法的Lyapunov函數［21］，以證明被控制系統的穩定性，所選函數為
V（β）=βTPβ（41）
對Lyapunov函數兩側沿被控系統時間求導得到
=2βTP{A［M－1（－C－G）+
M－1（p1+p2+p3）］－b}（42）
將式（42）代入式（24）～式（27）可知
2βTP{A［M－1（－C－G）+M－1（p1+p2+
p3）］－b}=2βTPA［D（－－）+
D（p1+p2）+D（－ΔC－ΔG）+
ΔD（－C－G+p1+p2）+（D+ΔD）p3］－b（43）
將式（28）入式（43）中，得到
AD（－－）+Dp1－b=0（44）
將式（34）代入式（43）中，得到
2βTPA［ΔD（－C－G+p1+p2）+
D（－ΔC－ΔG）］≤
2‖β‖‖PA［ΔD（－C－G+p1+p2）+
D（－ΔC－ΔG）］‖≤2‖β‖ρ（45）
將式（29）代入式（43）中，得到
2βTPADp2=2βTPAD－f－1ATPβ=－2fη2（46）
將式（35）與式（27）代入式（43）中，得到
2βTPA（D+ΔD）p3=－2βTPA（D+DE）γμρ=
2（DAPβρ）T（I+E）（－γμ）=
－2γμTμ－2γμTEμ≤
－2γμ2－2γλm（E+ET）μ2≤
－2γ（1+ρE）μ2（47）
當μgt;ε，由式（47）可得
－2γ（1+ρE）μ2=－2βρ（48）
根據式（44）～式（48），式（42）可推導得到
≤－2fη2+2βρ－2βρ=－2fη2（49）
當μlt;ε，由式（47）可得
－2γ（1+ρE）μ2=－2β2ρ2/ε（50）
由式（42）推導可得
≤－2fη2+2βρ－2β2ρ2ε=
－2fη2+ε2（51）
將上述兩式合并可以得到
≤－2fη2+ε2（52）
根據Rayleigh原理可得
η2=ηTη=βTPADDATPβ≥
λm（PADDATP）β2≥λβ2（53）
可知
≤－2fλη2+ε2（54）
式中：λ為矩陣最小特征值的下確界。根據實用穩定性定理［21］，結合式（51）～式（54），可以證明被控系統一致有界
d（r）=λM（P）λm（P）R，"r≤R
λM（P）λm（P）r，"rgt;R（55）
R= ε4fλ（56）
式中：λM為最大特征值，被控系統具有一致最終有界性，、d分別為距離函數d（r）的上界和下界
gt;d=λM（P）λm（P）R（57）
T（，r）=
0， r≤λM（P）λm（P）
λM（P）r2－（λ2m（P）/λM（P））22fλ2λm（P）/λM（P）－（ε/2），
rgt;λM（P）λm（P）（58）
3"仿真實驗及分析
3.1"步態數據獲取及處理
步態數據來源于生物力學與人體運動控制相關研究［22］，包括髖關節與膝關節運動時的關節角度數據，使用Matlab提取關節角度數據并進行擬合，獲得步態數據擬合函數作為下肢外骨骼機器人控制過程中的期望關節軌跡。由于步態軌跡具有周期性，且行走過程中，雙腿各關節運動軌跡之間相位差約為半個周期，所以只需要對下肢單側的步態數據進行擬合，控制系統也只需將單側步態數據曲線作為期望軌跡來實現控制，根據髖關節、膝關節步態數據分別擬合髖關節期望軌跡θh和膝關節期望軌跡θk
θh=7.675－9.765cos（6.364t）－
17.71sin（6.364t）+3.767cos（12.728t）－
0.872sin（12.728t）－1.189cos（19.092t）+
0.656sin（19.092t）－0.0208cos（25.456t）－
0.1717sin（25.456t）（59）
θk=16.96－2.246cos（6.364t）+21.97sin（6.364t）－
16.09cos（12.728t）－1.274sin（12.728t）+
2.237cos（19.092t）－2.113sin（19.092t）－
1.224cos（25.456t）－0.3647sin（25.456t）（60）
為滿足不同人群對步態數據軌跡的不同使用要求［23］，以便對步態數據擬合函數進行調整，需要對θh、θk作如下參數化處理，得到髖關節、膝關節修正軌跡θh1、θk1
θh1=A1θh（Tt）+B1（61）
θk1=A2θk（Tt）+B2（62）
式中：A1、A2用于調節關節角度變化幅值；B1、B2用于調節關節角度偏移量；T用于調節關節角度變化周期。
3.2"步態軌跡跟蹤控制仿真實驗及結果分析
將基于U-K控制理論的魯棒控制應用于下肢外骨骼機器人的步態軌跡跟蹤控制實驗，由于PID控制在外骨骼軌跡跟蹤控制中應用廣泛［24］，所以本實驗將與傳統的PID控制進行對比，以此驗證控制方法的準確性與穩定性。采用Matlab/Simulink搭建仿真模型，基于θh、θk進行仿真實驗。由于步態數據擬合函數具有周期性，因此以髖關節、膝關節運動的前4個周期軌跡作為期望軌跡。
以外骨骼實物尺寸及質量作為仿真系統的參數，l1=0.45m，m1=0.32kg，l2=0.2m，m2=0.1kg，m3=1.35kg，m4=0.6kg，重力加速度g=9.81m/s2，各關節初始角速度及角加速度均為0。
本實驗的運動軌跡參數為
A=1001（63）
c=hk（64）
b=hk（65）
控制參數選擇為P=1001、f=50、ρE=－0.01、ρ（θ，，t）=50、ε=0.001。
下肢外骨骼機器人系統的質量、速度、科氏力等參數包含不確定部分［25］，根據實驗過程中測得的不確定部分的變化范圍確定其邊界。同時，由于關節電機運動具備周期性，不確定部分的變化也有周期性，因此，結合獲得的不確定部分變化邊界，設定系統所受不確定部分的慣性矩陣ΔM、科氏力矩陣ΔC 與重力矩陣ΔG分別為
ΔM=0.001sinπ2t0.005sinπ2t
0.002sinπ2t0.001sinπ2t（66）
ΔC=0.002sin（t）－0.001sin（πt）（67）
ΔG=0.02sin（t）－0.015sin（πt）（68）
通過多次實驗調試結果并結合PID控制原理［26］，將PID控制器的參數設置為Kp=diag［400"400］，Ki=diag［10"200］，Kd=diag［400"400］，采用基于U-K理論的魯棒控制器和PID控制器對下肢外骨骼機器人系統進行仿真實驗，獲取仿真實驗數據，并將仿真數據與期望軌跡進行對比得到仿真誤差，結果如圖4、圖5所示。
通過對實驗結果分析可得，PID控制下的髖關節跟蹤誤差范圍為－0.4°～1.0°，且誤差曲線存在明顯的抖動，基于U-K方程的魯棒控制下的髖關節跟蹤誤差范圍為－0.115°～0.100°，較PID控制減小了76.4%。PID控制下的膝關節跟蹤誤差范圍為－0.15°～3.00°，基于U-K方程的魯棒控制下的膝關節跟蹤誤差范圍為－0.06°～0.04°，較PID控制減小了96.8%。基于U-K方程的魯棒控制的跟蹤誤差范圍與峰值均小于PID控制，且誤差變化更加穩定，其誤差曲線與PID控制相比沒有明顯的偏移，證明基于U-K方程的魯棒控制具有更高的控制精度與穩定性。將兩種控制模式下的軌跡跟蹤誤差進行統計學分析，誤差分析結果如圖6所示。
由圖6可知，在系統參數及約束條件相同的情況下，基于U-K方程的魯棒控制的下肢外骨骼機器人軌跡跟蹤精度分別為0.0477°與0.0196°，相比基于PID控制的0.1473°與1.5840°，分別提高了67.62%和98.76%。本文方法的誤差標準差分別為0.0425°和0.0279°，誤差方差分別為0.0018°與0.0008°；PID控制的誤差標準差分別為0.3452°和0.7610°，誤差方差分別為0.1191°與0.5790°，基于本文方法的步態軌跡跟蹤控制具有更高的穩定性。綜上所述，基于U-K方程的魯棒控制與傳統的PID控制相比，具有更高的準確性與穩定性。
4"下肢外骨骼機器人步態軌跡跟蹤控制樣機實驗
為進一步驗證基于U-K方程的魯棒控制方法的可行性、準確性與穩定性，搭建下肢外骨骼機器人樣機及實驗平臺，如圖7所示。基于STM32F429開發板設計算法實現下肢外骨骼機器人的軌跡跟蹤控制，實驗平臺主要包括上位機、STM32F429開發板、電機驅動器、關節電機、編碼器、下肢外骨骼機器人樣機、電源模塊。
本實驗為人體穿戴實驗，以外骨骼實物與人體腿部尺寸及質量計算系統動力學方程，并根據穿戴后各部分參數不確定的范圍設定系統所受的不確定性因素，搭建基于U-K控制理論的魯棒控制器。考慮實際康復訓練過程中，過快的步速可能會對患者造成傷害，因此實物驗證中，通過上述步態數據擬合函數內的周期調整參數T進行調節，將函數周期放大5倍，即4.93s，實驗記錄4周期內軌跡跟蹤情況，并編寫PID控制程序，與基于U-K控制理論的魯棒控制進行對比，實驗結果如圖8、圖9所示。
由圖9可見，PID控制下的外骨骼樣機髖關節誤差范圍為－8.5°～9.4°，膝關節誤差范圍為－6.5°～8.2°，誤差范圍較大，且實際軌跡相對于期望軌跡存在明顯的偏移，沒有收斂于期望軌跡，其準確性與穩定性均較差。基于U-K控制理論的魯棒控制下髖關節誤差范圍為－3.7°～2.3°，膝關節誤差范圍為－2.8°～3.9°，誤差主要出現在運動方向發生變化的位置，即軌跡的峰值處，且存在輕微抖振，主要是由于外骨骼機器人運動過程中的慣性與機構間隙導致的。與PID控制相比，本文方法的整體跟蹤精度較高，誤差曲線偏移較小。證明了基于U-K控制理論的魯棒控制具有更高的準確性。將兩種控制方法的軌跡誤差做統計學分析，結果如圖10 所示。
基于軌跡跟蹤誤差得到誤差均值、誤差標準差、誤差方差［27］，其中，以軌跡跟蹤誤差均值作為跟蹤精度的表征指標，在基于U-K控制理論的魯棒控制下，下肢外骨骼機器人軌跡跟蹤精度在髖關節和膝關節處分別為0.4670°與0.1141°，相比PID控制算法的2.6786°與0.8426°，分別提高了82.57%與86.84%，證明本文方法具有更高的軌跡跟蹤精度，本文所提方法的誤差標準差分別為1.9566°與1.6931°，誤差方差分別為3.8283°與2.8665°，而PID控制算法的誤差標準差分別為4.1048°與3.6287°，誤差方差分別為16.8495°與13.1673°，對比可知，本文方法的誤差標準差與誤差方差均小于PID控制的，證明本文方法具有更好的穩定性。由此證明，在實際應用中，相比傳統PID控制，基于U-K方程的魯棒控制具有更高的準確性與穩定性。
外骨骼運動過程中控制系統延遲對人機協同運動的影響非常重要［28］，為驗證本文基于U-K控制理論的魯棒控制在人機協同方面的控制效果，分別對基于本文控制方法與PID控制算法的延遲指標即系統整體控制周期［28］進行測量，控制周期包括傳感器測量周期、控制算法計算周期、控制信號傳遞周期。
測量結果表明，基于U-K控制理論的魯棒控制的外骨骼系統整體控制周期為10.8ms，延遲較小，基于PID控制下系統控制整體周期為24.9ms，延遲較大。即基于U-K控制理論的魯棒控制下的外骨骼運動具有更高的同步性，人機協同效果更好。
5"結"論
針對下肢康復外骨骼機器人高準確性、高穩定性的軌跡跟蹤控制要求，本文設計了基于U-K控制理論的魯棒控制系統，將U-K動力學理論與魯棒控制理論相結合，基于U-K控制理論計算被控系統的精確約束力以提高軌跡跟蹤精度，采用魯棒控制理論對系統不確定因素輸出相應力矩，提高控制系統穩定性。最后以PID控制為對照，開展步態軌跡跟蹤控制實驗與系統控制延遲對比實驗，結果表明，與傳統PID控制相比，基于U-K控制理論的魯棒控制方法具有更高的同步性、控制精度與穩定性。
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（編輯"武紅江）
