一道涉及存在性問(wèn)題的最值問(wèn)題的探究

摘要：涉及函數(shù)的雙變量中的存在性問(wèn)題，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法交匯性與綜合性的一類熱點(diǎn)問(wèn)題，成為考查“四基”的重要場(chǎng)景.結(jié)合一道涉及兩個(gè)函數(shù)值相等的存在性問(wèn)題，從不同思維視角挖掘并切入，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，剖析技巧與方法，歸納總結(jié)解題技巧，并加以合理變式拓展，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；存在；最值；同構(gòu)；數(shù)形結(jié)合

雙變量中的存在性問(wèn)題，巧妙融入函數(shù)與方程、不等式、常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，以及化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及邏輯推理等數(shù)學(xué)思想方法，是高考數(shù)學(xué)試卷的考查重點(diǎn)與難點(diǎn)之一，備受各方關(guān)注.

“存在x1，x2，使得f（x1）=g（x2）成立”問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是這兩個(gè)函數(shù)在共同的定義域區(qū)間上的值域的交集非空.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題 （2024年廣東省深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷·8）設(shè)函數(shù)f（x）=x+ex，g（x）=x+ln x，若存在x1，x2，使得f（x1）=g（x2），則|x1－x2|的最小值為（" ）.

A.1e

B.1

C.2

D.e

此題以兩個(gè)函數(shù)為問(wèn)題背景，通過(guò)存在性的設(shè)置，結(jié)合兩函數(shù)值相等的條件，進(jìn)而確定此背景下兩自變量之差的絕對(duì)值的最小值問(wèn)題.

解決此類涉及指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的混合問(wèn)題，同構(gòu)思維是基本策略，關(guān)鍵在于切線不等式的放縮與轉(zhuǎn)化；利用數(shù)形結(jié)合思維有時(shí)可以更加直觀快捷地處理問(wèn)題；換元思維是最基本的技巧方法，也是解決此類問(wèn)題的一種重要手段.

2 問(wèn)題破解

2.1 同構(gòu)思維

方法1：函數(shù)同構(gòu)法1.

解析：依題，若存在x1，x2使得f（x1）=g（x2），則有x1+ex1=x2+ln x2，變形可得ex1+ln ex1=x2+ln x2，則有g(shù)（ex1）=g（x2）.

而對(duì)于函數(shù)g（x）=x+ln x，xgt;0，求導(dǎo)可得g′（x）=1+1xgt;0，則知函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合g（ex1）=g（x2）可得ex1=x2.

而借助指數(shù)切線不等式，可得ex1≥x1+1，當(dāng)且僅當(dāng)x1=0時(shí)等號(hào)成立，變形可得x1－ex1≤－1.

所以|x1－x2|=|x1－ex1|≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x1=0時(shí)等號(hào)成立.

所以|x1－x2|的最小值為1，當(dāng)x1=0，x2=1時(shí)等號(hào)成立.故選擇答案：B.

方法2：函數(shù)同構(gòu)法2.

解析：依題，若存在x1，x2使得f（x1）=g（x2），則x1+ex1=x2+ln x2，可得x1+ex1=ln x2+eln x2，則有f（x1）=f（ln x2）.

而對(duì)于函數(shù)f（x）=x+ex，求導(dǎo)可得f′（x）=1+exgt;0，則知函數(shù)f（x）在區(qū)間（－∞，+∞）上單調(diào)遞增.結(jié)合f（x1）=f（ln x2），可得x1=ln x2.

而借助對(duì)數(shù)切線不等式，可得ln x2≤x2－1，當(dāng)且僅當(dāng)x2=1時(shí)等號(hào)成立，變形可得ln x2－x2≤－1.

所以|x1－x2|=|ln x2－x2|≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x2=1時(shí)等號(hào)成立.

所以|x1－x2|的最小值為1，當(dāng)x1=0，x2=1時(shí)等號(hào)成立.故選擇答案：B.

2.2 數(shù)形結(jié)合思維

方法3：數(shù)形結(jié)合法.

解析：依題，借助指數(shù)切線不等式得f（x）=x+ex≥x+（x+1）=2x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

借助對(duì)數(shù)切線不等式，可得g（x）=x+ln x≤x+（x－1）=2x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

而直線y=2x+1與y=2x－1是兩條平行直線.

如圖1所示，根據(jù)圖形直觀分析，若f（x1）=g（x2），則當(dāng)x1=0，x2=1時(shí)，|x1－x2|的最小值為1.故選擇答案：B.

2.3 換元思維

方法4：換元法.

解析：依題，若存在x1，x2使得f（x1）=g（x2），則有x1+ex1=x2+ln x2.

根據(jù)條件設(shè)x1－x2=t，則有x1=x2+t.代入上式可得x2+t+ex2+t=x2+ln x2，則有l(wèi)n x2=ex2+t+t.

結(jié)合指數(shù)切線不等式，可得ex2+t≥x2+t+1，當(dāng)且僅當(dāng)x2+t=0時(shí)等號(hào)成立，所以有l(wèi)n x2=ex2+t+t≥x2+2t+1，分離參數(shù)可得t≤ln x2－x2－12.

構(gòu)建函數(shù)h（x）=ln x－x－12，xgt;0，求導(dǎo)可得h′（x）=12（1x－1）=1－x2x.令h′（x）=0，可得x=1.

所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）gt;0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）lt;0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減.所以h（x）max=h（1）=－1.

所以t≤－1，可得|x1－x2|≥1，即|x1－x2|的最小值為1.故選擇答案：B.

3 變式拓展

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)存在性的設(shè)置，借助兩函數(shù)值對(duì)應(yīng)相等，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)兩自變量差值的最值問(wèn)題，合理巧妙變式與拓展，開拓解題思路，發(fā)散解題思維，形成數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

變式1 設(shè)函數(shù)f（x）=x+ex，g（x）=x+ln x，若存在x1，x2，使得f（x1）=g（x2），則x1－x2的最大值為.

該變式問(wèn)題的解析過(guò)程，可以參考原問(wèn)題的方法1、方法2或方法4.該變式問(wèn)題更加直接快捷地給出了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)與應(yīng)用.

變式2 已知函數(shù)f（x）=ex，g（x）=4x－2，若在區(qū)間[0，+∞）上存在x1，x2，使得f（x1）=g（x2），則x2－x1的最小值為（" ）.

A.1+ln 2

B.1－ln 2

C.916

D.e－2

解析：依題，若在區(qū)間[0，+∞）上存在x1，x2，使得f（x1）=g（x2），可得ex1=4x2－2，即ex1－4x2+2=0.

根據(jù)條件設(shè)x2－x1=tgt;0，可得x2=x1+t.代入上式可得ex1－4x1+t+2=0.分離參數(shù)可得t=（ex1+2）216－x1.

構(gòu)建函數(shù)h（x）=（ex+2）216－x，x≥0，則有h′（x）=18（e2x+2ex－8）=18（ex+4）（ex－2）.令h′（x）=0，可得ex=2，則有x=ln 2.

所以當(dāng)x∈（0，ln 2）時(shí)，h′（x）lt;0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（ln 2，+∞）時(shí)，h′（x）gt;0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增.所以h（x）min=h（ln 2）=1－ln 2.

所以t的最小值為1－ln 2，即x2－x1的最小值為1－ln 2.故選擇答案：B.

變式3 已知函數(shù)f（x）=e2x－3，g（x）=14+ln x2，若在在實(shí)數(shù)x1，x2，使得f（x1）=g（x2），則x2－x1的最小值為.

解析：依題，設(shè)f（x1）=g（x2）=m，則有e2x1－3=14+ln x22=mgt;0，則ln m=2x1－3，ln x22=m－14，即x1=ln m+32，x2=2em－14.

所以x2－x1=2em－14－ln m+32.構(gòu)建函數(shù)h（m）=2em－14－ln m+32，mgt;0，則有h′（m）=2em－14－12m.又h″（m）=2em－14+12m2gt;0，則知導(dǎo)函數(shù)h′（m）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h′14=0.

所以當(dāng)m∈0，14時(shí)，h′（m）lt;0，函數(shù)h（m）單調(diào)遞減；當(dāng)m∈14，+∞時(shí)，h′（m）gt;0，函數(shù)h（m）單調(diào)遞增.所以h（m）min=h14=12+ln 2.

所以x2－x1的最小值為12+ln 2.

故填答案：12+ln 2.

4 教學(xué)啟示

其實(shí)，解決雙變量中的存在性問(wèn)題，關(guān)鍵在于正確理解并掌握對(duì)應(yīng)存在量詞的含義與實(shí)質(zhì)，合理通過(guò)變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合整體思維、換元思維等，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值、值域關(guān)系、最值（最大值或最小值）的大小關(guān)系等，這是解決此類問(wèn)題最基本的思維方向.

抓住問(wèn)題的基本，合理挖掘存在性問(wèn)題的實(shí)質(zhì)與內(nèi)涵，巧妙綜合函數(shù)與方程的關(guān)系與轉(zhuǎn)化應(yīng)用，合理構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)（主要是單調(diào)性、最值等）、不等式的基本性質(zhì)、切線不等式的放縮與應(yīng)用，綜合函數(shù)的圖象與性質(zhì)等來(lái)分析與解決問(wèn)題，合理化歸轉(zhuǎn)化，巧妙分析求解.