流形正則化支持高階張量機及其在行星齒輪箱半監督故障診斷中的應用

摘要： 本文提出了一種基于流形正則化支持高階張量機（MRSHTM）的行星齒輪箱半監督故障診斷方法。在MRSHTM中引入CP分解挖掘張量數據中的內在結構信息，并定義張量逆多元二次核函數（Tensor?IMKF）以構建圖拉普拉斯算子，從而更好地描述張量數據之間的流形結構。針對多分類問題，將一對多（OVR）策略引入MRSHTM中，提出一對多流形正則化支持高階張量機（OVR?MRSHTM）模型。利用層次多尺度排列熵（HMPE）提取多通道振動信號的“通道×層次×尺度”三階張量故障特征，并輸入OVR?MRSHTM中進行自動識別。實驗結果表明，所提算法能夠在張量空間中實現稀缺標記樣本下的行星齒輪箱智能故障診斷。

關鍵詞： 半監督故障診斷； 行星齒輪箱； 張量學習； 流形正則化

中圖分類號： TH165⁺.3； TH132.41""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）01-0078-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.01.009

Manifold regularized support higher-order tensor machinesfor semi-supervised fault diagnosis of planetary gearboxes

YANG Cheng^1，2， He Qingbo¹， JIA Minping²， LI Zhinong³， PENG Zhike^1，4

（1.State Key Laboratory of Mechanical Systems and Vibration， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240， China；2.School of Mechanical Engineering， Southeast University， Nanjing 211189， China；3.Key Laboratory of Nondestructive Testing of Ministry of Education， Nanchang Hangkong University， Nanchang 330063， China；4.School of Mechanical Engineering， Ningxia University， Yinchuan 750021， China）

Abstract： In this study， a novel semi-supervised fault diagnosis of planetary gearboxes based on manifold regularized support higher-order tensor machines （MRSHTM） is proposed. In the MRSHTM， CANDECOMP/PARAFAC （CP） decomposition is introduced to exploit the intrinsic structural information of tensor data， and tensor-based inverse multiquadric kernel function （Tensor-IMKF） is defined to construct a Laplacian operator. The constructed graph matrix can better describe the manifold structure between tensor data. Besides， the one-versus-rest （OVR） strategy is introduced into the MRSHTM model for multi-class fault diagnosis of planetary gearboxes. Hierarchical multiscale permutation entropy （HMPE） is adopted to extract the three-order tensor features “channel×hierarchical layer×scale”， and then the extracted HMPE values are fed into OVR-MRSHTM for automatic fault identification. The results suggest that the proposed method can achieve semi-supervised fault diagnosis of planetary gearboxes in tensor space.

Keywords： semi-supervised fault diagnosis；planetary gearboxes；tensor learning；manifold regularization

行星齒輪箱作為一種重要的傳動部件，被廣泛應用于工業機器人、風力發電機、直升機、艦船等裝備中^［1?3］。受連續運轉、強載荷等非理想工作環境的影響，行星齒輪箱較易發生損壞以致完全失效，從而嚴重影響裝備安全運行。因此，開展行星齒輪箱狀態監測與故障診斷的研究，對于確保重大裝備安全可靠運行具有重要的意義。

國務院印發的《中國制造2025》國家行動綱領將智能制造作為新一代信息和制造技術融合發展的主攻方向^［4］。作為智能制造的重要一環，基于數據驅動的智能故障診斷能夠更有效地處理海量的裝備狀態數據，已成為大數據下重大裝備故障診斷的重要研究方向^［5］。國內外專家學者針對裝備中常用傳動部件如行星齒輪箱的智能故障診斷展開了深入研究^［6?10］。胡蔦慶等^［6］針對行星齒輪箱振動信號的非平穩性問題，將經驗模式分解與深度卷積神經網絡相結合，提出了一種行星齒輪箱智能故障診斷方法，可自動識別行星齒輪箱的故障類型。熊鵬等^［7］針對變轉速工況環境下行星齒輪箱智能故障診斷問題，提出了動態加權密集連接卷積網絡，可自適應地提取不同頻帶內的故障特征信息，從而自動識別變轉速行星齒輪箱故障。王輝等^［8］針對現有行星齒輪箱多工況下故障表征存在的問題，提出了一種基于多尺度注意力深度強化學習網絡的行星齒輪箱智能故障診斷算法，提高了診斷精度和工況適應性。然而，以上算法均屬于監督學習框架，即需要大量且屬于不同類別的典型標記樣本來實現有效診斷。在實際工程中，收集大量標記故障樣本需要昂貴的代價和人力成本。針對此問題，半監督學習模型被引入行星齒輪箱智能故障診斷中，涌現了很多行之有效的行星齒輪箱半監督故障診斷方法^［11?14］。張鑫等^［11］提出了基于Laplacian特征映射和深度置信網絡的半監督故障識別模型，可在較少標記樣本下自動識別齒輪裂紋故障；韓特等^［12］提出了一種融合圖標簽傳播和判別特征增強的半監督故障診斷方法，可有效識別工業機器人RV減速器中的齒輪故障。

隨著物聯網和傳感器技術的發展，完備甚至冗余的工業傳感器從不同的角度獲取了海量蘊含豐富工況信息的多維數據^［15］。在實時測量的多維數據中，蘊含豐富故障信息的張量特征，可盡量保存數據的內在結構信息，以更好地表征設備的運行狀態。然而，以上行星齒輪箱智能故障診斷方法僅適用于向量空間，不能直接識別張量特征。若將張量特征融合為“向量特征”，必然會損失張量特征的結構信息；若將張量特征展開為“向量形式”，可能會因此產生高維小樣本而導致過擬合問題。近年來，張量學習（tensor learning）^［16］作為傳統機器學習模型在張量空間中被推廣，因其能夠直接處理張量型數據而備受關注。為此，專家學者將張量學習理論引入行星齒輪箱智能故障診斷中，充分利用張量數據的結構信息及其相關性來提升故障識別精度^［17?19］。LI等^［17］提出了辛加權稀疏支持矩陣機，并成功應用于齒輪箱智能故障診斷中。葛江華等^［18］利用支持張量機（support tensor machines，STM）直接識別二階張量特征，并與集成矩陣距離測度的k近鄰分類器融合決策，實現了齒輪箱故障的自動識別。HE等^［19］提出了基于動態懲罰因子的支持高階張量機模型，并用齒輪箱實例驗證了該算法的有效性。

綜上所述，傳統的行星齒輪箱半監督故障診斷算法僅適用于向量空間；現有的基于張量學習的行星齒輪箱智能故障診斷模型主要是基于標記故障樣本充足這一背景下提出的，在少量標記訓練樣本下難以實現有效地故障診斷。基于此，本文針對張量空間中稀缺標記樣本下行星齒輪箱智能故障診斷展開研究具有重要意義。在半監督學習模型中，基于流形正則化（manifold regularization，MR）^［20］的半監督學習是目前主流方法之一，其主要基于流形假設：同一局部領域內的樣本數據之間的內在結構關系是緊密相關的，因此它們具有相似的類標簽。Laplacian支持向量機^［21］作為一種典型的流形正則化半監督學習算法，充分挖掘樣本數據之間的流形結構，并將流形正則化項嵌入SVM模型中的目標函數中，從而提升在稀缺標記樣本下的分類能力。支持高階張量機（support higher?order tensor machines，SHTM）^［22］能夠更好地利用張量特征的內在結構信息，在智能故障診斷中取得了成功應用。

因此，本文將流形正則化引入支持高階張量機中，提出一種半監督張量學習模型，即流形正則化支持高階張量機（manifold regularized support higher?order tensor machines， MRSHTM）。在MRSHTM中，利用圖拉普拉斯算子構建流形結構來表征少數標記和大量無標記樣本之間的聯系。與傳統圖模型構建不同，本文利用CP分解^［23］提取張量樣本中的結構信息，從而進一步描述張量數據中的復雜流形結構。針對多分類問題，本文將一對多（one?versus?rest， OVR）^［24］策略引入MRSHTM模型中，提出了一對多流形正則化支持高階張量機模型（one?versus?rest manifold regularized support higher?order tensor machine， OVR?MRSHTM）。利用層次多尺度排列熵（hierarchical multi?scale permutation entropy，HMPE）^［25］提取多通道振動信號的“通道×層次×尺度”三階張量故障特征，并輸入所提的OVR?MRSHTM模型中進行自動識別，最終給出了一種基于HMPE和OVR?MRSHTM模型的行星齒輪箱半監督故障診斷方案。試驗結果驗證了所提算法在稀缺標記樣本下行星齒輪箱智能故障診斷的有效性和優越性。

1 層次多尺度排列熵

本文所提的行星齒輪箱半監督故障診斷算法首先引入基于層次多尺度排列熵（HMPE）的特征提取方法，以獲取多通道振動數據中蘊含的更詳細的故障信息。在HMPE中，引入層次分析將多通道振動數據從高頻到低頻進行劃分，再引入多尺度分析對不同頻帶的層次子分量進行空間尺度分割，最后引入排列熵評估各子分量的動態復雜性，從而構建“通道×層次×尺度”三階張量故障特征。

1.1 排列熵

排列熵（permutation entropy，PE）^［26］作為一種量化時間序列復雜性或不確定性的評價指標，能夠有效地檢測行星齒輪箱系統的動力學特性。PE值的具體計算步驟如下：

（1） 對于給定的時間序列，利用延遲坐標法對其進行相空間重構：

（1）

式中，，"" " 為相空間子分量；為嵌入維數；為延遲時間。

（2） 根據重構的相空間子分量中元素的大小關系，可描述并辨識各子分量中的排列模式。對于嵌入維數，易知嵌入向量最多存在m！種潛在的排列模式。因此，對于每種排列模式，其概率可估計為：

（2）

（3） 根據香農熵（Shannon entropy）的定義，時間序列的排列熵可估計如下：

（3）

進一步，對應的歸一化排列熵表示如下：

（4）

式中，。

1.2 HMPE計算流程

對于給定多通道振動數據，其中，，（為通道數）。層次多尺度排列熵的具體計算步驟如下：

（1） 分別定義平均算子和差分算子如下：

（5）

（2） 在平均算子和差分算子的基礎上，定義第層矩陣算子如下：

（6）

式中，。

（3） 定義一個維引索向量，第個層次子分量對應唯一引索向量：

（7）

（4） 估計多通道振動數據的各層次分量如下：

（8）

式中，為第個通道振動數據第層的第個節點的層次分量。

（5） 對于每個層次分量，粗粒化的時間序列可通過下式估計得到：

（9）

式中，為尺度因子；t為時間序列。

（6） 通過式（4）計算的PE值，并最終估計多通道振動數據的層次多尺度排列熵：

；

（10）

式中，為通道數；為層次數；為節點數；為最大尺度因子；延遲時間一般設置為1。按照上述步驟對進行處理，可構建得到尺寸為的三階張量故障特征，通過描述多通道振動數據中不同通道、不同層次以及不同尺度之間的關聯，表征更豐富的故障信息。

2 流形正則化支持高階張量機

在特征提取之后，針對標記故障樣本稀缺問題，本文提出一種流形正則化支持高階張量機（MRSHTM）模型，基于半監督學習中的流形假設，結合少量標記樣本和大量無標記樣本的張量特征信息，盡可能提高故障診斷效率。

2.1 支持高階張量機

對于張量樣本集的二分類問題，其中，為訓練樣本數，為張量樣本，為樣本標簽。在支持高階張量機（support higher?order tensor machines， SHTM）中，權重向量被超平面權重張量取代。令權重張量（“”為外積運算），利用張量外積和張量的Frobenius范數的定義，可得：

（11）

根據張量?模乘積和張量內積的定義，可寫成如下形式：

（12）

引入松弛變量，利用式（11）和（12），可將原來交替投影算法求解樸素支持張量機模型的個QP問題轉化為如下的凸優化問題：

（13）

對于優化問題（13），構造拉格朗日函數，可得：

（14）

式中，和為拉格朗日乘子。進一步，求對、以及的偏導數并置為0，可得：

（15）

（16）

（17）

將式（15）～（17）代入式（14）中，優化問題（13）轉化為其對偶問題：

（18）

式中，為和的內積。將張量CP分解嵌入式（18）的內積運算中，以便得到更緊湊且有意義的張量特征表示。根據張量CP分解的定義，和分別可表示為：

（19）

（20）

則和的內積可表示為：

（21）

將式（21）代入式（18），可得：

式（22）為線性SHTM模型。類似于傳統支持向量機，模型可由SMO（sequential minimal optimization）算法進行求解。對于測試樣本，相應的決策函數可表示為：

（23）

式中，和分別為和的張量CP分解得到載荷矩陣的列向量。

2.2 圖拉普拉斯算子

對于張量樣本，，…，，構造一個無向加權圖，其中，為樣本節點，為節點之間的邊。對于無向加權圖而言，鄰接矩陣為圖中邊的權重。在張量空間中，設中的一個節點為，另一個節點為。利用CP分解對和進行分解，其分解形式分別如式（19）和（20）所示。將逆多元二次核函數擴展到張量空間中，定義張量逆多元二次核函數（Tensor?IMKF）以衡量不同節點之間的相似性：

（24）

進一步，圖拉普拉斯算子定義為：

（25）

式中，為度矩陣，即。

歸一化的圖拉普拉斯算子可表示為：

（26）

式中，為單位矩陣。由此，構建標記故障樣本和無標記故障樣本的圖拉普拉斯算子，可更好地描述訓練樣本集的流形結構信息。

2.3 MRSHTM模型

為彌補傳統SHTM模型在故障標記樣本稀缺情況下分類精度的不足，本文在SHTM模型的基礎上加入流形正則項，充分利用少量標記樣本和大量無標記樣本之間的流形結構信息，建立一種基于流形正則化支持高階張量機的半監督學習框架。

考慮一個在階張量空間中的二分類問題（本文中為3），假設有少量標記張量樣本集和大量無標記張量樣本集，其中為樣本標簽。對于MRSHTM模型，半監督流形正則化框架可定義為：

（27）

式中，為標記樣本的損失函數；為正則項；為流形正則項，用于控制決策函數在概率分布的內在幾何結構上的復雜度；和為正則項權重。

在流形正則化支持高階張量機模型中，設定損失函數為hinge損失函數：

（28）

根據決策函數，MRSHTM模型的正則項為，其中：

（29）

式中，；為核函數。

引入圖拉普拉斯算子，得到MRSHTM模型的流形正則項為：

（30）

式中， 。

通過最小化式（30），確保流形距離相近的樣本具有相似的標簽。基于流形假設，利用少量標記張量樣本和大量無標記張量樣本之間的流形結構賦予大量無標記張量樣本“標簽信息”，使之在張量分類器優化求解中起到“監督”作用，從而有效提高分類性能。將式（28）和（30）代入式（27）中，則MRSHTM模型的優化問題為：

（31）

式中，，。

為了求解式（31），通過引入拉格朗日乘子和，得到拉格朗日函數：

（32）

式中，為松弛變量。

對于和的偏導，分別表示為：

（33）

（34）

將式（33）和（34）代入式（32）中，可得：

式中，；為單位矩陣；。

得到關于的偏導數并置為0，可得：

（36）

式中，為的最優解。

因此，式（31）的對偶問題可寫成：

（37）

其中：

（38）

最后，MRSHTM模型的決策函數表示為：

（39）

式中，為訓練樣本數；為CP分解模型因子；為拉格朗日乘子；和分別為訓練張量樣本集和測試張量樣本集的張量CP分解得到載荷矩陣的列向量；為偏置項，可表示為：

（40）

2.4 多分類流形正則化支持高階張量機

本文將上述模型從二分類問題推廣到多分類問題中，引入一對多（one?versus?rest， OVR）策略到MRSHTM模型中，提出了一對多流形正則化支持高階張量機（one?versus?rest manifold regularized support higher?order tensor machine， OVR?MRSHTM）模型。其主要思路是將一個類分類問題轉化為個二分類問題，通過構造出個最優化問題，求解得到個張量決策超平面。在構造第個最優化問題時，把訓練集中個樣本分為兩部分，其中原本屬于第類的樣本歸為“+1”類，將剩余類樣本歸為“-1”類，形成一個二分類問題。OVR?MRSHTM模型的決策函數為：

（41）

式中，上標（h）表示類別。

3 實例驗證與分析

本文將層次多尺排列熵（HMPE）和流形正則化支持高階張量機（MRSHTM）相結合，提出一種行星齒輪箱半監督故障診斷方法，如圖1所示。給出具體步驟如下：

（1） 從安裝在行星齒輪箱上的傳感器中同步采集不同故障狀態下的多通道振動數據。

（2） 在HMPE算法中分別設置層次數、尺度因子、嵌入維數等，利用HMPE算法從各通道振動信號中提取二階張量特征。

（3） 對于每個樣本，將各通道的二階張量特征進行堆疊，從而構建“通道×層次×尺度”的三階張量故障特征。

（4） 從總樣本中隨機選出少量標記樣本和大量無標簽樣本作為訓練樣本，其余樣本則為測試集。

（5） 設置MRSHTM模型中的參數，利用訓練樣本集的三階張量故障特征對OVR?MRSHTM模型進行訓練，得到決策函數。

（6） 利用決策函數對測試樣本集的三階張量故障特征進行自動識別，最終得到行星齒輪箱故障診斷結果。

為了驗證所提流形正則化支持高階張量機在行星齒輪箱半監督故障診斷中的有效性，本文選用無錫厚德自動化儀表公司提供的型號為HD?CL?012X的行星齒輪箱綜合故障模擬實驗臺。該實驗臺主要由3 kW三相感應電機、電機變頻器、聯軸器、行星故障模擬齒輪箱、磁粉制動器、加載控制器、數據采集系統等部分組成，其實景圖如圖2所示。實驗中，將型號為PCB356B21的三軸加速度傳感器布置在行星齒輪箱正上方位置（如圖3所示），采樣頻率設置為12000 Hz。利用電火花技術分別在太陽輪齒輪、行星輪齒輪以及齒輪外圈上模擬了齒根裂紋故障，故障齒輪如圖4所示。在此設置工況環境：負載為0，轉速為1200 r/min。對于每類故障齒輪，將采集的振動數據不重疊劃分為100個樣本，每個樣本尺寸為3×2048，其他樣本信息如表1所示。

根據第3節所述的智能故障診斷流程，首先利用層次多尺度排列熵（HMPE）對三軸加速度傳感器采集的多通道振動信號進行特征提取，從而構造得到“層次×尺度×通道”形式的三階張量故障特征。在HMPE中，具體參數設置如下：層次數為4，尺度因子為16，嵌入維數為4。利用T分布隨機近鄰嵌入（T?distribution stochastic embedding，T?SNE）將所提取的張量故障特征可視化到二維平面中，如圖5所示。由圖5可知，所提三階張量故障特征具有良好的同類聚集性和異類可分性。然后，從每個齒輪箱故障類型100個樣本中隨機選擇5個樣本作為有標簽訓練樣本，再選擇45個樣本作為無標簽樣本，剩余的50個樣本作為測試樣本。設置半監督學習模型MRSHTM的具體參數如下：CP模型分解因子為2，正則項權重為1，為10³，為1。接著，利用20個有標簽樣本和180個無標簽樣本對所提OVR?MRSHTM半監督分類模型進行訓練，并利用其余的200個樣本對訓練好的OVR?MRSHTM分類模型進行測試。同時，將一對多分類策略引入原始的支持張量機（support tensor machines，STM）中進行對比分析。圖6和7分別給出了MRSHTM半監督模型和STM模型的多分類混淆矩陣。從圖6和7中可以看出，所提MRSHTM模型能夠在少數標簽樣本情況下完全識別測試樣本的故障狀態，而未加入流形正則化的STM模型有1個PG類樣本被錯分為SG類且有9個SG類樣本被錯分為PG類，其故障識別率為95%。為了定量對比所提MRSHTM模型與傳統STM模型，選取三種常見的評價指標，即精確率P_r、召回率R_c以及F1分數F₁，其具體計算公式如下：

（42）

（43）

（44）

式中，為真正例，為假反例，為假正例。于是，上述混淆矩陣對應的各類故障狀態評價指標如圖8～10所示。從評價指標來看，所提MRSHTM模型能夠很好地識別齒輪箱各故障狀態，而傳統STM模型對于標簽為NORM類和GR類的故障識別效果明顯差于MRSHTM模型。

為了驗證所提算法的優越性，引入其他幾種相關的半監督分類模型，如半監督Tucker嶺回歸（semi?supervised tucker ridge regression， STuRR）、流形正則化支持向量機（manifold regularized support vector machines，MRSVM）進行比較分析。同樣，從每個齒輪箱故障類型樣本中隨機選擇5個樣本作為有標簽訓練樣本，再選擇45個樣本作為無標簽樣本，剩余的50個樣本作為測試樣本。為了避免隨機選擇偶然性的影響，MRSHTM、STuRR、STM和MRSVM這四種分類模型均進行6次重復實驗，故障識別結果如圖11所示。從多次重復實驗結果來看，所提MRSHTM模型均具有最高的故障識別率。為了進一步量化各比較算法的識別性能，給出上述重復試驗識別結果的相關統計指標（最大值、最小值、平均值以及標準差）如表2所示。從表2中可以看出，所提的MRSHTM模型具有最高的平均識別率，且標準差最低。這表明所提算法在齒輪箱半監督故障診斷中不僅識別效果最好，且在穩定性方面也強于其他比較算法。STM模型的識別效果差于所提算法，且穩定性最差，主要原因在于STM模型僅利用少數標簽樣本而無法利用大量無標簽訓練樣本確定決策邊界。相比MRSVM模型，MRSHTM模型能夠充分利用張量特征的內在結果信息，更好地描述張量數據中的復雜流形結構。

為了評估不同標簽樣本比對所提算法的影響，將標簽樣本比（標簽樣本數/總訓練樣本數）分別設置為1/50、10/50、20/50、30/50、40/50和50/50。即從每個齒輪箱故障類型樣本中隨機選擇50個樣本作為訓練樣本，其余的50個樣本作為測試樣本。其中，根據不同的標簽樣本比，將訓練樣本集劃分為有標簽訓練樣本集和無標簽訓練樣本集。為了避免隨機選擇偶然性的影響，各比較算法在不同的標簽樣本比下均重復10次實驗。圖12給出了不同標簽樣本比下各分類器的平均識別率。從圖12中可以看出，在標簽樣本比極低（2%）的情況下，所提MRSHTM模型的平均故障識別率接近98%，其識別效果明顯好于其他比較算法。隨著標簽樣本比的增長，各比較算法的故障識別效果也隨之增長。具體地，在標簽樣本比超過40%時，各比較算法的故障識別率均接近100%。

4 結" 論

針對張量空間中少標簽樣本下行星齒輪箱智能故障診斷問題，提出了一種半監督張量學習模型，即流形正則化支持高階張量機（MRSHTM）。給出主要結論如下：

（1） 在所提的MRSHTM模型中，引入了CP分解挖掘張量數據中的內在結構信息，并定義了張量逆多元二次核函數（Tensor?IMKF），從而構建得到圖拉普拉斯算子，可更好地描述張量數據之間的流形結構。

（2） 所提的MRSHTM模型基于流形假設，利用圖拉普拉斯算子建立少數標簽樣本和大量無標簽樣本之間的聯系以實現標簽信息傳遞，從而充分利用大量無標簽樣本輔助模型訓練，有效提升了少標簽樣本下的故障識別率。

（3） 利用實驗室行星齒輪箱故障數據對所提算法進行了驗證，結果表明所提算法在少標簽樣本下仍能實現對行星齒輪箱故障的有效診斷。

參考文獻：

［1］""""""" WEI S， WANG D， PENG Z K， et al. Variational nonlinear component decomposition for fault diagnosis of planetary gearboxes under variable speed conditions［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2022， 162： 108016.

［2］""""""" HILBERT M， SMITH W A， RANDALL R B. The effect of signal propagation delay on the measured vibration in planetary gearboxes［J］. Journal of Dynamics， Monitoring and Diagnostics， 2022， 1（1）： 9-18.

［3］""""""" 雷亞國， 湯偉， 孔德同， 等. 基于傳動機理分析的行星齒輪箱振動信號仿真及其故障診斷［J］. 機械工程學報， 2014， 50（17）： 61-68.

LEI Y G， TANG W， KONG D T，et al. Vibration signal simulation and fault diagnosis of planetary gearboxes based on transmission mechanism analysis［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2014， 50（17）： 61-68.

［4］""""""" 周濟. 智能制造——“中國制造2025”的主攻方向［J］. 中國機械工程， 2015， 26（17）： 2273-2284.

ZHOU J. Intelligent manufacturing——main direction of “made in China 2025”［J］. China Mechanical Engineering， 2015， 26（17）： 2273-2284.

［5］""""""" 雷亞國， 賈峰， 孔德同， 等. 大數據下機械智能故障診斷的機遇與挑戰［J］. 機械工程學報， 2018， 54（5）：94-104.

LEI Y G， JIA F， KONG D T， et al. Opportunities and challenges of machinery intelligent fault diagnosis in big data era［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2018， 54（5）： 94-104.

［6］""""""" 胡蔦慶， 陳徽鵬， 程哲， 等. 基于經驗模態分解和深度卷積神經網絡的行星齒輪箱故障診斷方法［J］. 機械工程學報， 2019， 55（7）： 9-18.

HU N Q， CHEN H P， CHENG Z， et al. Fault diagnosis for planetary gearbox based on EMD and deep convolutional neural networks［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2019， 55（7）： 9-18.

［7］""""""" 熊鵬， 湯寶平， 鄧蕾， 等. 基于動態加權密集連接卷積網絡的變轉速行星齒輪箱故障診斷［J］. 機械工程學報， 2019， 55（7）： 52-57.

XIONG P， TANG B P， DENG L， et al. Fault diagnosis for planetary gearbox by dynamically weighted densely connected convolutional networks［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2019， 55（7）： 52-57.

［8］""""""" 王輝， 徐佳文， 嚴如強. 基于多尺度注意力深度強化學習網絡的行星齒輪箱智能診斷方法［J］. 機械工程學報， 2022， 58（11）： 133-142.

WANG H， XU J W， YAN R Q. Multi-scale attention based deep reinforcement learning for intelligent fault diagnosis of planetary gearbox［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2022， 58（11）： 133-142.

［9］""""""" SHI J C， PENG D K， PENG Z X， et al. Planetary gearbox fault diagnosis using bidirectional-convolutional LSTM networks［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2022， 162： 107996.

［10］""""" ZHAO D Z， CUI L L， CHU F L. Synchro-reassigning scaling Chirplet transform for planetary gearbox fault diagnosis［J］. IEEE Sensors Journal， 2022， 22（15）： 15248-15257.

［11］""""" 張鑫， 郭順生， 李益兵， 等. 基于拉普拉斯特征映射和深度置信網絡的半監督故障識別［J］. 機械工程學報， 2020， 56（1）： 69-81.

ZHANG X， GUO S S， LI Y B， et al. Semi-supervised fault identification based on Laplacian eigenmap and deep belief networks［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2020， 56（1）： 69-81.

［12］""""" 韓特， 李彥夫， 雷亞國， 等. 融合圖標簽傳播和判別特征增強的工業機器人關鍵部件半監督故障診斷方法［J］. 機械工程學報，2022，58（17）： 116-124.

HAN T， LI Y F， LEI Y G， et al， Semi-supervised fault diagnosis method via graph label propagation and discriminative feature enhancement for critical components of industrial robot［J］. Journal of Mechanical Engineering，2022，58（17）： 116-124.

［13］""""" ZHOU K， DIEHL E， TANG J. Deep convolutional generative adversarial network with semi-supervised learning enabled physics elucidation for extended gear fault diagnosis under data limitations［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2023， 185： 109772.

［14］""""" ZHANG X L， SU Z Q， HU X L， et al. Semisupervised momentum prototype network for gearbox fault diagnosis under limited labeled samples［J］. IEEE Transactions on Industrial Informatics， 2022，18（9）： 6203-6213.

［15］""""" 趙春暉， 余萬科， 高福榮. 非平穩間歇過程數據解析與狀態監控——回顧與展望［J］. 自動化學報， 2020， 46（10）： 2072-2091.

ZHAO C H， YU W K， GAO F R. Data analytics and condition monitoring methods for nonstationary batch processes — current status and future［J］. Acta Automatica Sinica， 2020， 46（10）： 2072-2091.

［16］""""" SIDIROPOULOS N D， DE LATHAUWER L， FU X， et al. Tensor decomposition for signal processing and machine learning［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 2017， 65（13）： 3551-3582.

［17］""""" LI X， YANG Y， SHAO H D， et al. Symplectic weighted sparse support matrix machine for gear fault diagnosis［J］. Measurement， 2021， 168： 108392.

［18］""""" 葛江華， 劉奇， 王亞萍， 等. 支持張量機與KNN-AMDM決策融合的齒輪箱故障診斷方法［J］. 振動工程學報， 2018， 31（6）： 1093-1101.

GE J H， LIU Q， WANG Y P， et al. Fault diagnosis method of gearbox supporting tension machine and KNN-AMDM decision fusion［J］. Journal of Vibration Engineering， 2018， 31（6）： 1093-1101.

［19］""""" HE Z Y， SHAO H D， CHENG J S， et al. Support tensor machine with dynamic penalty factors and its application to the fault diagnosis of rotating machinery with unbalanced data［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2020， 141： 106441.

［20］""""" BELKIN M， NIYOGI P， SINDHWANI V. Manifold regularization： a geometric framework for learning from labeled and unlabeled examples［J］. Journal of Machine Learning Research， 2006， 7（1）： 2399-2434.

［21］""""" LI Z R， KANG Y， FENG D Y， et al. Semi-supervised learning for lithology identification using Laplacian support vector machine［J］. Journal of Petroleum Science and Engineering， 2020， 195： 107510.

［22］""""" HAO Z F， HE L F， CHEN B Q， et al. A linear support higher-order tensor machine for classification［J］. IEEE Transactions on Image Processing， 2013， 22（7）： 2911-2920.

［23］""""" GOULART J H M， BOIZARD M， BOYER R， et al. Tensor CP decomposition with structured factor matrices： Algorithms and performance［J］. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing， 2016， 10（4）： 757-769.

［24］""""" DING S F， ZHAO X Y， ZHANG J， et al. A review on multi-class TWSVM［J］. Artificial Intelligence Review， 2019， 52（2）： 775-801.

［25］""""" YANG C， JIA M P. Hierarchical multiscale permutation entropy-based feature extraction and fuzzy support tensor machine with pinball loss for bearing fault identification［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2021， 149： 107182.

［26］""""" BANDT C， POMPE B. Permutation entropy： a natural complexity measure for time series［J］. Physical Review Letters， 2002， 88（17）： 174102.

第一作者："楊" 誠（1993―），男，博士后。E-mail：yangcheng23@sjtu.edu.cn

通信作者："彭志科（1974―），男，博士，教授。E-mail：z.peng@sjtu.edu.cn

基金項目："國家自然科學基金創新研究群體項目（12121002）；國家自然科學基金資助項目（52075095）；“兩機”重大專項基礎研究項目（J2019-IV-0018-0086）；中國博士后面上基金資助項目（2023M742254）