基于遞歸本征正交分解與強跟蹤擴展卡爾曼濾波的結構損傷識別

摘要： 針對目前已有損傷識別方法難以實時跟蹤結構損傷且計算量大的問題，提出了一種基于遞歸本征正交分解（recursive proper orthogonal decomposition， RPOD）與強跟蹤擴展卡爾曼濾波（strong tracking extended Kalman filter， STEKF）相結合的模型降階與結構損傷在線識別方法，對動載荷作用下的結構損傷識別進行了研究。利用RPOD方法在線更新并實時建立反映結構狀態的降階模型，解決未知載荷作用下多自由度結構動力分析計算量大且難以收斂的問題，同時跟蹤損傷的演化并對其進行定位；通過STEKF方法跟蹤降階模型的狀態向量，識別因損傷而退化的降階模型參數。分別采用六層剪切型框架的數值模擬與三層鋼框架的模型試驗驗證了該方法的可行性，結果表明，所提出的方法能夠準確建立降階模型并跟蹤降階模型參數的時變歷程，同時可以有效地識別出剪切型建筑結構損傷的位置和程度，即使在處理高程度噪聲時仍有較高的精度。

關鍵詞： 損傷識別； 模型降階； 遞歸本征正交分解； 強跟蹤擴展卡爾曼濾波； 數據驅動

中圖分類號： TU3111.3； TB122""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）01-0117-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.01.013

Structural damage identification based on recursive proper orthogonal decomposition and strong tracking extended Kalman filtering

Yang Shaochong^1，2， Yao Yuan^1，2， Liu Jialiang^1，2， Lei Zhen^1，2， Fang Youliang^1，2

（1.College of Civil Engineering and Architecture， Hebei University， Baoding 071002， China；2.Technology Innovation Center for Testing and Evaluation in Civil Engineering of Hebei Province， Baoding 071002， China）

Abstract： Aiming at the problem that the existing damage identification methods are difficult to track the structural damage in real time and require a large amount of calculation， a model order reduction and online damage identification method based on the combination of recursive proper orthogonal decomposition （RPOD） and strong tracking extended Kalman filter （STEKF） is proposed. The structural damage identification under dynamic load is studied. The RPOD method is used to update online and construct the reduced-order model reflecting the structure state in real time， which solves the problem of large calculation and difficult convergence of dynamic analysis of multi-degree of freedom structures under unknown loads. Meanwhile， the evolution of damage is tracked and located. The STEKF method is used to track the state vector of the reduced-order model and identify the reduced-order model parameters degraded by damage. The feasibility of the proposed method is verified by numerical simulation of a six-story shear frame and model test of a three-story steel frame. The results show that the proposed method can accurately construct the reduced-order model and track the time-varying history of the reduced-order model parameters. Meanwhile， it can effectively identify the location and extent of the damage of the shear building structure， even when dealing with high levels of noise， it retains high accuracy.

Keywords： damage identification；reduced-order modeling；recursive proper orthogonal decomposition （RPOD）；strong tracking extended Kalman filter （STEKF）；data driven

由于各種力學和環境因素的影響，土木工程結構在服役期間易產生不同程度的損傷，損傷的不斷累積會導致結構出現局部破壞或失效。結構健康監測（structural health monitoring， SHM）可以通過各類傳感設備獲取結構響應，實現對結構的長期監測^［1?2］，其中結構振動損傷識別技術是SHM領域的重要研究方向之一，近年來也取得了豐富的成果^［3?5］。然而，實際工程結構往往維數較高，目前的損傷識別方法在求解時計算量會成倍增加，難以實時、快速地對損傷進行識別，從已有文獻看，用于土木工程領域的在線損傷識別方法有著較大的進步空間。

目前的損傷識別方法大多以檢測結構的力學性能為主要目標，而結構力學性能的降低往往被認為是系統中某一參數因損傷的出現而發生退化的結果^［6］，因此對結構損傷的檢測可以看作是系統參數識別問題。針對目前參數識別問題中建模和數據測量的不確定性，通常采用卡爾曼濾波（Kalman filter， KF）對結構的物理參數進行在線估計。KF是一類以最小均方差為準則的狀態最優估計法，根據實時響應信號對識別結果進行修正，能夠對系統下一步走向做出有根據的預測。雷鷹等^［7］將KF與子結構、最小二乘法相結合，對未知載荷作用下結構的參數進行了識別；張肖雄等^［8］針對有限觀測信息下的參數識別問題，將KF與遞推最小二乘法（RLSE）相結合，實現了對系統響應的有效估計。為了提高識別過程的穩定性與準確性，不少學者開始采用擴展卡爾曼濾波（extended Kalman filter， EKF）對結構參數進行識別。雷鷹等^［9］針對框架結構梁柱單元的損傷問題，將EKF與靜力凝聚算法相結合，成功識別出節點損傷的位置和程度。PAN等^［10］提出了載荷未知情況下的EKF方法，優先對已知載荷位置的響應進行識別，在此基礎上進一步識別未知載荷處的響應。YANG等^［11］對EKF進行擴展，提出自適應EKF法，將自適應矩陣引入狀態誤差協方差矩陣中，以跟蹤時變參數。但利用EKF進行求解時，需要將待識別參數擴展到結構的狀態向量中，這會導致計算效率下降，特別是對于大型結構，往往會因維數過高而出現收斂困難、精度降低等問題^［12］。因此，選擇一種合適的降階技術，是將EKF方法應用到土木工程結構損傷識別領域的關鍵。

本征正交分解（proper orthogonal decomposition， POD）是一類高效的模型降階技術^［13］，能在減少模型自由度的同時，僅利用結構響應對其主要特征信息進行提取，保證降階模型具有足夠高的精度。近年來，該方法已被廣泛應用于模型降階問題中^［14］，包括航空航天^［15?16］、計算流體力學^［17］、材料力學^［18］等領域，同時大量研究表明僅利用前兩階本征模態（POMs）便可以跟蹤降階模型的演化^［19?20］，且效果優于傳統降階方法。除在模型降階方面有較高的效率和精度外，基于POD方法得到的POMs，可以用于表征結構損傷的位置和程度，GALVANETTO等利用該方法對簡支梁分別進行了數值模擬^［21］和模型試驗^［22］，僅利用響應數據成功識別出了損傷的程度和位置。WANG等^［23］將POD與粒子群優化算法（PSO）相結合，有效地識別出了剪切型建筑物不同程度的損傷。然而，傳統POD方法在計算時需要獲取一段時間的響應數據來構造快照矩陣，特別是高維結構，需要大量的內存和運算步驟，因此許多學者開始研究在線POD（online POD）識別損傷。AZAM等^［24］利用POD和遞歸貝葉斯濾波對結構進行在線損傷識別研究；LU等^［25］對在線POD領域的部分研究進行了整理和總結，闡明了此類方法在損傷識別領域具有較為廣闊的發展前景。

本文發展了一種基于遞歸本征正交分解（recursive proper orthogonal decomposition， RPOD）與強跟蹤擴展卡爾曼濾波（strong tracking extended Kalman filter， STEKF）相結合的雙重識別方法，對動載荷作用下的結構損傷識別與模型降階方法進行研究。針對多自由度結構動力分析計算量大且難以求解的問題，利用結構的實時響應構造快照矩陣，通過POD方法提取矩陣中的特征信息，減少結構模型的自由度，構建能夠關聯能量最優的降階模型；針對損傷演化情況下降階模型的更新問題，利用KF在線更新POMs，發展RPOD方法精確跟蹤結構動態性能的降階模型；為實現在線實時跟蹤損傷的演化，識別因損傷導致突變的參數，擬引入時變的遺忘因子，發展STEKF方法對降階模型物理參數進行識別。

1 基于本征正交分解的動態模型降階

POD是一類基于動態響應數據驅動的模型降階方法，根據系統動力響應構造快照矩陣，選擇一組最能夠表征系統特征的POM，以獲取結構的主要特征。

當結構受到外部載荷的影響時，其動力響應可用以下運動方程來描述：

（1）

式中，為質量矩陣；為阻尼矩陣；為剛度矩陣；分別為結構位移、速度和加速度響應向量；為隨時間變化的外載荷向量。

利用POD方法進行模型降階時，考慮位移響應向量，其中，為實數的集合，為的維數。對于線性系統，可以表示為如下形式：

（2）

式中，為模態坐標下的位移響應，排列在列向量中；（）為一組標準正交基，稱為POMs；為坐標轉換矩陣，由所選取的正交基組成，表示為：

（3）

通常，我們僅需要保留前幾階POMs，就可以跟蹤系統的演化，可將式（2）簡化為：

（4）

在式（4）中，考慮（對于大型結構，）。為收集了矩陣前列（即前階基底）的矩陣，收集了列向量的前個分量，需要在保證降階模型精度的前提下保留合適的POMs數量。

首先，需要為向量提供一個子空間，計算個時刻的位移，并將其收集到快照矩陣中：

（5）

對快照矩陣進行奇異值分解，可以得到：

（6）

式中，和分別為和的正交矩陣；為一個的矩陣，其主對角線上的元素稱為矩陣的奇異值。

快照矩陣的左奇異向量收集了結構的全部POMs，同時大量研究表明，第個奇異值的平方表示其對應的最大值，即POMs的能量最大值，可通過下式選擇滿足精度要求的POM數量：

（7）

式中，為精度，當滿足時，前階POMs可以表示原始系統的大部分特征。以式（7）作為準則，選取此時的值作為保留的POM階數，并將左奇異矩陣的前階列向量組成降階POMs。

當利用POD方法獲取了所需的最優POMs，位移矢量便可以通過來近似。矩陣是位置向量的函數，同時定義了結構POMs的形狀，而矩陣定義了結構響應隨時間的演化：

（8）

因此，式（1）可近似為：

（9）

將式（9）兩端左乘，得到降階模型的運動方程為：

（10）

或將其等價為：

（11）

式中，為模態質量矩陣；為模態阻尼矩陣；為模態剛度矩陣；為模態外載荷矩陣。

一旦得到模態坐標下式（11）的解，便可利用式（8）將結構在模態坐標下的位移變換到物理坐標下，得到物理坐標下的位移響應。

對于線彈性結構，一階POM可以用于表示結構的主要特征并保證降階模型有足夠的精度，同時可以準確地對結構損傷進行識別。本文采用一階POM構建降階模型，能夠反映結構的損傷情況并減少計算量。

2 基于RPOD?STEKF的結構損傷雙重識別方法

當結構出現損傷時，對于POD方法構建的降階模型，具體表現為POMs發生變化。為了保證狀態估計能夠實時反映結構的損傷，本文基于響應數據，利用RPOD方法對POMs進行在線更新，追蹤POMs的演化過程。

具體分析步驟為：首先將式（3）所保留的POMs以向量的形式排列如下：

（12）

式中，表示POMs可以隨時間改變；為POM的階數；為時間步。

考慮到因損傷導致的系統演化，將POMs的演化表示為：

（13）

式中，為零均值的高斯白噪聲，上標“”表示POMs更新時的各項參數，需要對其時不變協方差進行調整，以獲得POMs和其余待識別模型參數的準確估計。

與傳統KF算法相同，式（13）需要一個觀測方程來補充，并根據測量值對POMs進行更新，設置觀測方程：

（14）

式中，為將POMs和觀測方程聯系起來的轉換矩陣；為觀測噪聲。

此時，式（13）和（14）構成了POMs演化的狀態空間方程。因狀態向量呈線性變化，僅需采用KF方法對POMs進行遞歸更新，在計算前需要定義POMs的初值及其初始協方差。

每一步預測開始前假定POM初值，由于在預測前并不知道結構是否會發生損傷，因此假定POM的初值保持不變，與上一步的預測結果一致。然后進入預測階段：

（15）

（16）

式中，表示POMs的狀態預測誤差協方差矩陣。

對卡爾曼增益進行計算：

（17）

式中，表示POM更新時的狀態轉換矩陣。

對POMs進行更新并對其濾波誤差協方差矩陣進行求解：

（18）

（19）

式中，為更新后的狀態估計值；為濾波（后驗）誤差協方差矩陣。

通過對上述公式迭代求解，便可以對結構的POMs進行在線更新，實時構建降階模型的同時達到識別損傷的目的。

接下來對降階模型的剛度參數進行識別：本文發展的STEKF方法是在傳統EKF方法中引入時變的遺忘因子，以增強濾波過程中新信息的占比。首先需要對降階模型的狀態進行定義，與全階模型相似，降階模型的狀態方程和觀測方程可以分別定義為：

（20）

（21）

式中，上標“”表示降階模型更新時的各類參數；為降階模型的狀態向量，可以表示為：

（22）

式中，為降階模型位移向量；為系統的狀態轉移矩陣；和分別為降階模型的系統噪聲和觀測噪聲；為觀測轉移矩陣；為轉換矩陣，用以將實際測量結果轉換到降階模型中：

（23）

為解決結構參數的識別問題，將降階模型的狀態和待識別參數統一到降階模型的狀態向量中，并將其表示為：

（24）

式中，表示待識別參數（如剛度、阻尼等）。

此時，利用STEKF表示的狀態方程及其觀測方程的表達式分別為：

（25）

（26）

由于狀態向量中補充了待識別參數，式（23）轉換為，用以將觀測結果與擴展狀態向量相轉換。

定義初始狀態及其協方差，之后進入預測階段。首先利用STEKF方法對狀態進行預測：

（27）

（28）

式中，為的雅可比矩陣，表示狀態轉移矩陣；表示狀態預測的誤差協方差矩陣；為時變的遺忘因子，可以實時對卡爾曼增益的值進行調整，保證濾波對突變參數的跟蹤能力。

接下來進入更新階段，計算卡爾曼增益：

（29）

對狀態空間進行更新并求其濾波誤差協方差矩陣：

（30）

（31）

式中，為更新后的狀態估計值；為濾波（后驗）誤差協方差矩陣。

具體技術路線如圖1所示，基于響應數據組成快照矩陣并提取其特征，利用RPOD算法跟蹤POM的演化過程，實現對損傷的準確定位，并構建反映結構實時狀況的降階模型；同時利用STEKF算法識別降階模型剛度參數突變的時間及大小。

3 數值模擬

3.1 仿真模型

為了驗證該方法的可行性，考慮受地震載荷作用的六層剪切型框架，如圖2所示。各層質量為：；層間剛度分別為：，，；層間阻尼分別為：，，。地震動選擇El?Centro波，作用于框架底部，峰值加速度，采樣時間間隔為，地震載荷作用時間為55 s。將利用法計算得到的位移響應作為觀測值，同時為了驗證該方法在高水平噪聲影響下的有效性，在位移響應中加入了15%的高斯噪聲，利用位移響應構造快照矩陣，對其進行POD分解以得到未損傷結構的POMs。

本節通過層間剛度減小來模擬損傷，即，其中，表示損傷程度，表示層數。首先驗證降階模型的準確性：將全階模型的位移響應與POM構成的降階模型的位移響應進行對比，結果如圖3所示，降階模型和全階模型的位移響應一致，說明利用訓練所得POM可以準確構建降階模型。

接下來驗證降階模型對剛度參數改變的敏感程度，考慮降階模型的剛度改變，如圖4所示，當發生改變時，降階模型的位移響應會發生一定程度的變化，說明當降階模型剛度參數發生改變時，可以通過響應的改變達到損傷識別的目的，即使是微小的損傷，也能作出反應。

3.2 損傷識別結果分析

利用所發展的RPOD?STEKF方法對結構損傷進行識別，在進行濾波前需要對POM的初始參數進行設置，初始協方差矩陣，系統噪聲協方差矩陣，觀測噪聲協方差矩陣。

模型選用圖2所示的剪切型框架模型，首先考慮單損傷工況，所設置的損傷類型為層間剛度逐級遞減：第一級損傷出現時間設置在第8 s，損傷程度為20%，隨著時間的推進以及載荷的持續施加，結構可能會發生進一步損傷，設置第二級損傷出現在第24 s，損傷程度為50%，兩次損傷位置均位于第三層和第四層之間，利用RPOD方法對POM進行更新，更新結果如圖5所示。

圖5（a）為高噪聲情況下RPOD方法更新得到的損傷與未損傷結構的POM時間演化圖，圖中紅色線代表損傷結構的一階POM，黑色線代表未損傷結構的一階POM，可以看出圖像前3 s紅色線波動較大，這說明在該算法的初始階段，噪聲影響較大，但隨著算法的推進，圖像逐漸收斂到穩定值，之后在第10 s左右，圖像在損傷位置處發生變化。當第二級損傷出現時（第24 s），由于損傷程度的增加，損傷結構的一階POM圖像會在損傷位置出現第二次變化，有效跟蹤損傷隨時間的演化過程，為了更直觀地看到損傷識別結果，圖5（b）和（c）分別為圖像穩定時各級損傷的POM，可見隨著損傷程度的增加，圖像在損傷位置處的突變量明顯增加，說明該方法可以很好地對不同程度的損傷進行識別。

接下來通過訓練得到的POM構造隨時間變化的降階模型，并利用STEKF方法對降階模型的剛度進行識別。首先需要對算法的初始參數進行設置：初始協方差矩陣，系統噪聲協方差矩陣，觀測噪聲協方差矩陣，識別結果如圖6所示。在濾波的初始階段，識別過程會產生較大程度的波動，但會迅速達到穩定，準確地對不同損傷時刻的進行識別，說明當模型出現逐級不同程度的損傷時，利用STEKF方法可以準確地跟蹤的時變歷程。

針對多位置損傷工況進行分析，設置第8 s出現損傷，損傷位于第二層和第五層，損傷程度為50%，在結構響應中加入15%的高斯白噪聲，利用RPOD算法對其進行識別，結果如圖7所示。當出現多處位置損傷時，POM的時間演化曲線會在出現損傷時快速作出改變，代表損傷POM的紅色曲線會在損傷位置處發生呈下降趨勢的突變，由此可以準確識別出結構的損傷。

圖8為多損工況下對降階模型的識別結果，可見STEKF方法能夠實現對的準確跟蹤，同時證明了本方法得到的POM能夠實時構建反映結構狀態的降階模型。

4 鋼框架模型試驗驗證

為進一步驗證本方法基于實測數據進行損傷識別的有效性，開展了模型試驗。

4.1 模型簡介

如圖9所示，制作的試驗模型為三層鋼框架，樓板尺寸為289 mm×289 mm，厚度均為10 mm；立柱尺寸為12 mm×40 mm，一、二、三層柱高分別為240、195、195 mm，材料選用牌號為Q235的鋼，彈性模量為210 MPa，泊松比為0.273。樓板與立柱連接處通過焊接實現剛性連接，框架結構底部通過螺栓與振動臺固定。本試驗測點布置在每層樓板的一側，共布置4個測點，將框架底部的測點作為基準點。

4.2 損傷工況

本試驗對三種不同的損傷工況進行了研究，圖10（a）～（c）分別為各損傷工況示意圖。如圖10（d）所示，損傷的引入通過柱子局部開口來實現，各損傷工況設置如表1所示。

如圖9（a）和（d）所示，利用DY?300?3型振動臺施加隨機載荷，采用多點視頻動態位移測試系統獲取無損和有損工況下結構的位移響應信號，對于工況1和3而言，0～25 s是無損工況響應信號，25～60 s是損傷工況響應信號；對于工況2而言，25～45 s是第一級損傷工況響應信號，45～60 s是第二級損傷工況響應信號。

4.3 實測信號識別結果

利用本方法對每種工況的損傷進行識別，各工況的識別結果如圖11～13所示。

結果表明，本方法可以通過模型試驗實測響應數據有效識別框架結構單點和多點的損傷，當代表損傷POM的紅色曲線在損傷位置處發生呈下降趨勢的突變時，便可快速、準確地對損傷進行定位。相比數值模擬的結果，濾波前期波動較大，但也會在2 s內達到穩定，當出現損傷時（25 s），會快速訓練出損傷演化的過程，并在損傷位置出現突變。

圖12表示對逐級損傷的分析結果，由圖12（a）可見，POM演化圖像會在各級損傷出現后產生明顯的變化，說明本方法可對損傷后的響應信號快速作出反應，圖12（b）為圖像穩定時各級損傷的POM，說明本方法可以對不同程度的損傷進行準確識別。

如圖13所示，紅色曲線在一層突變量大于在三層突變的量級，即在一、三層損傷程度相同的情況下，一層損傷的識別效果明顯。

5 結 論

本文發展了基于RPOD與STEKF相結合的雙重損傷識別方法，對動力學降階模型及參數的實時跟蹤問題進行了深入研究，該方法可以在計算過程中有效減少計算量，實現在線實時健康監測，在結構出現損傷時作出快速準確地診斷，對推動結構損傷識別實用化發展具有重要意義。主要得到以下結論：

（1）針對降階模型實時更新問題，發展了RPOD方法，通過時變響應動態跟蹤反映結構損傷演化的一階POM，對降階模型進行在線更新。通過數值分析和模型試驗驗證了該方法的準確性，所獲取的一階POM可以動態跟蹤損傷的演化并對其進行定位。

（2）針對降階模型參數識別問題，為解決傳統EKF方法難以對時變參數進行識別的問題，在算法中引入了時變的遺忘因子，增大了新的響應數據在計算過程中的占比，保證濾波可以準確跟蹤降階模型的參數變化。研究結果表明，所發展的STEKF方法可以對降階模型剛度參數突變的時間以及大小進行準確識別。

（3）本方法僅基于環境激勵獲取的動響應信號特征進行損傷識別，有效解決了外部載荷未知情況下實際工程的健康監測問題。

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第一作者： 楊少沖（1979―），男，博士，副教授。E-mail：yangshaochong@hbu.edu.cn

通信作者： 方有亮（1967―），男，博士，教授。E-mail：fang_youliang@126.com

基金項目："國家自然科學基金資助項目（12172117）