主動變位索網結構體系索力識別方法及FAST工程應用

摘要： 為準確識別FAST索網結構體系的拉索索力，本文提出了一種可變彈性邊界支承的拉索索力識別方法。建立了拉索等效單自由度模型，推導了理想鉸接與彈性邊界支承下拉索頻率間的數學表達式，通過拉索中點、兩端點的第一階振型值對第一階頻率進行修正，進而提出了基于弦振動理論的主動變位索網結構體系索力識別方法；對單根拉索開展數值仿真，驗證了所提方法的準確性，并開展了參數分析；通過數值仿真及現場實測對FAST索網結構進行索力識別，證明了方法的可行性和工程適用性。結果表明：數值仿真的索力識別相對誤差在1%以內，現場實測的索力識別相對誤差小于5%。該方法考慮了拉索的復雜邊界條件，可避免求解未知邊界約束剛度，拓展了傳統弦振動理論的工程適用性。

關鍵詞： 主動變位索網結構體系； 可變彈性邊界支承； 等效單自由度體系； 索力識別； 頻率修正

中圖分類號： TU394""" 文獻標志碼： A""""" 文章編號： 1004-4523（2025）01-0135-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.01.015

Cable force identification method of active shape?changing cable?net system and its application in FAST engineering

FU Xing¹， SUN Siyuan¹， LI Hongnan¹， LI Qingwei^2，3， LI Hui^2，3， REN Liang¹

（1.School of Infrastructure Engineering， Dalian University of Technology， Dalian 116024， China；2.National Astronomical Observatories， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100101， China；3.Key Laboratory of FAST， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100101， China）

Abstract： The cable?net structural system of FAST is a flexible tension cable net， consisting of a main cable net， several hydraulic actuators and controllers， which is the world’s largest span， the highest precision， and the first active shape?changing cable?net system. Its characteristic is that the cable net form can be adjusted according to requirements， but it also results in the cable boundary conditions constantly changing with the cable net form， which brings huge challenges to cable force identification. In order to accurately identify cable forces of the active shape?changing cable?net system， a method for identifying cable forces of variable elastic boundary supports is proposed. An equivalent single?degree?of?freedom model of the cable is established， and the mathematical expressions of the cable frequencies between ideal hinge and elastic boundary support are derived. The first?order frequency is then corrected based on the first?order mode values at the mid?point and both ends of the cable. The cable force identification method of the active shape?changing cable?net system which is based on the string vibration theory is proposed. Numerical simulations are carried out to verify the accuracy of the proposed method， and parametric analyses are also conducted. The method is proved to be practicable and applicable through numerical simulations and field measurements to identify the cable force of the FAST cable net. The results show that the relative errors of cable force identification are within 1% in the numerical simulation and less than 5% in the field measurement. The method takes into account the complex boundary conditions of cables， avoids solving for unknown boundary constraint stiffnesses， and extends the engineering applicability of the traditional string vibration theory.

Keywords： active shape?changing cable?net system；variable elastic boundary support；equivalent single?degree?of?freedom system；cable force identification；frequency modification

索網結構具有自重輕、經濟性好、易造型等優點，從而被廣泛應用于大跨空間結構^［1］。500 m口徑球面射電望遠鏡（Five?hundred?meter Aperture Spherical radio Telescope，FAST）是世界上最大的單口徑射電望遠鏡，其反射面采用柔性索網結構體系建造而成。FAST索網結構體系是由主索網、液壓促動器、控制器等組成的一種柔性張力索網，是世界上跨度最大、精度最高、第一個采用主動變位工作方式的索網結構體系。反射面形狀會根據天體的目標位置實時主動調節，并在觀測方向上形成300 m直徑的瞬時拋物面，進而實現對未知星體的跟蹤觀測^［2］。FAST索網結構體系的特點是索網形態可根據需要進行調整，但也導致拉索邊界條件隨索網形態不斷變化，給索力識別帶來極大挑戰。由于上述功能需求，支撐望遠鏡的柔性索網結構常常處在持續往復的運動狀態下，且大部分索內應力處于較高水平，拉索易產生松弛、疲勞等現象。因此，準確識別FAST拉索索力對整體索網結構的狀態控制、安全評估等具有重要意義。

目前，國內外實際工程中主要采用液壓千斤頂法（油壓表法）、壓力傳感器法、磁通量法、振動法等測量拉索索力^［3］，前三種索力測量方法僅適用于結構施工階段，在工程應用中受到較大限制；而振動法在結構施工或建成后均可采用，具有儀器安裝簡單、便于攜帶、可重復使用、能實現在線監測等優點，應用非常廣泛。振動法識別索力的關鍵在于準確識別拉索頻率和確定頻率與索力的關系，現有的模態參數識別方法^［4?6］完全可以滿足頻率識別的精度要求。因此，振動法測量索力主要取決于如何精準地確定頻率與索力的關系。此關系在兩端鉸接的理想條件下可按照弦振動或梁振動理論推導，但是在實際工程中，拉索的邊界條件通常不是理想鉸接，而是介于固接與鉸接之間，甚至可能是更加復雜且約束剛度未知的彈性邊界條件，導致無法得出拉索頻率與索力的顯式關系。

針對這一問題，許多學者進行了大量研究工作。黃僑等^［7］考慮拉索端部減振裝置彈簧剛度對邊界條件的影響，基于弦振動理論提出了二次等效索長修正公式，結合有限元軟件ANSYS開展的數值模擬及斜拉橋實測，驗證了此方法的正確性和適用性。何偉等^［8］在彈性支承、減振裝置、附加質量等復雜邊界條件下推導了索力與振動頻率的隱式解析表達式，給出了拉索參數和邊界條件參數的確定方法，采用鄭州黃河二橋工程實例驗證了計算公式的準確性。LI等^［9］根據梁振動理論提出了一種短粗索拉力計算方法，考慮了彎曲剛度的影響，取有效振動長度代替原始索長求解索力，通過至少5個傳感器實現了索力的動態測量。YAN等^［10］建立了兩端受轉動彈簧約束的拉索模型，通過求解拉索振型零幅點和建立等效節段模型提出了一種計算未知復雜邊界條件下拉索索力的方法。FU等^［11］考慮了拉索垂度和抗彎剛度的影響，提出了基于拉索幾何參數（長度和直徑）的索力計算方法，索力識別相對誤差可以控制在10%以內。

上述學者通過替換拉索長度、引入索長修正系數或邊界修正系數對索力計算公式進行了改進，還有一些學者通過求解拉索振動方程得到超越方程，進而引入無量綱參數對拉索振動方程擬合出索力計算公式。GEIER等^［12］考慮識別拉索的固有頻率、彎曲剛度和邊界條件，采用非對稱模態擬合拉索理想頻率和無量綱彎曲剛度之間的關系，將理想頻率代入弦振動理論公式求解索力，通過現場實測表明索力識別的平均相對誤差在5%左右。REBECCHI等^［13］利用任意階振動頻率和對應的5個振型值提出了一種未知邊界條件下細長梁軸力識別方法，只需已知梁的彎曲剛度和單位質量即可識別未知長度及邊界條件下梁的軸向力。DAN等^［14］對隱式拉索頻率方程進行數值求解，得到頻率與索力的間接計算方法，在此基礎上又進行了經驗誤差修正。李睿等^［15］根據梁運動方程推導出兩端固結拉索的頻率方程，用粒子群算法對此超越方程在多維空間中搜索求解，實現了基于兩階實測頻率的索力識別。LIU等^［16］分析了拉索模態振型特征，基于隨機子空間法和曲線擬合法提出了未知邊界條件與抗彎剛度下短索索力的識別方法。YU^［17］基于多模態頻率提出一種雙頻索力計算公式，無需考慮拉索抗彎剛度，任意選擇兩階模態頻率即可精確計算索力。ZHANG等^［18］選取一段短索計算初始索力，得出考慮垂度、抗彎剛度及邊界條件的拉索索力的解析解，再將初始索力作為已知參數更新整個拉索模型，從而計算拉索拉力。XU等^［19］采用高效遞歸的幅度相位估計方法從實時振動信號中提取時變的振動頻率，再對索力和自振頻率的關系進行擬合，最終提出了一種時變索力的智能識別方法。

綜合上述文獻，可以發現現有的研究工作多是對拉索的某一參數修正或者通過隱式方程擬合頻率與索力關系的近似公式。近年來隨著對工程結構特殊功能的迫切需求，從常見的靜態索網結構衍生出了一些主動變位索網結構^［20?21］，其最大特點是采用主動變位的工作方式，但目前識別此類結構索力的常用方法仍以力傳感器、磁通量傳感器、應變法為主，關于采用振動法識別可變彈性邊界拉索索力方面的研究幾乎處于空白階段。因此，本文提出一種考慮可變彈性邊界支承的拉索索力識別方法，與已有索力計算公式不同的是，該方法考慮了主動變位索網復雜的邊界效應，無需求解邊界約束剛度即可識別索力。本文第1節基于弦振動理論和等效單自由度體系推導了適用于主動變位索網結構體系的索力識別方法；第2節通過對單根拉索的數值模擬證明了所提方法的準確性和有效性，探討了兩端邊界約束剛度相等和不相等情況下的索力識別精度，開展了參數分析。第3節將所提方法應用于FAST實際工程，對FAST索網進行數值模擬與現場實測，驗證了該方法的可行性和工程適用性。第4節總結了本文主要的研究工作，闡明了所提方法的應用前景。

1 可變彈性邊界支承的拉索索力識別方法

針對主動變位索網結構體系的工作特點，本文提出了一種考慮可變彈性邊界支承的拉索索力識別方法。

1.1 建立索網拉索簡化模型

兩端鉸接拉索在平衡狀態下做微幅振動，根據其平面內橫向自由振動方程及邊界條件^［22?23］，忽略拉索抗彎剛度的影響，可求得拉索索力計算公式為：

（1）

式中，T為拉索的張力；為拉索的線密度；l為索長；f_n為鉸接拉索第n階自振頻率。

與鉸接拉索不同的是，索網結構的拉索通常以節點盤形式相連接，拉索邊界條件為彈性支承，且只有平動剛度，轉動剛度很小、可忽略，平動剛度又可隨著索網結構形狀的變化而變化。故將索網中拉索的邊界條件簡化為兩端軸向支承和豎向支承的彈簧，簡化力學模型如圖1所示，兩端豎向約束彈簧的剛度分別為k₁、k₂；軸向約束彈簧的剛度分別為k₃、k₄。

1.2 等效單自由度體系

兩端鉸接拉索的第一階理論振型可表示為，則其第一階振型的廣義質量為：

（2）

將兩端鉸接拉索簡化為單自由度模型，如圖2所示，根據單自由度體系基本振動特性可得：

（3）

式中，ω₁為鉸接拉索第一階自振圓頻率；為鉸接拉索等效單自由度體系的廣義剛度；f₁為鉸接拉索第一階自振頻率。

同理，將彈性邊界支承拉索等效為單自由度模型：在受到人工或環境激勵后，彈性支承拉索在豎向平面內做微幅自由振動，則兩端軸向彈簧支承對拉索的第一階自振頻率幾乎沒有影響，這一結論將在后文單根拉索的數值模擬中進一步得到驗證。因而可將拉索等效為如圖3所示的單自由度模型。

彈性邊界支承拉索的第一階振型可看作鉸接拉索第一階振型與豎向約束彈簧振型的疊加，如圖4所示，其振型由下式計算：

（4）

（5）

（6）

式中，x為沿拉索長度方向的橫坐標；代表鉸接拉索第一階振型的最大數值；，分別代表彈性邊界支承拉索兩端點的第一階振型值；代表彈性邊界支承拉索中點的第一階振型值。，，均已做歸一化處理。

進而可求得彈性邊界支承拉索第一階振型的廣義質量為：

（7）

式中，系數a，b可通過模態識別方法獲取拉索兩端點的振型值，進而通過式（5）求得。

1.3 求解單自由度模型廣義剛度

當荷載q沿跨度均勻分布時，即可推導出兩端支座等高時拉索的拋物線方程，進而可求得拉索水平張力H。假設索力T與水平張力H的夾角為，如圖5所示，則二者關系為。對于索網拉索而言，跨中弧垂通常為10^-2 m數量級，而索長可達數米，甚至數十米，故cosθ≈1，即H≈T。因而可知：

（8）

式中，z為拉索跨中弧垂，即為兩端鉸接拉索的最大位移。

由于彈性邊界支承拉索時刻處于某一受力平衡狀態，故荷載ql等于兩端豎向支承彈簧的約束反力。由式（8）改寫成荷載表達式，得到以下受力平衡關系：

（9）

設一豎向荷載F作用在單自由度模型的質量點上，拉索簡化為單自由度模型后產生的位移為，豎向約束彈簧的位移分別為和，則根據受力平衡及胡克定律可推導兩端豎向支承彈簧的剛度比為：

（10）

彈性邊界支承拉索等效單自由度模型在荷載F作用下的位移為鉸接拉索位移與兩端約束彈簧的位移之和，即；圖3中兩豎向支承彈簧k₁和k₂并聯，又與鉸接拉索單自由度體系的彈簧串聯形成綜合彈簧，結合式（9）和（10），綜合彈簧的剛度可由下式計算：

（11）

定義彈性邊界支承拉索的第一階自振頻率為，第一階自振圓頻率為，上述振動特性參數的關系如下所示：

（12）

聯立式（11）和（12），得到下式：

（13）

通過式（9）可知，代入式（13）得到兩端鉸接拉索的廣義剛度為：

（14）

1.4 通過振型修正頻率

經式（2）計算兩端鉸接拉索第一階振型的廣義質量為，再通過式（3）求得兩端鉸接拉索第一階頻率f₁為：

（15）

通過上述理論推導，將彈性邊界支承拉索的第一階自振頻率轉換為兩端鉸接拉索的頻率f₁，再代入弦振動理論公式中，整理后得到索力計算公式如下：

（16）

由于拉索按照式（4）所示振型振動，各質點之間的位移比值與振型值的比值相等，即，故整理式（16）后索力T可由下式計算：

（17）

所提方法的理論推導流程如圖6所示。在識別索力時，若已知待測拉索的線密度、長度等基本參數，無需其他數據，僅在拉索跨中、兩端各安裝一加速度傳感器（3個測點），拾取的加速度信號經模態識別算法^［24?26］處理，識別出彈性邊界支承拉索的第一階自振頻率和跨中、兩端共三點的相對振型值，再對其進行歸一化處理即可得到對應的振型值、和，進一步求出彈性邊界支承拉索第一階振型的廣義質量，代入式（17）即可求解索力大小。即使在索網主動變位后結構形態發生變化，所提方法仍能通過當前結構狀態下的加速度數據獲取相應模態參數，進而得到新形態下的索力識別結果。

2 單根拉索數值仿真驗證

為驗證提出方法的準確性，本章建立了單根彈性邊界支承拉索的有限元模型，并采用提出的索力識別算法得到不同工況下拉索索力識別結果。

2.1 有限元模型

在ANSYS有限元軟件中，采用link180單元模擬拉索，采用combin14單元模擬豎向支承彈簧。此外，根據不同的索力工況，迭代求解拉索實際線形。

本節拉索模型的基本參數如下：直徑為0.025"m，全長l為12.39 m，截面積A為3.39×10^-4"m²，線密度為2.89 kg/m，彈性模量為E=2.19×10¹¹ Pa，額定拉斷力為726.80 kN。定義左端豎向彈簧剛度與拉索線剛度比為，即；左右兩端豎向彈簧的剛度比為，即；令兩端軸向彈簧剛度k₃，k₄相等，其與拉索線剛度比為，即。

由此建立彈性邊界支承拉索的有限元模型，通過改變拉索的索力和軸向支承彈簧剛度建立不同參數的仿真模型，進而開展模態分析，得到如表1所示的自振頻率數據。可以看出，不論軸向彈簧剛度如何變化，第一階自振頻率均保持不變，驗證了軸向支承彈簧剛度對拉索第一階自振頻率沒有影響的結論。

通過改變拉索索力和豎向彈簧支承的剛度模擬不同工況，再施加初始荷載后釋放，使拉索在豎向平面內做自由振動，獲取拉索跨中、兩端點的加速度。整理3個測點的加速度數據，用模態識別算法得到第一階自振頻率和對應振型數值，根據提出的索力識別算法計算索力值。

2.2 索力識別結果

本節以拉索索力為436.08 kN、邊界約束剛度k₁為拉索線剛度的0.25倍這一工況為例，進行一次完整的索力識別。

測點的加速度時程曲線如圖7所示，其中A₂測點為拉索中點，A₁和A₃測點為拉索兩端點（位置對稱），故二者時程曲線完全重合。采用SSI算法處理加速度數據，可知彈性邊界支承拉索的第一階自振頻率=15.01 Hz，A₁、A₃點振型值為0.0279，A₂點振型值為0.3974。該工況下拉索有限元模型的模態分析結果為：第一階自振頻率為15.0055 Hz，A₁、A₃點振型值為0.0163，A₂點振型值為0.2316。對上述振型值歸一化處理，經模態識別算法得到的振型值與模態分析結果基本一致，即鉸接拉索振型值=0.9298，豎向支承彈簧振型值==0.0702，拉索振型如圖8所示。可以看出，繪制的振型曲線基本重合，說明模態識別算法能夠準確地識別拉索第一階自振頻率及對應振型數值。

按照本文提出索力識別方法，由式（12）計算得到彈性邊界支承拉索的第一階自振圓頻率=94.31"rad/s；由SSI算法得到的振型值（歸一化后）經式（7）計算彈性邊界支承拉索的廣義質量=18.66 kg，由式（14）解得鉸接拉索的廣義剛度（含未知索力T），再用式（2）計算鉸接拉索第一階振型的廣義質量=17.93 kg，最后通過式（17）計算索力T=436.34 kN。而此工況設置索力為436.08 kN，相對誤差僅為0.06%。

2.3 參數分析

對于兩端邊界剛度相等的彈性邊界支承拉索，豎向支承彈簧剛度（k₁=k₂）分別取拉索線剛度的0.1倍、0.25倍、0.5倍、1倍及+∞（完全鉸接），拉力等級分別取拉索額定拉斷力的20%、40%、60%、80%和100%。采用本文提出的方法和傳統弦振動理論分別計算索力，部分工況的索力識別結果如表2所示。從表2中可知，對于兩端邊界剛度相等的彈性邊界支承拉索，采用本文提出的索力識別方法能得到較為精確的索力值，相對誤差在1%以內；而直接采用弦振動理論計算索力，其誤差是本文方法的數倍，最大可達24.29%，此時傳統弦振動方法已失真。當拉索兩端為理想鉸接約束時，本文提出方法與傳統弦振動理論一致，索力識別相對誤差完全相等。

對于兩端邊界剛度不相等的彈性邊界支承拉索，邊界剛度與的比值分別取1∶1、1∶3、1∶5和1∶10，索力工況與表2相同，索力識別結果如表3所示。可以看出，當兩端豎向彈簧剛度比值越小，索力識別算法的誤差越大，但均小于0.5%，而弦振動理論的識別誤差仍為本文提出方法的數十倍，故本文提出的索力識別算法比傳統的弦振動理論具有更高的精度和更廣的適用范圍。

3 FAST工程應用

FAST射電望遠鏡在進行天文觀測時，通過控制節點盤、自適應連接機構等主動實現適應性變位，其支撐結構的拉索易產生疲勞、松弛等現象，因此準確識別FAST拉索索力對索網結構狀態的控制及運行維護具有重要作用。下面從有限元模擬和現場實測兩個角度驗證提出方法的工程適用性及精度。

3.1 索網結構數值模擬

在ANSYS有限元軟件中建立FAST主索網基準態數值模型，如圖9所示，其中主索共6670根，150根邊緣主索與圈梁相連，每根主索節點設置連接一根下拉索，共2225根^［27］，圖中為部分拉索編號。

對FAST索網4根拉索施加初始荷載后釋放，模擬自由振動，獲取拉索兩端點（A₁和A₃）和中點（A₂）的加速度響應，部分拉索的加速度時程如圖10所示。通過模態識別算法識別拉索的第一階自振頻率和對應的振型值，按照提出的索力識別方法計算索力，結果如表4所示。從表4中可以看出，識別的索力數值與設置索力非常接近，相對誤差均小于1%，表明本文提出的索力識別算法具有很高的辨識精度，同時可以適用實際工程結構的復雜約束效應。

3.2 索網結構現場實測

為進一步驗證提出方法的工程適用性，在FAST望遠鏡運維檢修時，從中挑選了四根邊緣拉索。在拉索跨中和兩端索頭處共安裝3個加速度測點，無線壓電式加速度傳感器以磁力座吸附方式固定在拉索上，再用膠帶對傳感器進行加固，采用傳感器配套的數據采集系統實現對加速度信號的實時采集和存儲，設置采樣率為200 Hz。此外，待測拉索在FAST索網建造時已安裝磁通量索力傳感器，但只能在運維檢修時測量索力，此處將其作為索力參考值。傳感器布置如圖11所示。

兩類傳感器在環境激勵下同時進行數據采集，部分拉索加速度時程如圖12所示。采用提出的索力識別方法和弦振動理論分別計算索力，結果如表5所示。以磁通量傳感器索力測量結果為基準，可以看出所提索力識別方法與磁通量傳感器測量結果的相對誤差最大為4.93%，小于5%，而傳統弦振動理論的計算誤差高達62.61%。這主要是因為傳統弦振動理論直接采用識別的拉索頻率求解索力，沒有考慮邊界復雜約束的特點，而本文所提方法考慮了復雜邊界效應的影響，通過第一階振型值對拾取的第一階自振頻率進行修正，因此索力識別結果更準確。值得注意的是，磁通量傳感器非常依賴于實驗室標定參數，在現場實測中也會存在一定誤差，表5中計算的相對誤差不代表提出方法的實際誤差，但也可看出本文方法與磁通量傳感器索力測量結果較為一致，說明本文提出方法滿足工程測量精度要求，可以應用于實際工程中。

通過上述的索力識別對比結果可以證明本文所提方法能夠滿足工程上對于索力測量精度的要求，因此在FAST反射面A區部分主索安裝了相應數量的光纖光柵加速度傳感器及數據采集設備，運用MATLAB軟件將提出方法編制成索力在線監測系統，從而實現遠端在線觀測索網拉索索力。表6為2022年12月4日13時43分的索力識別結果，這里需要說明的是，因索力識別時FAST射電望遠鏡處于觀測階段，需要良好的電磁環境，導致拉索上原有的磁通量索力傳感器無法工作；而光纖光柵加速度傳感器及相關設備可以正常工作，不會影響望遠鏡的正常工作，此處并未給出二者的對比結果。

4 結" 論

本文分析了主動變位索網結構體系中拉索復雜的邊界條件，提出了一種可變彈性邊界支承拉索的索力識別方法，適用于邊界剛度未知或結構形態時變的索網結構體系。該方法僅需已知拉索基本參數和拉索3個測點的振動數據就可準確反演拉索索力。同時通過有限元數值仿真及現場實測對該方法的精度和工程適用性進行了驗證。具體結論如下：

（1）本文提出的索力識別方法能得到較為精確的索力值，數值模擬的相對誤差在1%以內；直接采用弦振動理論計算索力，其誤差是本文方法的數倍以上，誤差最大可達24.29%，說明此時傳統弦振動方法已失真。

（2）兩端豎向彈簧剛度比值越小，索力識別算法的誤差越大，但均小于0.5%，說明本文提出的索力識別算法的適用范圍較廣。

（3）FAST現場實測的索力結果與磁通量傳感器測量結果非常接近，兩者相對誤差小于5%，說明提出方法滿足工程上測量精度的要求。

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通信作者： 付" 興（1988—），男，博士，副教授。E?mail： fuxing@dlut.edu.cn

基金項目："國家自然科學基金資助項目（52027811，11973006）