基于經驗模態分解與Tikhonov正則化的梁橋影響線識別方法

摘要： 撓度影響線、應變影響線能夠完整地反映梁橋截面抗彎剛度，在獲取梁橋實測時程響應過程中，車輛移動荷載作用下的梁橋響應摻雜了影響線信息和結構動力成分，并受到加載車輛的多軸效應干擾。為準確識別梁橋結構影響線，通過經驗模態分解剔除梁橋實測數據中的動力成分，得到含有車輛多軸效應的梁橋準靜態響應數據，結合采樣頻率與車輛軸距，建立了影響線識別的數學模型，將車輛多軸效應轉化為單位集中荷載，進而采用Tikhonov正則化方法準確解得梁橋影響線的穩定解。通過建立1/2雙軸車過簡支梁橋與三跨變截面連續梁橋的數值仿真模型，提取車輛不同移動速度下簡支梁橋跨中和三跨連續梁橋中跨跨中的撓度、應變時程響應，驗證了基于經驗模態分解與Tikhonov正則化識別梁橋影響線方法的可行性與有效性，準確地識別了梁橋結構算例的撓度影響線、應變影響線，并通過建立誤差指標定量評價了影響線識別效果。研究還發現，梁橋影響線的識別效果隨加載車輛速度的增大而降低。

關鍵詞： 橋梁工程； 移動荷載； 影響線識別； 經驗模態分解； Tikhonov正則化

中圖分類號： U441⁺.2""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）01-0144-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.01.016

Influence line identification method of beam bridge based on empirical mode decomposition and Tikhonov regularization

ZHOU Yu^{1，2，3}， SHANG Wenqi^1，2， WU Deyi^1，2， DI Shengkui³， ZHENG Xu⁴

（1.School of Civil Engineering， Anhui Jianzhu University， Hefei 230601， China；2.National-local Joint Engineering Laboratory of Building Health Monitoring and Disaster Prevention Technology，Anhui Jianzhu University， Hefei 230601， China；3.College of Civil Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China；4.School of Civil Engineering， Dalian University of Technology， Dalian 116023， China）

Abstract： The deflection influence line and strain influence line can integrally reflect the flexural stiffness of beam bridge section. In the process of obtaining the measured time-history response of beam bridge， the response of beam bridge involves the influence line information and structural dynamic components， and is interfered by the multi-axis effect of loading vehicle under vehicle moving load. In order to identify the influence line of beam bridge structure accurately， the empirical mode decomposition was proposed to eliminate the dynamic component in the measured data of beam bridge， and the quasi-static response data of beam bridge containing the multi-axis effect was obtained. Combined with the sampling frequency and vehicle wheelbase， a mathematical model was established to identify the influence line， and the multi-axis effect of vehicle was converted into unit concentrated load. Tikhonov regularization method was used to accurately solve the stable solution of the influence line of the beam bridge. Through the establishment of numerical simulation models of 1/2 two-axle vehicle-crossing simply-supported beam bridge and three-span continuous beam bridge with variable section， the deflection and strain time-history responses of simply-supported beam bridge and three-span continuous beam bridge at different vehicle speeds were extracted， and the feasibility and effectiveness of identifying influence lines of beam bridge based on empirical mode decomposition and Tikhonov regularization method were verified. The deflection influence lines and strain influence lines of the structural examples of the beam bridge were identified accurately， and the identification effect of the influence lines was evaluated quantitatively by establishing error index. The research also found that the identification effect of the influence lines of the beam bridge decreased with the increase of the loading vehicle speed.

Keywords： bridge engineering；moving load；influence line identification；empirical mode decomposition；Tikhonov regularization

在役梁橋由于材料劣化、環境侵蝕、異常荷載等因素，會不可避免地發生截面剛度退化或約束邊界弱化^［1］現象。影響線是描述梁橋在單位移動荷載作用下結構的固有靜力特征，綜合反映梁橋結構邊界條件、截面抗彎特性的重要參數。已有研究表明，撓度影響線、應變影響線能夠在橋梁損傷識別^［2?3］、模型修正^［4?5］、承載能力評估^［6?7］等方面得到有效應用，但準確識別并提取橋梁影響線是上述研究的重要基礎與先決條件。

國內外學者圍繞上述問題開展了具有一定深度的研究，王寧波等^［8］證實多項式分段擬合可應用于不同邊界條件橋梁應變影響線的提取，該方法可有效剔除橋梁的動力效應，并對該方法在理想支承條件下進行了驗證。陳志為等^［9］建立橋梁靜力影響線識別的數學模型，提出采用Tikhonov正則化方法解決影響線識別中的不適定問題，采用三次B樣條曲線重構出橋梁準靜態影響線。李東平等^［10］分別利用分段多項式與可調幅函數描述了實測橋梁響應中的靜力部分與動力部分，利用最小二乘法計算分段多項式模型，進而獲得橋梁準靜態影響線。MUSTAFA等^［11］證明通過時域法和頻域法識別影響線的基本原理相同，但由于離散傅里葉變換的固有假設，導致兩種影響線識別結果不同，同時提出利用低通濾波獲取橋梁準靜態影響線的方法。OBRIEN等^［12］建立了與加載車輛相關的矩陣，通過求矩陣的逆并利用最小二乘法從橋梁實測響應中直接提取橋梁影響線。IENG^［13］結合橋梁動態稱重系統獲取橋梁時程響應，證實了基于最大似然估計法識別橋梁影響線具有較好的魯棒性。綜上，既有影響線識別方法已取得了較大突破，但在影響線識別方法層面還有研究空間，例如，橋梁實測響應數學表達式中并未考慮結構動力成分的干擾，僅依據橋梁準靜態響應建立影響線識別模型會影響識別結果的準確性，此外，利用常規分段擬合等方法來剝離剔除橋梁實測時程響應中的結構動力成分，其過程復雜且計算量大，可操作性仍可改進。

鑒于此，為剝離梁橋時程響應中的結構動力成分，從而較精確、快速地識別出橋梁準靜態影響線，本研究采用經驗模態分解（empirical mode decomposition， EMD）方法剔除梁橋結構時程響應信號中的動力成分，以獲得梁橋結構的準靜態時程響應，根據采樣頻率與車輛軸距建立梁橋準靜態影響線識別的數學模型，將車輛多軸效應轉化為單位集中荷載。修正影響線識別數學模型的誤差項會引起數學模型矩陣不適定現象，故采用Tikhonov正則化方法求解病態線性方程組，從而準確解得梁橋影響線的穩定解。建立簡支梁橋與三跨變截面連續梁橋的數值仿真模型，提取1/2雙軸車輛在不同行駛速度下簡支梁橋跨中和三跨連續梁橋中跨跨中撓度、應變時程響應，進而驗證基于EMD與Tikhonov正則化識別梁橋影響線方法的可行性和有效性。

1 理論方法

EMD方法可在不同時間尺度將含有強噪聲干擾的時程響應信號分解成若干本征模態函數（intrinsic mode function， IMF）和殘余項，同時利用快速傅里葉變換將時域信號轉換為頻域信號，并獲取各IMF的主頻率，以橋梁結構的基頻為閾值，主頻率大于結構基頻的IMF可被當作動力擾動剔除，以此獲取橋梁的準靜態時程響應，其計算效率高且具有理想的信噪比^［14］。根據車輛軸重、軸距與采樣頻率構建車輛信息矩陣，通過建立影響線識別數學模型，將實測響應中含有的車輛多軸荷載轉化為單位集中力，進而利用Tikhonov正則化求解梁橋影響線，結合EMD方法與Tikhonov正則化優勢能夠實現梁橋結構影響線的高效、精準識別。

1.1 數據預處理

HUANG等^［15］認為任何信號均可由若干本征模態函數IMF組成，EMD分解的目的是尋找原始信號中的IMF。基于EMD方法剔除橋梁響應中結構動力成分的計算流程為：

1．輸入橋梁原始時程響應y（t），尋找局部極大值點和極小值點；

2．通過三次樣條插值計算局部極大值函數與極小值函數，并繪制極大、極小值函數包絡線e_max（t），e_min（t）^［16］；

3．計算局部均值：；

4．用原始時程響應減去局部均值得到第一個振蕩函數，即；

5．當h₁（t）滿足IMF預設條件時，h₁（t）成為第一個IMF（t），否則，用h₁（t）代替步驟（1）中的y（t）并重復以上步驟；

6．當篩選出第一個IMF₁（t），對應的余量為r₁（t）=y（t）-IMF₁（t），令r₁（t）作為新的原始時程響應重復上述過程找出IMF₂（t），依此類推，r₂（t）=r₁（t）-IMF₂（t），…，r_n（t）=r_n-1（t）-IMF_n（t）。當滿足截止條件ε時或原始信號中再無IMF時篩選結束，截止條件如下式所示：

（1）

式中，和分別為信號分解中的兩相鄰振蕩函數。通過快速傅里葉變換獲取各IMF主頻率，當IMF主頻率小于結構基頻時篩選終止，將小于結構基頻的k個IMF函數與余量進行重構。經過步驟1～6分解，原始時程響應可表示為下式，重構后的余量r_n（t）即為橋梁的準靜態時程響應：

（2）

1.2 影響線識別模型

基于EMD預處理后的橋梁準靜態響應中仍存在車輛多軸效應，假設車輛各軸對橋梁的影響相互獨立^［17］，即實測橋梁響應是車輛各軸引起橋梁響應疊加的結果，具體見下式：

（3）

式中，R_s（t）為移動車輛荷載作用所引起的橋梁響應；N為車輛軸數；A_i為車輛軸重；為第i個軸對應的影響線系數；為第i個軸與橋梁相互作用所產生的結構動力成分。

式（3）中，C_i為第i軸與第1軸之間的采樣差：

（4）

式中，D_i為第i軸與第1軸之間的距離；f為采樣頻率；v為車輛行駛速度。

為簡化計算，將連續影響線離散成結構節點上的離散影響線系數^［18］，建立梁橋時程響應經EMD預處理后的影響線識別模型，如下式所示：

（5）

式中，R為準靜態時程響應；L為車輛信息矩陣；Φ為橋梁影響線系數。車輛信息矩陣與采樣頻率、車輛軸距有關，以N軸車輛為例，車輛信息矩陣采用車輛前軸上橋、后軸下橋的車輛行駛模型來構建，L矩陣表達式如下：

（6）

式中，、分別為矩陣的行和列數，其值由信號采集設備的頻率和加載車輛軸數決定。

1.3 影響線求解方法

經EMD預處理得到準靜態時程響應R，因原始時程響應分解時設置了計算截止條件，時程響應R中仍可能存在未被有效識別的IMF信息，識別出的準靜態時程響應與橋梁靜態時程存在偏差，現引入識別誤差項η對理論公式進行修正，得到下式：

（7）

識別影響線系數Φ屬于反問題求解范疇，式（7）引入的誤差項η將導致影響線求解方程出現不適定問題。Tikhonov正則化（L₂型）方法是解決不適定問題的經典方法，能夠通過L₂范數作為罰函數來限制最小二乘表達式，進而求解病態線性方程組，采用該方法建立影響線求解的數學模型如下式所示：

（8）

常用的正則化矩陣T如下式所示：

（9）

對式（8）中影響線系數Φ求一階導，則影響線系數可通過Tikhonov正則化方法求解，表達式如下：

（10）

采用L₂范數作為罰函數，使得該不適定問題的近似解在較小范圍內波動，并呈現平滑濾波的效果，進而通過L?curve法確定正則化系數λ，使式（8）中兩個Euclidean范數最小^［19］，從而得到式（8）最小值。本文所采用的影響線識別流程如圖1所示，λ的取值直接決定了影響線識別的精度，L?curve法示意圖如圖2所示。

2 簡支梁橋算例驗證

通過建立1/2雙軸車過簡支梁橋仿真算例來驗證本文方法的有效性，利用EMD將算例中提取的橋梁時程響應轉化為準靜態時程響應，通過建立車輛信息矩陣，構造影響線識別模型剔除準靜態時程響應中的車輛多軸效應，進而基于Tikhonov正則化方法識別算例梁橋結構影響線。

2.1 簡支梁橋算例概況

為準確獲得車輛激勵下橋梁的動力響應，通過建立四自由度1/2雙軸車輛以多種車速駛過簡支梁橋的仿真模型，提取梁橋模型跨中的撓度與應變時程響應并展開分析。算例選用跨徑為30 m的簡支梁橋模型，共劃分300個梁單元，梁單元選用Beam188，梁橋基頻為10.396 Hz，材料彈性模量為2.46×10¹¹ N/m2、泊松比取0.3、密度為2000 kg/m3，1/2雙軸車軸距為3 m，假定車輛系統為剛體，僅在平衡位置產生小變形振動，懸掛系統阻尼通過彈簧模擬，車輛行駛通過平順橋面，并與橋梁始終接觸，算例模型如圖3所示，其中，1/2雙軸車動力學模型如圖4所示。

圖4中，m₁和m₂分別為車輛前、后軸質量，m₃為車身質量；J為車體點頭剛度；K_a1、K_a2分別為車輛模型的前、后軸一系懸掛剛度，K_b1、K_b2分別為前、后軸二系懸掛剛度；C_a1、C_a2分別為車輛模型的前、后軸一系懸掛阻尼系數，C_b1、C_b2分別為前、后軸二系懸掛阻尼系數；Z₁、Z₂分別為車輛模型前、后轉向架自由度，Z₃為車體沉浮自由度；θ為車體點頭自由度。車輛動力學模型參數如表1所示。

2.2 時程數據預處理

車輛分別以0.001、30、60、90與120 km/h速度過橋，其中車輛以0.001 km/h速度過橋產生的時程響應被視為橋梁靜態響應。為充分獲取橋梁時程響應中的IMF，利用EMD對簡支梁橋跨中撓度響應進行預處理，設置EMD最大迭代次數為5000次，截止條件設為1×10^-7，來分解含動力擾動的梁橋撓度、應變時程響應。以車輛前軸作用位置為橫坐標，不同速度下簡支梁橋跨中測點的撓度曲線（deflection curve， DC）、應變曲線（strain curve， SC）如圖5和6所示。

因采用車輛前軸上橋、后軸下橋的行駛過橋模型，故圖5和6中橫坐標范圍為0～33 m。由于考慮車輛多軸效應，因此1/2雙軸車位于簡支梁橋跨中附近的時程響應曲線存在“平臺”，其長度等于車輛軸距。隨著車輛速度的增大，橋梁撓度與應變響應中動力波動愈加明顯。簡支梁橋跨中撓度與應變響應經EMD預處理后如圖7～10所示。

由圖7～10可知，基于EMD的橋梁時程響應預處理方法可有效剔除各車輛速度下簡支梁橋跨中撓度與應變響應中的動力成分，得到較為光滑的準靜態撓度與準靜態應變曲線。隨著車輛速度增大，橋梁撓度與應變位置響應中的動力波動成分逐漸增大，經EMD預處理得到的撓度與應變響應峰值隨車速的增大而減小。當車輛移動速度為90 km/h時，經EMD處理的簡支梁跨中應變曲線峰值處仍存在波動成分，該現象由EMD初設條件中本征模態函數IMF的篩選過程與時程響應曲線形狀導致。此外，由于EMD在剝離橋梁時程響應中的結構動力成分時存在端點效應^［20］，導致預處理得到的橋梁準靜態時程響應端點不為0。

2.3 影響線識別結果

經EMD預處理得到含有車輛多軸效應的簡支梁橋跨中準靜態撓度、應變響應，采用本文提出的影響線識別方法來剔除簡支梁橋準靜態響應中的車輛多軸效應，并將多軸車輛移動荷載轉化為單位集中荷載，進而利用Tikhonov正則化方法求解簡支梁橋撓度、應變影響線。以車速為0.001 km/h識別的簡支梁橋影響線作為結構影響線基線（baseline）。繪制撓度影響線（deflection influence line， DIL）識別結果如圖11和12所示，繪制應變影響線（strain influence line， SIL）識別結果如圖13和14所示。

由圖11和13可知，利用基于EMD與Tikhonov正則化的梁橋影響線識別方法可識別出各速度下的簡支梁橋跨中撓度與應變影響線，影響線識別效果隨車輛移動速度的增大而變差。由圖11可知，簡支梁橋跨中撓度影響線隨車速增加，其峰值絕對值逐漸減小，影響線兩端影響線系數與結構基線間誤差逐漸增大。由圖12和14可知，利用EMD預處理得到的準靜態時程響應來識別橋梁撓度、應變影響線均存在“削峰”現象，即除靜態響應以外的簡支梁響應識別出的影響線絕對值峰值均小于結構影響線基線絕對值峰值，隨著車速的增加，“削峰”現象愈加明顯。其中，識別得到的應變影響線兩端系數與結構基線較吻合，撓度影響線與影響線基線吻合較差。

綜上，基于EMD與Tikhonov正則化可有效識別簡支梁橋結構的撓度影響線與應變影響線，識別效果會隨車速的增大而變差，且車速越快識別出的應變影響線“削峰”愈明顯。

3 連續梁橋算例驗證

3.1 連續梁橋算例概況

建立1/2雙軸車以不同車速行駛通過三跨變截面連續梁橋的仿真算例，來研究本文影響線識別方法的適用性，三跨連續梁橋模型跨徑組合為15 m+30 m+15 m，共劃分成200個梁單元，建模采用Beam188單元，0^#臺、3^#臺及中跨跨中梁截面高度為0.75 m，1^#墩與2^#墩的墩頂截面高1.25 m，建模材料彈性模量為2.46×10¹¹ N/m²、泊松比取0.3、密度為2000 kg/m³，橋梁基頻為9.047 Hz；車輛模型與簡支梁算例中車輛相同，算例模型如圖15所示。

3.2 時程數據預處理

以三跨變截面連續梁橋的中跨跨中截面為測點，移動車輛加載工況與簡支梁算例相同，利用EMD對連續梁橋中跨跨中撓度響應進行預處理，設置EMD最大迭代次數為5000次，截止條件ε設為1×10^-7，來分解含動力擾動的梁橋撓度、應變時程響應。進而獲取連續梁中跨跨中測點的DC和SC曲線，分別繪制于圖16和17。

分析可知，隨著車輛速度的增大，橋梁撓度與應變響應中動力波動愈加明顯，且由于行駛車輛的雙軸效應，在車輛行駛通過中跨跨中測點，應變響應曲線在測點處出現“平臺”段，該現象同簡支梁橋算例一致。連續梁橋中跨跨中撓度與應變響應經EMD預處理后如圖18～21所示。

由圖18～21可知，基于EMD的橋梁動力響應預處理方法可有效剔除連續梁橋中跨跨中測點的撓度、應變響應中的動力成分。利用EMD預處理得到的連續梁橋準靜態撓度曲線與橋梁靜態撓度曲線吻合較好，但應變響應曲線隨加載車輛移動速度的增大與橋梁靜態曲線吻合程度降低。隨加載車輛移動速度的增大，基于EMD預處理得到的撓度時程響應曲線峰值的絕對值增大，應變曲線峰值整體呈現“削峰”趨勢。當移動加載車輛速度為30 km/h時，因時程響應數據中動力成分較小，經EMD預處理得到的準靜態曲線峰值較大。當車輛速度為90，120 km/h時，經EMD預處理的連續梁橋應變時程響應曲線仍存在動力波動是由EMD初設篩選條件與應變時程響應曲線形狀引起的，導致應變時程響應中的IMF未被完全識別。

3.3 影響線識別結果

經EMD預處理得到含有車輛多軸效應的連續梁橋中跨跨中準靜態撓度、應變時程響應曲線，影響線識別方法同簡支梁橋算例。繪制連續梁橋DIL，SIL曲線于圖22～25。

由圖22～25可知，基于EMD與Tikhonov正則化的方法能夠有效用于連續梁橋的影響線識別。其中連續梁橋中跨跨中的撓度影響線識別效果較好，識別出各速度工況下的影響線與結構影響線基線較吻合。當車速v≤60 km/h時，應變影響線峰值與結構影響線基線吻合程度高，應變影響線識別效果隨加載車輛速度的增大而逐漸變差。

綜上所述，基于EMD與Tikhonov正則化的梁橋影響線識別方法適用于連續梁橋中跨跨中的撓度與應變影響線，且該方法對連續梁橋撓度影響線識別效果較好。

4 誤差指標

為進一步定量評價基于EMD與Tikhonov正則化的梁橋影響線識別方法對梁橋撓度與應變影響線的識別效果，考查所提方法的識別精度，引入整體相對誤差（overall relative error， ORE）與峰值相對誤差（peakvalue relative error， PRE）兩個指標對本文提出的影響線識別方法的精確性進行綜合評價：

（11）

（12）

式中，φ_mi為識別影響線；φ_si為準靜態影響線。

由表2可知，基于EMD與Tikhonov正則化方法識別出的影響線，與對應影響線基線間的誤差均隨著加載車輛移動速度的增大而增大。當車速v≤120 km/h，簡支梁橋跨中撓度影響線與結構基線間的誤差均小于5%，應變影響線誤差均小于9%；連續梁橋中跨跨中撓度影響線與結構基線間誤差均小于1%，應變影響線誤差均小于8%，撓度影響線識別效果普遍優于應變影響線。

研究發現，當車輛模型高速（v≤120 km/h）行駛通過梁橋時，基于EMD與Tikhonov正則化的影響線識別方法仍可有效識別簡支梁橋跨中與連續梁橋中跨跨中的撓度影響線、應變影響線，且加載車輛在低速（v≤30 km/h）行駛下能夠獲得更高精度的識別結果，加載車輛緩慢勻速過橋是保證梁橋結構影響線識別精度的前提條件。

5 結 論

通過模擬1/2雙軸車行駛通過簡支梁橋與三跨連續梁橋的兩個仿真算例，驗證了基于EMD與Tikhonov正則化的梁橋結構影響線識別方法的可行性、適用性與精確性，得到如下結論：

利用EMD能夠剔除車輛行駛通過簡支梁橋、連續梁橋的撓度與應變時程響應中的動力成分，獲取梁橋結構準靜態時程響應，準靜態撓度時程曲線與結構靜態撓度曲線的吻合效果優于準靜態應變時程曲線，基于EMD預處理的簡支梁橋與連續梁橋應變時程響應峰值均大于相應結構的靜態應變響應峰值。

通過建立車輛信息矩陣構建影響線識別的數學模型，可有效剔除梁橋結構時程響應中的車輛多軸效應，從而將作用于橋梁的多軸車輛荷載轉化為單位集中荷載，進而利用Tikhonov正則化求得簡支梁橋與連續梁橋的結構影響線穩定解。

經誤差指標分析，當車輛移動速度v≤60 km/h時，撓度影響線識別誤差不大于2%，撓度影響線與應變影響線識別效果隨車輛移動速度的增大而變差，且連續梁橋結構的撓度影響線識別精度更高。

在實際工程中，為確保精確識別梁橋結構影響線，建議加載車輛緩慢勻速過橋，本文研究為進一步開展梁橋結構影響線的應用奠定了方法基礎。

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通信作者： 周 宇（1989―），男，博士，副教授。E-mail：yuzhou923@outlook.com

基金項目："安徽省高校自然科學研究項目-重點項目（2022AH050248）；建筑健康監測與災害預防技術國家地方聯合工程實驗室開放課題（GG22KF002）；企業委托技術開發課題（HYB20220240，HYB20230001）；安徽省高校優秀拔尖人才培育項目（gxgnfx2022021）；甘肅省建設科技項目計劃（JK2023-03）；國家自然科學基金資助項目（51868045）