基于核心素養的高中數學探究性作業設計實踐

摘"要"基于核心素養的探究性作業注重基礎知識的鞏固和基本思想方法的應用，引導學生從不同角度進行思考、探究、發散思維、拓展思維，更好地落實數學核心素養.基于對新課程改革的理解，本文以“直線的方程”探究性作業為載體分享實踐過程與心得，旨在倡導數學教師精心設計探究性作業，落實核心素養.

關鍵詞"核心素養；探究性作業；作業設計；直線方程

《普通高中數學課程標準》（2017 年版 2020 年修訂）（以下簡稱為課標）對高中畢業數學學業水平考試、數學高考試題的命題提出了要設置“開放性問題”和“探究性問題”的建議.《中國高考評價體系》指出高考命題時要注重試題的創新性、多樣性和選擇性，具備一定的探究性、開放性和應用性，落實學科核心素養.基于此，教師要在平時的課堂教學中設置探究性學習環節，要科學設置一些探究性作業，調動學生的探究熱情，引導學生從不同角度進行思考探究，發散思維，拓展思維，扎實地落實數學核心素養.本文將通過人教A版選擇性必修一（以下簡稱為教材）第二單元《直線的方程》的探究性作業設計實踐，談談個人的體會.

1.探究性作業設計實踐

1.1"課標及教材分析

直線方程是直角坐標系中直線的代數表示，是確定直線位置幾何要素的完全代數刻畫.直線方程的建立過程本質上是將確定直線的幾何要素（點與方向）代數化的過程.教材主要介紹了由直線上的一個點與傾斜角或者直線的兩個點來求出直線方程，從而直線方程有：點斜式、斜截式、兩點式、截距式，進一步把四種方程形式統一起來，推出直線方程的一般形式.

對于本單元的內容，課標要求：“根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）”.而在《空間向量與立體幾何》的“教學提示”中，課標是這樣表述的：“鼓勵學生靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離問題），通過對比體會向量方法的優勢”［1］；并且教材第二章《直線和圓的方程》中，幾處用向量法進行探討，第一節《傾斜角與斜率》（教材52、54頁）用到直線的方向向量，《探索與發現》的標題是《方向向量與直線的參數方程》（教材68、69頁）、平行四邊形中一個定理的證明（74頁）、點到直線的距離公式的推導（教材76頁），還有一些相關內容以練習或者習題的形式出現，不一一贅述.

從此可知，雖然課標只是要求“探索并掌握”直線方程的幾種形式，但事實上確定直線位置的幾何要素除了直線上的點、傾斜角之外，還有直線的方向向量、法向量.從向量的角度認識直線的方程，能豐富學生對直線方程的深度理解，而且從向量的應用方面、知識探究的角度來看，適當運用向量研究直線的方程，一方面可以從深度“探索并掌握”直線方程的其他形式，另一方面也可把向量的運用拓寬到更大的面，這對于拓展學生思維、提升學科核心素養幫助有很大.

1.2"學情分析

在學習本單元內容之前，學生已經學習了空間向量，熟悉了直線的方向向量、平面的法向量等概念，在前一個單元的傾斜角與斜率中，再次接觸到直線的方向向量的坐標表示.本單元第1課時的主要內容是根據給定的條件求直線方程，課堂上圍繞直線上的點和傾斜角或者直線上的兩點求直線方程，使學生熟悉用代數的方法表示直線的幾何要素.

1.3"探究性作業目標分析

通過對課標及教材的分析可確定探究性作業目標為：學生鞏固直線點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程的推導，經歷自主探究建立直線的點向式方程、點法式方程的過程，并拓展到空間中的直線的點向式方程、平面的點法式方程，體會從平面到空間的類比過程，培養化歸與轉化、類比，發展推理論證、運算求解的能力.

1.4"探究性作業內容設計

1.4.1"結構設計

本單元的作業設計有兩個部分——課時作業和探究性作業.課時作業主要用于鞏固學生當天所學，會利用給定的條件求出直線的方程——點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式，側重于知識的鞏固和基礎應用層面，用于基礎知識、基本技能的考察；探究性作業用于延續課堂內推導直線方程的思想，并從向量的角度研究直線方程，側重于數學思想方法的應用，重視基本思想、基本活動經驗的考查，兩者可以互為補充.

本設計從第1、第2兩道課本原題開始，引導學生思考并發現直線的方向向量和法向量藏在直線的方程之中，從基礎出發，讓學生容易入手；在前面的鋪墊下，利用第3、第4題即直線的點向式、點法式方程，引導學生理解課堂學習直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式、兩點式方程名字的由來；第5題也是課本原題，將研究的內容從平面推廣到空間，充分運用類比的思想；第6、第7題從課本的“探究與發現”的閱讀材料入手，由淺入深，幫助學生輕松掌握直線的參數方程，拓展學生的認知和思想.

1.4.2"內容呈現

第1題"教材原題（教材67頁習題2.2第11題）：設點P0（x0，y0）在直線Ax+By+C=0上，求證：這條直線的方程還可以寫成A（x－x0）+B（y－y0）+C=0.

第2題"教材原題（教材102頁復習參考題第1題）：直線3x+2y－1=0的一個方向向量是（"）.

A.（2，－3）""""B.（2，3）

C.（－3，2）"""""D.（3，2）

第3題"在平面直角坐標系中，已知直線l過點P0（x0，y0），非零向量n→=（A，B）是它的法向量，設P（x，y）是直線l上的任意一點，則點P（x，y）在直線l上的充要條件是______，x，y所滿足的方程是______，此方程是由直線l上一點P0（x0，y0），直線l的法向量n→=（A，B）確定的，試著給該方程取名為______，我們學習過的直線方程中還有哪種方程的形式是這種類型？

第4題"在平面直角坐標系中，已知直線l過點P0（x0，y0），向量n→=（A，B）是它的方向向量（其中AB≠0），設P（x，y）是直線l上的任意一點，則點P（x，y）在直線l上的充要條件是______，x，y所滿足的方程是______，此方程是由直線l上一點P0（x0，y0），直線l的方向向量n→=（A，B）確定的，試著給該直線方程取名為______，我們學習過的直線方程中還有哪種方程的形式是這種類型？

第5題"教材原題（教材44頁習題4.4第17題）：在空間直角坐標系中，已知向量u→〖DD）〗=（a，b，c）（abc≠0）點P0（x0，y0，z0），P（x，y，z）.

（1）若直線l經過點P0，且u→〖DD）〗為方向向量，P是直線l上的任意一點，求證：〖SX（〗x－x0a=〖SX（〗y－y0〖〗b〖SX）〗=〖SX（〗z－z0〖〗c〖SX）〗；

（2）若平面α經過點P0，且u→〖DD）〗為方向向量，P是平面α內的任意一點，求證：a（x－x0）+b（y－y0）+c（z－z0）=0，試給這兩個方程取個名字.

第6題"閱讀教材68-69頁“探究與發現”，了解《方向向量與直線的參數方程》的知識.

第7題"請把平面內直線l的參數方程{x=x0+at，y=y0+bt，（t是參數）化為第3題或者第4題類型的方程.

1.4.3"設計意圖

本探究性作業設計著手于直線方程的各種不同形式，意圖如下：

（1）源于課本，有機整合：從教材原題和“探究與發現”中的內容入手，進行有機整合，形成邏輯緊密的問題鏈，環環相扣、層層遞進，提升學生的探究愿望和興趣.

（2）凸顯知識之間的聯系：學生已經學習過的直線的方程形式中的點斜式、兩點式、一般式，課本中提到的直線的參數方程，都與本設計中的點法式或者點向式方程緊密聯系，讓學生能夠進行整合，豐富學生知識網絡的連接點和互通性，將思維從“零散”轉向“聚合”，有助于提升核心素養的水平.

（3）揭示直線的基本的要素：如果已知直線上的一個點和方向向量或者法法向量，直線即定，之前學習過的已知兩點或者已知一點和斜率可以確定直線，豐富了學生對直線的認知.

（4）體現向量的工具作用：直線的方向向量、直線的法向量、平面的法向量都可以作為直線或者平面的一個已知條件，利用向量的共線或者垂直可以得出直線上或者平面內動點的坐標要滿足的方程.利用好向量工具，對于后續判斷平行垂直、定理證明、距離等問題的解決提供不同的視角.

（5）展示二維平面向三維空間擴展的過程：問題設計了平面內直線的方程、空間中直線的方程、空間中平面的方程，通過類比，學生參與到從二維平面到三維空間擴展的歷程.

2.探究性作業設計反思

2.1"思想上要重視

培養科學探究精神是新課標倡導的重要理念.探究性作業的布置，能有效激發學生的學習興趣，培養學生的探究熱情，使學生養成良好的探究習慣.高中數學中涉及的公式、概念、定理比較多，學生只有對這些基礎知識充分理解以及靈活運用，才能更好地學習更深層次的數學知識.所以教師需要結合學生的實際情況，設計針對性的練習題，促使學生探究性學習，提高綜合能力.探究性習題的設置可以就某一個問題進行深入挖掘，探究出問題的各個方面，各種情形，使得對問題有一個更加全面、更加深入的了解，進而發現一類問題的內在聯系及其內在規律，達到“見樹木，更見森林”的境界.同時探究性習題的設置也可以是開放性的，包括條件開放型、結論開放型、策略開放型、實踐型等幾種形式［2］.

2.2"行動上要突破

認識到探究性作業的意義之后，我們就需要，在備課的過程中進行作業設計，組編一些高質量探究性作業，落實好數學核心素養.

高中數學的深度、廣度決定了知識內容需不斷拓展與更新，這也為探究性數學試題的命制提供了新的思路.例如可從內容入手，在量與質兩方面聚焦不同知識的融合，給學生帶來解決數學問題的新鮮感與愉悅感，重點考查學生對知識的綜合學習能力與應用能力，彰顯核心素養的培育目標［3］.同時也可挖掘教材的資源進行有機整合，拓展基礎知識、基本思想在不同情境中的應用.總之，探究性作業必須從教學實際、學生學情與課程標準出發，結合高考要求，保證試題的科學性，凸顯課程資源的整合性，同時能夠對教師的教與學生的學起到一定的引導作用.

2.3"落實上要多樣

學生作業的反饋和評價，教師可以采用多種方式，可以學生自己批改，更正糾錯；可以同桌之間相互批改，相互講解；也可以小組內批改，然后討論交流；必要的時候教師挑選幾個特別對象重點面改，當面解決疑惑；如果需要全面了解全班的作答情況，教師可以全批全改.批改之后，對于重點內容或者普遍掌握不夠好的問題，可以在課堂上解決，也可以采用多種方式，比如，個別學生板演或講解，小組展示，或教師講解.總之，激發學習的興趣和提升學科核心素養是作業設計的最終目的，落實到位也是關鍵一環.

3.結語

新修訂的課程方案要求“堅持素養導向”，課程建設以培養學生的核心素養為方向、為目標，對數學高考試題的命題建議設置“開放性問題”和“探究性問題”.作為一線的高中數學教師，應深刻認識到探究性教學的重要性和必要性，認識到作業是保證課程改革成功的關鍵因素，是促進核心素養發展的重要手段，應深入作業設計研究.在課時作業中合理進行分層作業設計，安排一定比較的探究性作業，作為探究性教學的有效補充，提高學生對基礎知識和基本思想方法的綜合理解和運用，落實數學核心素養.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：43-45.

［2］吳成強.高中數學作業設計減負增效實驗研究［J］.高中數學·高中版，2012，（9）：51.

［3］凌娜. 基于數學核心素養的高中探究性試題的命制［J］.數學大世界，2022，（3）：10.