對2024年天津高考卷第15題的解法探究

摘"要"本文通過分類討論以及分離參數兩種策略求解了2024年天津卷第15題，研究了此類問題的一般規律，并據此命制了變式問題.

關鍵詞"分類討論；參數分離；零點

通過梳理近幾年的天津卷試題可發現，其選擇或填空的壓軸題常常以函數的零點為背景，考察參數的取值范圍.此類問題涉及到的函數較為簡單，但參數與變量的結合較為“緊密”.解決此類問題通常有兩種策略：一是通過分類討論對函數進行化簡求解；二是通過分離參數將范圍問題轉化為最值問題.2024年天津卷第15題便是此類問題，本文通過兩種策略研究了該問題，現將探究過程整理如下，以饗讀者.

一、試題分析

題目"若函數f（x）=2x2－ax－ax－2+1有唯一零點，求a的取值范圍．

分析"通過零點的定義，原函數存在唯一零點等價于2x2－ax=ax－2－1，等價于函數g（x）=2x2－ax與函數h（x）=ax－2－1有且僅有一個交點.兩個函數都較為“簡單”，但兩邊都含有參數.可通過分類的思想，確定函數的圖象，從而求得交點.對于函數g（x），其函數圖象為“雙曲線”的部分圖象，其參數a影響“頂點”的具體位置；函數h（x）為一個“V”形圖象，其參數a影響“V”的傾斜程度.如何進行分類則成為本題的最大難點；其次，參數a與變量x深度融合，分離參數也較為困難.

二、解法呈現

解法1"（分類討論，確定圖象求解）當a=0時，g（x）=2x，h（x）=1，則x=±12，不符合要求，舍去.

當agt;0時，函數g（x）的定義域為（－，0］∪［a，+）.函數h（x）的表達式為h（x）=ax－3，x≥2a，1－ax，xlt;2a.現考慮x∈（－，0］時的零點.原函數的零點等價于方程2x2－ax=1－ax的解.上述方程等價于（4－a2）x2－2ax－1=2+ax+12－ax－1=0，當a=2時，即4x+1=0，即x=－14，當a∈0，2，x=－12+a或x=12－agt;0（舍）；當a∈（2，+）時，x=－12+alt;0或x=12－alt;0，有兩解（舍）；由此可得當a∈（0，2］時，原函數在（－，0］內有唯一零點，此時需要求原函數在［a，+）內無零點.

對于函數g（x），令gx=y=2x2－ax，化簡可得x－a22a24－y2a2=1（y≥0，x≥a）.其圖象為雙曲線右支且位于x軸上方的部分，其漸進線為l：y=±2（x－a2）.

原問題轉換為“V”形圖象h（x）與雙曲線的交點.考慮到參數a在函數h（x）中的幾何意義（直線的斜率），且有a∈（0，2］，則可得函數h（x）的兩個零點與雙曲線與x軸交點的位置關系.圖1等價于1alt;a，3agt;a，解得1lt;alt;3，如圖1所示.

當alt;0時，函數g（x）的定義域為（－，a］∪［0，+）.函數h（x）的表達式為hx=ax－3，x≤2a，1－ax，xgt;2a.現考慮x∈［0，+）時的零點，原函數的零點等價于方程2x2－ax=1－ax的解.

同上述解法，可得，當a∈（－2，0］時，原函數在［0，+）內有唯一零點，此時需要求原函數在（－，a］內無零點.與上述構造雙曲線的方式一樣同理可得a∈（－3，－1），過程略.綜上即可得a∈（－3，－1）∪（1，3）.

評注"該解法求解的過程有兩個核心難點，一是確定分類的標準；二是通過構造雙曲線通過幾何視角研究零點的存在性.在具體的求解過程中，非常容易出現“遺漏”與“重復”，求解的難度較大.

解法2"（分離參數）經過筆者的不斷探索，將原問題進行了等價轉化才實現了參數分離，其本質上是構造了一個復合函數.令ax=m，即有x=ma（將x視為關于m的一次函數）.此時f（x）=2m2a2－m－m－2+1.令g（m）=2m2a2－m－m－2+1，因為x是關于m的單調函數，函數g（m）的零點個數與函數f（x）的零點個數相同.但僅有一個“參數”，達到了消參的目的.實現了參數分離.

令g（m）=0，即2m2a2－m=m－2－1=m－3，m≥3，1－m，m≤1.此時進行參數分離，上述方程等價于1a2=94m2－12m+14，m≥3，14m2+12m+14，m≤1.此時令t=1m，上述方程等價于1a2=94t2－12t+14，0lt;t≤13，14t2+12t+14，t≥1或tlt;0.

為了滿足原函數僅有一個零點，等價于上述方程僅有一個解.如圖2，顯然可得1a2∈（13，1），即可得a∈（－3，－1）∪（1，3）.

評注"該解法通過構造一個單調函數所形成的復合函數，其零點個數與原函數相同.并同時將變量進行了“集中化”處理.此外，該解法還涉及到分段函數的參變量分離［1］，需要分段構造分離后的函數表達式.

三、變式探究

反思上述過程，原函數中的核心部分為根號下的二次函數以及絕對值中的一次函數.為此筆者考慮更改參數的位置以及二次函數的運算形式進行變式探究.

變式1"若函數f（x）=ax2－x－ax－2+1有唯一零點，求a的取值范圍．

變式2"若函數f（x）=ax2－x－ax－2+1有兩個零點，求a的取值范圍．

變式3"若函數f（x）=ax－1－ax2－x有兩個零點，求a的取值范圍．

以變式2為例求解如下：仿照上述解法2，令ax=m，即有x=ma（將x視為關于m的一次函數）.此時f（x）=m2－ma－m－2+1，令g（m）=m2－ma－m－2+1，因為x是關于m的單調函數，函數g（m）的零點個數與函數f（x）的零點個數相同.令g（m）=0，等價于m2－ma=m－2－1=m－3，m≥2，1－m，mlt;2.注意到當m=1時，方程恒成立，m=0時，方程不成立.此時進行參數分離，上述方程等價于1a=m－3m2－m，m≥2，－1m，mlt;2，（m≠1且m≠0）.

為了滿足原函數有兩個零點，等價于上述方程僅有一個解.如圖3，顯然可得1a∈（－，－1）∪（－1，0），即可得a∈（－，－1）∪（－1，0）.

參考文獻

［1］龍宇.解決含參分段函數問題的四種解法［J］.數理化學習.2021（4）.10-11.