《數學通報》問題2731的證明、加強、推廣與變式

摘"要"本文先給出《數學通報》問題2731的證明，并對結果加強推廣，最后依據不等式的結構特征舉例幾道變式.

關鍵詞"問題2731；不等式；證明；推廣

題目"（《數學通報》2023年第7期問題2731）在△ABC中，求證：sin2A1+cos2B+cos2C+sin2B1+cos2C+cos2A+sin2C1+cos2A+cos2B≤32①.

筆者對①式從證法、加強、推廣、變式四個方面進行探究，撰寫成文，分享給大家.

1.不等式①的證明

證法1"不妨設0＜C＜π2，則cosC＞0，所以sin2A+sin2B+sin2C=32－12（cos2A+cos2B+cos2C）=32－12［2cos（A+B）cos（A－B）+2cos2C－1］=2－cos2C+cosCcos（A－B）≤2－cos2C+cosC=－（cosC－12）2+94≤94.

于是，由權方和不等式可得sin2A1+cos2B+cos2C+sin2B1+cos2C+cos2A+sin2C1+cos2A+cos2B=sin2A3－sin2B－sin2C+sin2B1－sin2C－sin2A+sin2C1－sin2A－sin2B≤sin2A34+sin2A+sin2B34+sin2B+sin2C34+sin2C=3－3（13+4sin2A+13+4sin2B+13+4sin2C）≤3－3·（1+1+1）29+4（sin2A+sin2B+sin2C）≤3－279+9=32.

證法2"由證法1知sin2A+sin2B+sin2C≤94.由射影定理和柯西不等式有a2=（bcosC+ccosB）2≤（b2+c2）（cos2C+cos2B），從而cos2B+cos2C≥a2b2+c2，于是1+cos2B+cos2C≥a2+b2+c2b2+c2，同理可得1+cos2C+cos2A≥a2+b2+c2c2+a2，1+cos2A+cos2B≥a2+b2+c2a2+b2，所以sin2A1+cos2B+cos2C+sin2B1+cos2C+cos2A+sin2C1+cos2A+cos2B≤∑a2（b2+c2）4R2（a2+b2+c2）=∑a2（b2+c2）4R2（a2+b2+c2）=（a2+b2+c2）2－（a4+b4+c4）4R2（a2+b2+c2）

≤（a2+b2+c2）2－13（a2+b2+c2）24R2（a2+b2+c2）=a2+b2+c26R2=23（sin2A+sin2B+sin2C）≤23×94=32.

證法3"由三角公式得cos2A+cos2B+cos2C=12（3+cos2A+cos2B+cos2C）=12［3+2cos（A+B）cos（A－B）+2cos2C－1］=cos2C－cos（A－B）cosC+1=［cosC－12cos（A－B）］2+1－14cos2（A－B）≥1－14cos2（A－B）≥34.

記cos2A+cos2B+cos2C=x，則x≥34.

于是，利用權方和不等式可得sin2A1+cos2B+cos2C+sin2B1+cos2C+cos2A+sin2C1+cos2A+cos2B=（sin2A1+cos2B+cos2C－1）+（sin2B1+cos2C+cos2A－1）+（sin2C1+cos2A+cos2B－1）+3=3－（cos2A+cos2B+cos2C）（11+cos2B+cos2C+11+cos2C+cos2A+11+cos2A+cos2B）≤3－9（cos2A+cos2B+cos2C）3+2（cos2A+cos2B+cos2C）=3－9x3+2x=32+3（3－4x）6+4x≤32.

證法4"由證法3知cos2A+cos2B+cos2C≥34.原不等式等價于1－cos2A1+cos2B+cos2C－1+1－cos2B1+cos2C+cos2A－1+1－cos2C1+cos2A+cos2B－1≤32－3cos2A+cos2B+cos2C1+cos2B+cos2C+cos2A+cos2B+cos2C1+cos2C+cos2A+cos2A+cos2B+cos2C1+cos2A+cos2B≥3211+cos2B+cos2C+11+cos2C+cos2A+11+cos2A+cos2B≥32（cos2A+cos2B+cos2C）.

由權方和不等式知11+cos2B+cos2C+11+cos2C+cos2A+11+cos2A+cos2B≥93+2（cos2A+cos2B+cos2C）故只需證93+2（cos2A+cos2B+cos2C）≥32（cos2A+cos2B+cos2C）cos2A+cos2B+cos2C≥34，該不等式成立，故不等式①成立.

證法5"由證法3知cos2A+cos2B+cos2C≥34.由權方和不等式有

1sin2A+1cos2A+cos2B+cos2C≥4sin2A+cos2A+cos2B+cos2C=41+cos2B+cos2C，

所以11+cos2B+cos2C≤14（1sin2A+1cos2A+cos2B+cos2C），

所以sin2A1+cos2B+cos2C≤14+sin2A4（cos2A+cos2B+cos2C），同理可得另外兩式.故sin2A1+cos2B+cos2C+sin2B1+cos2C+cos2A+sin2C1+cos2A+cos2B

≤14+sin2A4（cos2A+cos2B+cos2C）+14+sin2B4（cos2A+cos2B+cos2C）+14+sin2C4（cos2A+cos2B+cos2C）=34+sin2A+sin2B+sin2C4（cos2A+cos2B+cos2C）=12+34（cos2A+cos2B+cos2C）≤32.

2.不等式①的加強

由sin2A+sin2B+sin2C≤94，筆者對不等式①進行加強，得到

命題1"在△ABC中，有sin2A1+cos2B+cos2C+sin2B1+cos2C+cos2A+sin2C1+cos2A+cos2B≤23（sin2A+sin2B+sin2C）.

證明"原不等式等價于a21+cos2B+cos2C+b21+cos2C+cos2A+c21+cos2A+cos2B≤23（a2+b2+c2）.

由證法2知cos2B+cos2C≥a2b2+c2，所以a21+cos2B+cos2C≤a21+a2b2+c2=a2b2+a2c2a2+b2+c2，所以a21+cos2B+cos2C+b21+cos2C+cos2A+c21+cos2A+cos2B≤2（a2b2+b2c2+c2a2）a2+b2+c2.

由常見不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx，得（x+y+z）2≥3（xy+yz+zx），

所以a2b2+b2c2+c2a2≤13（a2+b2+c2）2，

所以a21+cos2B+cos2C+b21+cos2C+cos2A+c21+cos2A+cos2B≤23（a2+b2+c2）.

3.不等式①的推廣

對不等式①中的常量“1”進行推廣，可以得到

命題2"在△ABC中，k≥1，則sin2Ak+cos2B+cos2C+sin2Bk+cos2C+cos2A+sin2Ck+cos2A+cos2B≤92（2k+1）.

證明"由sin2A+sin2B+sin2C≤94，結合權方和不等式可得∑sin2Ak+cos2B+cos2C=∑sin2Ak+2－sin2B－sin2C≤∑sin2Ak+2－（94－sin2A）

≤∑sin2Ak－14+sin2A=3－（14－k）∑1k－14+sin2A≤3－（14－k）93（k－14）+∑sin2A≤3－（14－k）93（k－14）+94=92（2k+1）.

4.不等式①的變式

對不等式中的次數、三角函數名稱或結構進行改變，可以得到下列變式.

命題3"在△ABC中，有sinA1+cos2B+cos2C+sinB1+cos2C+cos2A+sinC1+cos2A+cos2B≤3.

證明"1+cos2B+cos2C=sin2A+cos2A+cos2B+cos2C，則原不等式等價于∑sinAsin2A+cos2A+cos2B+cos2C≤3.

又cos2A+cos2B+cos2C≥34，所以∑sinAsin2A+cos2A+cos2B+cos2C≤∑sinAsin2A+34，故只需證明∑sinAsin2A+34≤3.

因為A∈（0，π），所以sinA＞0，所以sin2A+34≥234sin2A=3sinA，則sinAsin2A+34≤33.

所以sinA1+cos2B+cos2C+sinB1+cos2C+cos2A+sinC1+cos2A+cos2B≤3.

命題4"在△ABC中，有∑sinA1+cos2B+cos2C≤322.

證明"由證法2知cos2B+cos2C≥a2b2+c2，結合正弦定理得cos2B+cos2C≥sin2Asin2B+sin2C，

于是∑sinA1+cos2B+cos2C≤∑sinA1+sin2Asin2B+sin2C=∑sinAsin2B+sin2Csin2A+sin2B+sin2C.

因為∑sin2A≤94，由柯西不等式得

（∑sinAsin2B+sin2C）2≤∑sin2A∑（sin2B+sin2C）=2（∑sin2A）2≤92∑sin2A，

即∑sinAsin2B+sin2C≤322∑sin2A，所以∑sinA1+cos2B+cos2C≤322.

命題5"在△ABC中，有sinA1－sinBsinC+sinB1－sinCsinA+sinC1－sinAsinB≤33.

證明"因為sinBsinC=－12［cos（B+C）－cos（B－C）］≤－12［cos（B+C）－1］=12（1+cosA），

所以1－sinBsinC≥1－12（1+cosA）=12（1－cosA）=sin2A2，

故1－sinBsinC≥sinA2，sinA1－sinBsinC≤2cosA2.

同理可得sinB1－sinCsinA≤2cosB2，sinC1－sinAsinB≤2cosC2.

以上三式相加得sinA1－sinBsinC+sinB1－sinCsinA+sinC1－sinAsinB≤2（cosA2+cosB2+cosC2）.

又熟知cosA2+cosB2+cosC2≤332，所以sinA1－sinBsinC+sinB1－sinCsinA+sinC1－sinAsinB≤33.

對不等式①繼續(xù)變式，可得下述結論

命題6"（2011年第七屆北方數學邀請賽試題）在△ABC中，有11+cos2A+cos2B+11+cos2B+cos2C+11+cos2C+cos2A≤2.

命題7"在△ABC中，有11+sin2A+sin2B+11+sin2B+sin2C+11+sin2C+sin2A≥65.

命題8"在△ABC中，有11+cot2A+cot2B+11+cot2B+cot2C+11+cot2C+cot2A≤95.

命題9"在銳角△ABC，有13+tan2A+tan2B+13+tan2B+tan2C+13+tan2C+tan2A≤13.

仿照命題2，又可將上述四個命題推廣為

命題10"在△ABC中，λ≥1，則∑1λ+cos2A+cos2B≤62λ+1.

命題11"在△ABC中，λ≥0，則∑1λ+sin2A+sin2B≥62λ+3.

命題12"在△ABC中，λ≥13，則∑1λ+cot2A+cot2B≤93λ+2.

命題13"在銳角△ABC中，λ≥3時，有∑1λ+tan2A+tan2B≤3λ+6.

囿于篇幅，上述結論的證明留給有興趣的讀者.