切線放縮以直代曲，構(gòu)建模型探求本質(zhì)

摘"要"本文通過切線放縮法求解了一道關于求解參數(shù)范圍問題的壓軸題，并據(jù)此探究了命制此類試題的一般模式.

關鍵詞"切線放縮；凹函數(shù)；極值點偏移

放縮法是求解參數(shù)范圍問題的常見策略，但放縮的方式以及放縮的精度對問題的解答有很大的影響.其中“切線放縮”［1］是一種常見的放縮策略，可實現(xiàn)“以直代曲”的妙用.在2024年佛山市高二期末測試第19題中，就需要多次應用該技巧進行求解.本文將詳細展示該問題的求解過程，并據(jù)此探究命制此類問題的一般策略.

一、試題及分析

已知函數(shù)f（x）=（x－1）（ex－1）－a（a＞0）.證明：

（1）f（x）在（－，0）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增；

（2）若f（x）的兩個零點為x1，x2（x1＜x2），則（?。﹛1+x2＜1；（ⅱ）x2－x1＜1+aee－1．

分析"本題第（1）問是為了確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，為第（2）問提供必要的思維基礎.通過導數(shù)的幾何意義即可進行證明，過程略.對于第（2）問，函數(shù)f（x）的零點可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=（x－1）（ex－1）與直線l：y=a的交點的橫坐標.也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）=ex－1與函數(shù)φ（x）=ax－1的交點的橫坐標.同理也可轉(zhuǎn)化成其他的函數(shù)形式，對于不同的函數(shù)可以采用不同的放縮策略進行求解.

二、解法呈現(xiàn)

對于所求的不等式還可通過極值點偏移等技巧進行證明，其證明思路可文［2］，本文略.本文僅展示“切線放縮”的技巧進行證明.

對于不等式x1+x2＜1.考慮函數(shù)h（x）=ex－1以及函數(shù)φ（x）=ax－1，其圖象如圖1，則x1＜0，1＜x2，注意到函數(shù)h（x）=ex－1在點（0，0）處的切線為l1：y=x，其中切線l1恒在函數(shù)h（x）的下方.

設直線l1與函數(shù)φ（x）的交點為x*1，x*2.顯然可得0＞x*1＞x1，x*2＞x2＞1，從而可得x*1+x*2＞x1+x2.若有x*1+x*2≤1成立，則原不等式成立.

聯(lián)立直線l1與函數(shù)φ（x）=ax－1，可得x2－x－a=0，則有x*1，x*2是該方程的兩個解.根據(jù)韋達定理可得x*1+x*2=1，從而可得原不等式成立.

對于不等式x2－x1＜1+aee－1，考慮函數(shù)g（x）=（x－1）（ex－1）與直線l：y=a，圖2據(jù)此也可得x1＜0，1＜x2，如圖2所示.設函數(shù)g（x）=（x－1）（ex－1）在點（0，0）處的切線為l2：y=－x，在點（1，0）處的切線為l3：y=（e－1）（x－1）.

其中直線l2，l3恒在函數(shù)g（x）的下方（該結(jié)論將在后文進行詳細闡述）.設直線l2與l的交點為x+1，直線l3與l的交點x+2，顯然可得x+1＜x1，x+2＞x2，從而可得x+2－x+1＞x2－x1.若有x*2－x*1≤1+aee－1成立，則原不等式成立.

根據(jù)上述分析可知x+1=－a，x+2=1+ae－1，兩式相減可得x*2－x*1=1+aee－1，從而可得原不等式成立.

三、模型分析

在上述求解過程中一共出現(xiàn)了三條切線，三條切線都位于相應的函數(shù)下方.其中兩條切線l1與l3所對應的函數(shù)為“凹函數(shù)”其結(jié)論具有一般性（后文將進行詳細證明），而l2所對應的函數(shù)“凹凸性”發(fā)生過轉(zhuǎn)化，現(xiàn)對其進行說明如下：

為了證明直線l2恒在函數(shù)g（x）的下方等價于（x－1）（ex－1）≥－x恒成立，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)F（x）=（x－1）（ex－1）+x，求導可得F′（x）=xex，顯然可得F（x）在（－，0）上單調(diào)遞減，在（0，+）上單調(diào)遞增.從而可得F（x）的最小值為F（0）=0，即可得命題成立.

為了說明“凹函數(shù)”位于切線上方的一般性，現(xiàn)將“凹凸函數(shù)”的判定規(guī)則簡介如下：考慮函數(shù)f（x）的二階導，若f″（x）≤0，則函數(shù)f（x）為“凸函數(shù)”；若f″（x）≥0，則函數(shù)f（x）為“凹函數(shù)”［3］.

定理1"已知函數(shù)f（x）為“凹函數(shù)”，設其在點（x0，f（x0））處的切線為lx0：y=f′（x0）（x－x0）+f（x0），則有l(wèi)x0恒在函數(shù)f（x）的下方.

證明"上述問題等價于f（x）－f′（x0）（x－x0）－f（x0）≥0.

構(gòu)造函數(shù)G（x）=f（x）－f′（x0）（x－x0）－f（x0），求導可得G′（x）=f′（x）－f′（x0），再次求導可得G″（x）=f″（x），根據(jù)條件可得G″（x）≥0，即有G′（x）單調(diào)遞增.

易知G′（x0）=f′（x0）－f′（x0）=0，即可得在（－，x0）上G′（x0）＜0，在（x0，+）上G′（x0）＞0.從而可得G（x）在（－，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+）上單調(diào)遞增，又因為G（x0）=0，即可得上述命題成立.

回到原問題，對于函數(shù)h（x）=ex－1，求二階導可得h″（x）=ex，顯然可得h″（x）≥0，即有函數(shù)h（x）為“凹函數(shù)”，所以原命題成立.

而對于函數(shù)g（x）=（x－1）（ex－1），求二階導可得g″（x）=（x+1）ex，當x∈（－1，+）時，g″（x）＞0，此時函數(shù)g（x）為“凹函數(shù)”；當x∈（－，－1）時，g″（x）＜0，此時函數(shù)g（x）為“凸函數(shù)”.而直線l3位于“凹函數(shù)”部分的下方，所以結(jié)論顯然成立.而l2的上方存在部分的“凸函數(shù)”，故需單獨進行驗證.

再注意到limx→－g′（x）=limx→－（xex－1）=－1以及g′（x）的單調(diào)性可知，當x∈（－，0）時，g′（x）＜－1恒成立.由此即可說明即使函數(shù)g（x）的“凹凸性”發(fā)生了變化，其圖象也始終位于切線l2的上方.

四、問題拓展及變式研究

縱觀上文可知，不等式證明核心在于切線的選擇，對原不等式進行適當?shù)胤趴s.那么能否選擇更優(yōu)化的切線對不等式的上限進行優(yōu)化呢？筆者進行了如下嘗試.

設函數(shù)h（x）=ex－1在點（x0，ex0－1）處的切線方程為y=ex0（x－x0）+ex0－1，聯(lián)立該切線與曲線φ（x）=ax－1可得二次方程ex0x2－（x0ex0+1）x+x0ex0－ex0+1－a=0.

根據(jù)韋達定理可得其兩根之和為x0ex0+1ex0=x0+1ex0，根據(jù)上述解法即可得x1+x2＜x0+1ex0恒成立，即有x0+1ex0為x1+x2的上限.原問題即是選擇了x0=0時的值.為了優(yōu)化其上限，構(gòu)造函數(shù)H（x）=x+e－x，求導得H′（x）=1－e－x，則H（x）在（－，0）上單調(diào)遞減，在（0，+）上單調(diào)遞增，從而H（x）的最小值為H（0）=1.

由此即可得原問題所選擇的上限即為通過切線放縮所能獲得的最優(yōu)上限，若利用其他放縮技巧還可使得上限更加精確，如當x∈（0，+）時，還可通過不等式ex－1＞x+x22進行放縮，但涉及到的運算量較為復雜.

基于上述分析，筆者探究出了原問題的基本模型.

模型一"設函數(shù)f（x）=g（x）·h（x）－a的兩個零點為x1，x2（x1＜x2），其中g（x）為“凹函數(shù)”，設直線l是函數(shù)g（x）的一條切線.設l與ah（x）的交點之和為Δ，則有x1+x2＜Δ成立.

模型二"設函數(shù)y=f（x）－a的兩個零點為x1，x2（x1＜x2），其中f（x）為“凹函數(shù)”且有兩個零點x*1，x*2，設函數(shù)f（x）在兩個零點處的切線分別為l1，l2.設直線l1，l2與直線l：y=a的交點之差為Δ，則有x2－x1＜Δ成立.

由此，如下兩個變式供讀者練習.

變式1"已知函數(shù)f（x）=ax－1（a＞0），g（x）=ln10x+10.若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）有兩個交點，設兩個交點過的橫坐標為x1，x2（x1＜x2）.求證：x1+x2＜1．

變式2"已知函數(shù)f（x）=x4－x－a（a＞0）.若f（x）的兩個零點為x1，x2（x1＜x2）.求證：x2－x1＜1+4a3．

五、教學建議

1.挖掘教材，尋找切線放縮的素材，幫助學生形成切線放縮的思維模式

在教材中具有豐富的相關案例，如在人教A版教材選擇性必修二第94頁有習題：證明不等式x－1≥lnx；以及97頁的練習：證明不等式sinx＜x（x∈（0，π））以及99頁的練習：證明不等式ex≥x+1，并通過函數(shù)圖象進行直觀驗證.在教學的過程中要善于挖掘相關的經(jīng)典模型，理解其思維本質(zhì).為后續(xù)形成切線放縮的思維方法打下理論基礎.

2.將零點問題轉(zhuǎn)化為不同函數(shù)間的交點問題，并通過圖象進行展示，提升學生的數(shù)形結(jié)合思想

通過不同的視角解釋兩個零點的幾何意義，為放縮法指明了方向.同時通過圖象，將不等關系可視化，明確了不等式的幾何意義，理解了各個參數(shù)對于零點變化的影響，幫助學生形成數(shù)形結(jié)合的思維方式，提升學生直觀想象的核心素養(yǎng).

3.拓展模型，總結(jié)提升

在求解問題的基礎上，總結(jié)出試題的一般模型.挖掘出命題者的命制意圖，幫助學生理解試題的命制過程，克服面對陌生問題的心理恐懼，提升解決問題的自信心.

參考文獻

［1］龍宇.巧用“切線法”求解函數(shù)不等式［J］.中學數(shù)學研究（江西師大）.2018（3）.28-29.

［2］龍宇.極值點偏移與拐點偏移的本質(zhì)探究［J］.數(shù)理化學習.2022（4）.27-29.

［3］代建云.利用函數(shù)的凹凸性探究切線問題［J］.中學數(shù)學研究（江西師大）.2023（10）.19-21.