一道橢圓離心率試題的多解探究

摘"要"本文對一道橢圓離心率問題進行探究，給出了多種解法.

關(guān)鍵詞"橢圓離心率；求法；探究

1.試題呈現(xiàn)

如圖1所示，已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為Γ的左、右焦點，上頂點為B（0，b），弦AB過F1，弦AC過F2，且AB⊥BC，求橢圓Γ的離心率e.

試題設(shè)問語言簡潔干脆，寥寥數(shù)語將曲線形幾何圖形橢圓與直線形幾何圖形三角形糅合在一起，考查橢圓離心率的求解.試題中并未給出一個具體的數(shù)字，然而所求橢圓的離心率卻是一個定值，變化中蘊含著不變，刻畫了橢圓中的一個優(yōu)美結(jié)論.

2.解法探究

解法1"（常規(guī)運算）設(shè)直線AB：bcx－y+b=0①，因為AB⊥BC，故直線BC：cbx+y－b=0②.又橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）③，聯(lián)立①③得A（－2a2ca2+c2，b3a2+c2），

聯(lián)立②③得C（－2a2b2cb4+a2c2，b5－a2c2b4+a2c2）.又因為A，F(xiàn)2，C三點共線，故kAF2=kCF2，即b3a2+c2－2a2ca2+c2－c=b5－a2c2b4+a2c2）－2a2b2cb4+a2c2－c，化簡整理得a2=3c2，即離心率e=33.

解法2"（曲線系方程）設(shè)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），則易得直線AB：bcx－y+b=0，直線BC：cbx+y－b=0，直線AC：x=my+c又橢圓在點B（0，b）處的切線為y=b，則過A，B，C三點的二次曲線系方程為

（bcx－y+b）（cbx+y－b）+λ（y－b）（x－my－c）=μ（x2a2+y2b2－1）（λ，μ∈R）考慮方程左右兩邊以下各項的系數(shù)，有x2項1=μa2①，xy項bc－cb+λ=0②，常數(shù)項－b2+bcλ=－μ③，

聯(lián)立①②②得a2=3c2，即離心率e=33.

解法3"（平移構(gòu)造齊次式）將坐標系向上平移b個單位，則平移后的橢圓Γ′：x2a2+（y+b）2b2=1（agt;bgt;0），去分母整理得b2x2+a2y2+2a2by=0①，設(shè)平移后的直線A′C′：mx+ny=1②，因為直線A′C′過點F2′（c，－b），故滿足mc－bn=1③.

聯(lián)立①②得b2x2+a2y2+2a2by（mx+ny）=0④，由于x≠0，④式左右兩邊同時除以x2，整理得（2a2bn+a2）·（yx）2+2a2bm·yx+b2=0⑤.又因為A′B′⊥B′C′，故kA′B′·kB′C′=－1=b22a2bn+a2，即2a2bn+a2+b2=0⑥.由③⑥得m=c2a2⑦.又kA′B′=bc為方程5的一個根，代入得（2a2bn+a2）·（bc）2+2a2bm·bc+b2=08，聯(lián)立③⑦⑧得a2=3c2，即離心率e=33.

3.解法評析

以上三種解法各有利弊，針對不同的學(xué)生而言實用性不盡相同.

方法1是常規(guī)運算，運用方程的思想，解出交點的坐標，再利用三點共線求解.此法在思維上較為簡潔，但運算起來較為繁瑣，不一定每個學(xué)生都能準確無誤的運算出來，適合數(shù)學(xué)思維能力較弱，但運算能力較強的學(xué)生.

方法2運用二次曲線系方程，巧妙的避免繁瑣的數(shù)學(xué)運算，將方程的思想運用的淋漓盡致，過程簡潔，可謂是此題的最佳解法.但是對于不熟悉曲線系方程的學(xué)生而言，此法根本想不到.這種方法的巧妙之處在于，直接根據(jù)橢圓上的四個點，得到四條直線（若是三角形問題，則可將其中一較為特殊的點看作兩個點重合得到，此時考慮這一點處的切線），建立過這四點的二次曲線系方程，利用方程左右兩邊對應(yīng)項的系數(shù)相等的原理，直接對比系數(shù)即可.

方法3通過平移坐標系，將橢圓的上頂點平移至坐標原點，再通過直線與橢圓方程的齊次化聯(lián)立，對比方法1中的次數(shù)不對稱聯(lián)立，有效地降低運算量.最后將題設(shè)條件中直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系，結(jié)合韋達定理，最終順利解決問題.

下面對平移構(gòu)造齊次式解題步驟進行歸納：

（1）根據(jù)題設(shè)條件找到斜率之和或斜率之積為定值的關(guān)系式，將兩條直線的公共點（通常此點坐標固定）平移到坐標原點（如：向左平移p個單位，向下平移q個單位），橢圓或雙曲線同時整體進行平移.

（2）寫出平移后的橢圓或雙曲線方程（x+p）2a2±（y+q）2b2=1.

（3）設(shè)出平移后的直線方程mx+ny=1（截距式的變形式）.

（4）構(gòu)造齊次式（以橢圓為例）b2x2+a2y2+（2pb2x+2qa2y）（mx+ny）+（b2p2+a2q2－a2b2）（mx+ny）2=0.

（5）當x≠0時，方程兩邊同時除以x2轉(zhuǎn)化為關(guān)于yx的一元二次方程，借助韋達定理得出直線恒過定點或其他關(guān)系式.

上述三種方法對同一個問題的解決，體現(xiàn)了“一題多解”的解題模式，從不同角度看待同一個問題，能夠使得我們對問題的認識更加深刻.