基于折紙?zhí)骄堪l(fā)展學(xué)生模型意識(shí)的實(shí)踐探索

摘要：以一道期末試題的教學(xué)為例，在學(xué)生對(duì)折疊的認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過折紙的方式，采用問題鏈的形式展開探究；結(jié)合尺規(guī)作圖，學(xué)會(huì)逆向思維，加深對(duì)折疊的認(rèn)識(shí)，通過學(xué)生編題，認(rèn)識(shí)模型，提升思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：折紙?zhí)骄浚怀咭?guī)作圖；模型意識(shí)；數(shù)學(xué)思想

折紙教學(xué)是初中數(shù)學(xué)中一種常見的教學(xué)方法，通過折疊紙張來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念.折紙?jiān)谔K科版八上“軸對(duì)稱圖形”這一章探究軸對(duì)稱（軸對(duì)稱圖形）的性質(zhì)起著非常重要的作用，也為八下研究特殊的四邊形的性質(zhì)供了方法，同時(shí)也為數(shù)學(xué)中幾何證明添加輔助線提供了思路.

1 試題呈現(xiàn)

（2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)期末卷第24題）在三角形紙片ABC（如圖1）中，僅折疊紙片兩次，就能分別在AB，BC，AC上得到點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使四邊形DBEF為菱形.

（1）請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，在圖1中作出菱形DBEF.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

（2）若△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，AB=AC=2，求所作菱形DBEF的面積.（如需畫草圖，請(qǐng)使用備用圖.）

2 試題分析

這是一道折紙與尺規(guī)作圖、計(jì)算相結(jié)合的幾何綜合題，涉及圖形折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.本題滲透了數(shù)形結(jié)合思想、方程意識(shí)和模型觀念，有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 教學(xué)實(shí)施

3.1 動(dòng)手操作，激活模型

問題1 如圖2是一張三角形紙片，如何通過折疊紙片一次，在AB上找一點(diǎn)D，使△BCD是等腰三角形.

方法一：如圖3，過點(diǎn)B折疊，使得點(diǎn)C落在AB上，

與點(diǎn)C重合的點(diǎn)就是點(diǎn)D.

方法二：如圖4，折痕過點(diǎn)C，使得點(diǎn)B落在AB上，與點(diǎn)B重合的點(diǎn)就是點(diǎn)D.

方法三：如圖5，折疊BC，使得點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕與AB的交點(diǎn)就是點(diǎn)D.

教學(xué)說明：通過設(shè)計(jì)一道結(jié)論開放的問題，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)折紙過程中幾何圖形所涉及元素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.利用重合的圖形全等（重合的邊相等、重合的角相等）等知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生容易想到方法一，但同時(shí)想到方法二、三的學(xué)生不多.通過師生共同探討，本題的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在性問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)BC為等腰三角形的腰時(shí)想到方法一和二；當(dāng)BC為等腰三角形的底時(shí)，想到方法三.通過從基本圖形出發(fā)，既回顧了基本知識(shí)點(diǎn)，也激發(fā)了學(xué)生思維的活躍度，從而正向理解折疊的性質(zhì).

3.2 問題深入，強(qiáng)化模型

問題2 如圖6是一張三角形紙片，如何通過折疊紙片，

在AB上找一點(diǎn)D，在AC上找一點(diǎn)E，使△DBE是以BE

為底的等腰三角形.

教學(xué)說明：學(xué)生通過討論，得到點(diǎn)E位置有兩種可能性.

一種是點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，問題就回歸到問題1中的方法三；

另一種是點(diǎn)E在線段AC上（不包括端點(diǎn)A，C）.針對(duì)第二種情況，學(xué)生有以下兩種解決方法.

方法一：如圖7，過點(diǎn)B折疊，使得點(diǎn)C落在AB上，折痕與AC交于點(diǎn)E，再過點(diǎn)E折出一條與BC平行的折痕，該折痕與AB的交點(diǎn)就是點(diǎn)D.

方法二：如圖8，過點(diǎn)B折疊，使得點(diǎn)C落在AB上，折痕與AC交于點(diǎn)E，再折疊BE，使得點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕與AB的交點(diǎn)就是點(diǎn)D.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題2不可能通過一次折疊達(dá)到目的，結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)想到了兩種方法.學(xué)生利用平時(shí)的一個(gè)數(shù)學(xué)基本模型，已知角平線和平行線可以推出等腰三角形，想到方法一，折出與BC平行的折痕，該步驟可以操作，但比較麻煩，需多次折疊才能達(dá)成；學(xué)生利用垂直平分的性質(zhì)想到了方法二，可操作性強(qiáng).通過問題的深化，學(xué)生對(duì)折疊的性質(zhì)有了更深的理解，特別是對(duì)圖形翻折中折痕的作用（對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線）有了更深刻的認(rèn)識(shí).

3.3 結(jié)合尺規(guī)，提升模型

問題3 在三角形紙片ABC中，僅折疊紙片兩次，就能分別在AB，BC，AC上得到點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使四邊形DBEF為菱形.請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，在圖1中作出菱形DBEF.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

教學(xué)說明：在問題1和問題2的基礎(chǔ)上，再來研究問題3就比較容易了.學(xué)生結(jié)合菱形的性質(zhì)和折疊的次數(shù)（僅兩次），通過討論，得到一種比較簡(jiǎn)單的作法——作∠ABC的角平線，交AC與點(diǎn)F，再作BF的垂直平分線，分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，則四邊形DBEF即是所求.本題將尺規(guī)作圖與折紙相結(jié)合，可以讓學(xué)生在實(shí)際操作中加深對(duì)幾何圖形的理解.通過折紙，學(xué)生可以觀察到折紙的幾何圖形的變化，并在尺規(guī)作圖中可以將這些圖形精確地繪制出來，加深對(duì)幾何性質(zhì)的理解，加強(qiáng)逆向思維，提高空間想象能力和解題能力.通過問題1～3的鋪墊，上述期末試題迎刃而解，第二問結(jié)合菱形的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)，利用方程求出最后的答案，詳細(xì)過程不再贅述.

3.4 學(xué)生編題，內(nèi)化模型

教學(xué)過程中，教師經(jīng)常會(huì)采用一題多解、多圖一題、一題多變的形式，將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化，進(jìn)而提高學(xué)生解題能力.其實(shí)，讓學(xué)生參與編題，更能將所學(xué)知識(shí)融入到個(gè)人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，轉(zhuǎn)化為自己的思維能力.結(jié)合問題內(nèi)容，組織學(xué)生以三角形為背景，編制一道關(guān)于折疊的題目.以下選擇了學(xué)生編寫的幾個(gè)有代表性的題目：

題目1 如圖9，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與AC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，若BC=8，AC=7，求

△CDN的周長.

題目2 如圖10，在三角形紙片ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，E為AB的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交BC于點(diǎn)F，已知EF=2，求BC的長.

題目3 如圖11，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=6，BC=8，將△ABC折疊，使點(diǎn)C與AB中點(diǎn)D重合，折痕交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，求線段BN的長.

題目4 如圖12，在△ABC中，∠C＝90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，且DE∥AB，將△ABC沿DE折疊，點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)F處，求AF的長.

教學(xué)說明：學(xué)生參與編題過程，需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行深入理解和整理，需要思考問題的角度、深度、難度，能夠培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)造力.題目3是在題目1的基礎(chǔ)上編制的，而題目4是在題目3的基礎(chǔ)上編制的，學(xué)生學(xué)會(huì)了一題多變，一圖多變，知識(shí)點(diǎn)由淺入深，基本涵蓋了折疊的性質(zhì)，抓住了折疊的核心內(nèi)容、核心思想和核心方法.對(duì)于題目3，教師也作了變式，提出了思考題——如果將條件中“中點(diǎn)”去掉，問題改為在AB上是否存在一點(diǎn)D，使得四邊形CMDN是菱形，此時(shí)CN的長為多少？該問題的設(shè)置既提升了難度，

也為即將學(xué)習(xí)的相似作了鋪墊.通過今后的學(xué)習(xí)，對(duì)于折疊問題，常用勾股定理或相似建立方程來解決.教師應(yīng)立足一道題，串聯(lián)一類題，立足一個(gè)圖形，研究一類圖形，在“內(nèi)化”上下功夫.

4 教學(xué)反思

4.1 重視動(dòng)手操作，提升核心素養(yǎng)

通過實(shí)際操作，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)動(dòng)手能力，激發(fā)創(chuàng)新思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升.在教學(xué)過程中，教師可以結(jié)合教材中的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”“數(shù)學(xué)活動(dòng)”等項(xiàng)目，通過“做”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生感悟、理解數(shù)學(xué)知識(shí)，并能用所學(xué)知識(shí)解決問題.比如蘇科版八上教材“軸對(duì)稱圖形”這一章中有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)“折紙和證明”，教師以此開展項(xiàng)目學(xué)習(xí)，讓學(xué)生為后續(xù)“圖形的折疊”的研究積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本知識(shí)和基本思想方法，同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力［1］.

4.2 加強(qiáng)尺規(guī)作圖，發(fā)展推理能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)于尺規(guī)作圖的學(xué)業(yè)要求是：經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力.尺規(guī)作圖是逆向思維形成的結(jié)果，特別需要推理能力［2］.通過畫出草圖，再結(jié)合圖形的基本性質(zhì)，從不同的角度展開聯(lián)想，得到不同的方法，并且要驗(yàn)證其合理性和可操作性.綜合性強(qiáng)的尺規(guī)作圖的結(jié)果具有開放性和探索性，有時(shí)還需要從中找到最優(yōu)解法，這對(duì)學(xué)生推理能力的形成有很好的助推作用.

4.3 立足單元設(shè)計(jì)，落實(shí)深度學(xué)習(xí)

教師要有全局觀念，整體把握所教內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生建立知識(shí)之間聯(lián)系的意識(shí)和能力，不孤立地學(xué)習(xí)一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是隨著學(xué)習(xí)的不斷推進(jìn)，將知識(shí)串聯(lián)起來，形成知識(shí)鏈和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，提升核心素養(yǎng).比如教師進(jìn)行折疊復(fù)習(xí)時(shí)宜采用單元教學(xué)，從折紙中最簡(jiǎn)單的問題出發(fā)，到三角形的折疊，再上升到到四邊形的折疊，讓學(xué)生對(duì)折疊的本質(zhì)和勾股定理、相似、方程等知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系有深刻的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想和方程思想，將“習(xí)題鏈”上升到“方法鏈”“思想鏈”，從而達(dá)到對(duì)折疊的深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1]劉曉玫，黃延林.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（學(xué)科教學(xué)指南＼5初中數(shù)學(xué)）[M].北京：教育科學(xué)出版社，2019.

[2]唐萍.在問題探究中促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2024（2）：35-37.