“探索相似三角形的條件：黃金分割”教學(xué)案例

1 教學(xué)分析

1.1 教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)內(nèi)容是北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第四章第4節(jié)中“探索相似三角形的條件：黃金分割”.它不僅是線段的比的延續(xù)，還與相似三角形有著至關(guān)重要的聯(lián)系.探究黃金分割，不僅可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、概括的能力，更能促進(jìn)學(xué)生審美意識(shí)的發(fā)展.

1.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）能說(shuō)出黃金分割的概念，知道黃金分割點(diǎn)，能求出黃金分割比，能根據(jù)黃金分割的定義和性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng)度；

（2）通過(guò)動(dòng)手操作，能規(guī)范作出一條線段的黃金分割點(diǎn)，能說(shuō)出黃金矩形和黃金三角形的特征；

（3）通過(guò)了解黃金分割的現(xiàn)實(shí)意義，探尋其背后承載的文化價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光欣賞世界.

1.3 重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：能說(shuō)出黃金分割的概念，知道黃金分割點(diǎn)，能求出黃金分割比，能根據(jù)黃金分割的定義和性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng)度.

難點(diǎn)：通過(guò)動(dòng)手操作，能作出一條線段的黃金分割點(diǎn)，能說(shuō)出黃金矩形和黃金三角形的特征.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 環(huán)節(jié)一：黃金分割——發(fā)現(xiàn)美

展示圖1.

師：（問(wèn)題1）這是老師在國(guó)慶期間出門游玩的時(shí)候拍的照片，這四張照片中都有莊嚴(yán)而美麗的國(guó)旗，你們知道國(guó)旗上的五角星象征著什么嗎？

生：大五角星代表共產(chǎn)黨，四個(gè)小五角星代表工人、農(nóng)民、小資產(chǎn)階級(jí)和民族資產(chǎn)階級(jí).

師：（問(wèn)題2）為什么用五角星而不是四角星或六角星或其他角星？

生：因?yàn)槲褰切强雌饋?lái)更美.

師：（問(wèn)題3）五角星美在何處？本節(jié)課我們就從數(shù)學(xué)的角度揭示它美的本質(zhì).接下來(lái)我們進(jìn)入“探索三角形相似的條件：黃金分割”的學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們先閱讀本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo).（板書(shū)課題.）

教學(xué)說(shuō)明：?jiǎn)栴}1的設(shè)計(jì)旨在對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)教育，同時(shí)也引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題；問(wèn)題2的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生回答五角星很美；問(wèn)題3的設(shè)計(jì)承接了上一問(wèn)題，同時(shí)自然地過(guò)渡到下一環(huán)節(jié).

2.2 環(huán)節(jié)二：黃金分割——探索美

展示如圖2所示的五角星圖形.

師：這是一個(gè)正五角星，從數(shù)學(xué)的角度看，它是一個(gè)什么對(duì)稱圖形？

生：軸對(duì)稱圖形、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.

師：請(qǐng)同學(xué)們找出圖中有幾種長(zhǎng)度不同的線段、幾種大小不同的角？

生：四種長(zhǎng)度不同的線段，分別是與線段AL，AC，AB，LC相等的線段；三種大小不同的角，分別是與∠A，∠ALD，∠DLC相等的角.

師：根據(jù)這些線段和角的關(guān)系，猜想ACAB與BCAC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.

生：相等.連接DC，可知DC∥HB，得△ACD∽△ABH，所以ACAB=ADAH.又因?yàn)锳D=BC，AH=AC，所以ACAB=BCAC.

師：C點(diǎn)非常特殊，它將線段AB分成較長(zhǎng)線段AC和較短線段BC，并且滿足長(zhǎng)全=短長(zhǎng)，我們把這樣的點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)，把AC與AB的比叫做黃金比.（展示黃金分割的定義.）

學(xué)生理解定義，并在學(xué)案上補(bǔ)充完善黃金分割的概念.

師：所以當(dāng)ACAB=BCAC時(shí)，感覺(jué)到五角星很美，那么這個(gè)比值究竟是多少？請(qǐng)嘗試計(jì)算出來(lái).

學(xué)生獨(dú)立思考，在學(xué)案上進(jìn)行演算.設(shè)AB=1，AC=x，則x1=1－xx，解得x1=5－12，x2=－5－12（負(fù)值舍去）.

師：請(qǐng)學(xué)生講解思路（肯定他們的回答）.黃金比約等于0.618，而長(zhǎng)邊與短邊的比值約等于1.618.

教學(xué)說(shuō)明：利用五角星問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)一個(gè)有利于理解的情境，鼓勵(lì)學(xué)生思考線段間的比例關(guān)系，這樣的探索活動(dòng)，既充分應(yīng)用了相似三角形的知識(shí)，又自然地引出了黃金分割.

2.3 環(huán)節(jié)三：黃金分割——應(yīng)用美

展示圖2.

師：讓我們把目光再次放到五角星上來(lái)，在線段AB上有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？

生：觀察五角星圖形，得出有點(diǎn)C和L兩個(gè)黃金分割點(diǎn).

師：請(qǐng)計(jì)算LEEB和CLKL的值.

生：LEEB=5－12，因?yàn)長(zhǎng)E=AC，EB=AB.CLKL=5－12.設(shè)AB=2，則AC=BL=5－1，所以AL=BC=KL=3－5，CL=25－4，所以CLKL=5－12.

師：（肯定學(xué)生的回答）在等腰三角形KLC中，底邊與腰長(zhǎng)之比是黃金比，在等腰三角形LEB中，腰長(zhǎng)與底邊之比也是黃金比，我們把這樣的三角形稱為黃金三角形.若給出一條線段AB，怎樣找出AB的黃金分割點(diǎn)呢？請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，合作討論.

學(xué)生小組合作討論，嘗試找出線段的黃金分割點(diǎn).

師：巡視小組合作情況，并作指導(dǎo)，讓學(xué)生思考5的幾何意義，構(gòu)造兩直角邊分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度和2個(gè)單位長(zhǎng)度的直角三角形，發(fā)現(xiàn)斜邊為5個(gè)單位長(zhǎng)度.

生：把線段AB看成2個(gè)單位長(zhǎng)度，作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線l，如圖3.以B為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交l于點(diǎn)E，如圖4，連接AE，則斜邊AE的長(zhǎng)為5個(gè)單位長(zhǎng)度.如圖5，以點(diǎn)E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑，畫(huà)弧交AE于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為（5－1）個(gè)單位長(zhǎng)度.如圖6，再以A為圓心，AF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)C，則C為線段AB的黃金分割點(diǎn).

師：這位同學(xué)能夠想到用直角三角形來(lái)構(gòu)造5，這種作圖法由數(shù)學(xué)家海倫提出過(guò)，看來(lái)這位同學(xué)非常有數(shù)學(xué)家的潛力.還有其他方法嗎？

生：以AB為邊，作一個(gè)頂角為36°的等腰三角形，則底角為72°，如圖7.再作∠ACB的角平分線，交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)，如圖8.理由是△ACB∽△CDB，則BCAB=BDBC，又因?yàn)锽C=CD=AD，所以ADAB=BDAD，滿足黃金分割的定義.

師：這位同學(xué)的做法很棒，他不僅利用了剛剛所學(xué)的黃金三角形知識(shí)，還向我們介紹了其中一種黃金三角形的角的特征，即頂角是36°的等腰三角形.看來(lái)你們已經(jīng)具備了從數(shù)聯(lián)想到形的這一能力，如果給出圖形，相信你們也能從中體會(huì)到數(shù)的意義.請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本第98頁(yè)黃金分割點(diǎn)的作圖步驟，思考為什么H是線段AB的黃金分割點(diǎn).

生：類比上面作圖的原理.設(shè)AB=2，則AE=1，由勾股定理得BE=5.

所以EF=BE=5，AH=AF=BE-AE=5-1，BH=AB-AH=3-5.

所以AH2=AB瘙簚BH，即AHAB=BHAH.

師：（肯定學(xué)生的回答）這種作法叫做歐幾里得作圖法.

教學(xué)說(shuō)明：得出黃金分割的定義后，再次回歸到五角星中，提問(wèn)一條線段有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)和計(jì)算線段的比值，意在進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)黃金分割點(diǎn)的定義；之后讓學(xué)生合作討論“如何作出一條線段的黃金分割點(diǎn)”，意在讓學(xué)生從形的角度理解5－12的意義，開(kāi)闊學(xué)生的視野，提升學(xué)生的思維品質(zhì).同時(shí)采用小組合作，動(dòng)手嘗試，激發(fā)學(xué)生的動(dòng)手能力和探索興趣.

2.4 環(huán)節(jié)四：黃金分割——感受美

師：通過(guò)剛剛找黃金分割點(diǎn)的活動(dòng)，相信你們已經(jīng)更加深刻地理解了黃金分割，事實(shí)上，黃金分割早在古希臘時(shí)期就已經(jīng)應(yīng)用于建筑領(lǐng)域中了.圖9是古

希臘時(shí)期的巴臺(tái)農(nóng)神廟，如果把圖9中用虛線表示的矩形畫(huà)成圖10中的ABCD，以矩形ABCD的寬為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)BEBC=BCAB.思考：（1）點(diǎn)E是線段AB的黃金分割點(diǎn)嗎？（2）矩形ABCD的寬與長(zhǎng)的比是黃金比嗎？

生：根據(jù)BC=AE可知點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，矩形ABCD的寬與長(zhǎng)的比是黃金比.

師：我們把寬與長(zhǎng)的比是黃金比的矩形稱為黃金矩形.

師：矩形EBCF是黃金矩形嗎？

生：矩形EBCF是黃金矩形.

師：對(duì)矩形ABCD以BC為邊作正方形，再以EB為邊長(zhǎng)作正方形，以此類推，將正方形的對(duì)角線用曲線連接起來(lái)，能得到什么呢？展示作圖步驟，得出黃金螺旋構(gòu)圖也稱為斐波那契螺線（如圖11）.下面通過(guò)一個(gè)小視頻，一起來(lái)了解一下黃金分割在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用（播放現(xiàn)實(shí)生活中利用黃金分割的例子）.

學(xué)生觀看現(xiàn)實(shí)生活中利用黃金分割的視頻，感受黃金分割的魅力.

教學(xué)說(shuō)明：古希臘時(shí)期的巴臺(tái)農(nóng)神廟，這一歷史文化與黃金分割有關(guān)，意在展示黃金分割的文化價(jià)值，同時(shí)借此引出黃金矩形這一概念，在此基礎(chǔ)上提出黃金螺旋構(gòu)圖，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)黃金分割在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用極為廣泛.從歷史中的美，到用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言揭示美，最后又應(yīng)用于生活，旨在讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光欣賞世界.

2.5 課堂小結(jié)：黃金分割——收獲美

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，相信你們?cè)跀?shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和情感體驗(yàn)等方面都有了深刻的認(rèn)識(shí)和收獲，請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勀銈兊南敕ǎ?/p>

生1：知道了黃金分割點(diǎn)，即將一條線段分成長(zhǎng)短兩條線段，滿足長(zhǎng)∶全=短∶長(zhǎng)=5－12.

生2：在整個(gè)探索過(guò)程中，用到了比例思想和數(shù)形結(jié)合思想，也知道了黃金分割應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如建筑、攝影、自然界等.

師：兩個(gè)同學(xué)都回答得很好！黃金分割的發(fā)現(xiàn)和研究經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程，在學(xué)習(xí)中我們了解到古代數(shù)學(xué)家對(duì)黃金分割的探索和貢獻(xiàn)，這激勵(lì)著我們要有探索未知的精神，勇于追求真理.老師也想借此送給你們幾句話，從幼兒園到大學(xué)畢業(yè)有將近19年的求學(xué)生涯，而黃金分割點(diǎn)恰好就是九年級(jí)的這一年，希望你們能夠把握好這黃金分割的一年，實(shí)現(xiàn)人生的飛躍.最后老師將本節(jié)課的內(nèi)容寫成了一首打油詩(shī)：

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整體兩分呈妙比，

長(zhǎng)比全兮若短長(zhǎng).

十九春秋求學(xué)路，

九年奮斗恰當(dāng)中.

教學(xué)說(shuō)明：幫助學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識(shí)的習(xí)慣，加深認(rèn)識(shí)，深化提高，形成自己的知識(shí)體系.同時(shí)結(jié)束語(yǔ)中再次引入黃金分割點(diǎn)，將其與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合，達(dá)到激勵(lì)學(xué)生的目的.