黃金分割：真與美的統一

黃金分割，美的代名詞.美在何處？課堂教學中又如何讓學生感受其美？王芝鳳老師的這節課給了我們以啟示.

1 由外及內展神韻

羅丹說，世界并不缺少美，而是缺少發現美的眼睛.王老師從教室、校園、街上的國旗上的五星紅旗出發，引導學生發現五星紅旗是簡單平面幾何圖形中最美的圖形之一，這種美首先是一種直覺，是外在美.到底是什么原因讓人們感到美？一定是線段之間的比例關系，是知識的內在美.

在引導學生根據五角星的對稱性尋找其中相等的線段、角等基本量后，發現多組相似三角形，利用其中一組相似三角形對應邊成比例，進而得到“線段上一點把線段分成兩部分，若較長的一段之長比整條線段之長等于較短一段之長比較長一段之長，此時圖形最美”.

這一意料之外、情境之中的發現讓學生感到興奮，真是美不勝收！而這一成果是學生在老師指導下通過自己努力得到的，學生頗有成就感，高興之情溢于言表.

在這一時段教學中，王老師引導學生從外在美到發現相似三角形之間的比例關系，一方面體現了遵循知識的內在規律，發現了線段之間的比例關系及比值；另一方面是這個過程完全由學生探索發現相應的比例關系，再計算而得，體現尊重學生的認知規律.其間，無痕地落實了數學抽象、邏輯推理等核心素養.

2 因勢利導破難點

本節課有兩個教學難點，一個是發現黃金分割數，一個是作出黃金分割點.

為了突破第一個難點，王老師把正五角星上的線段表以不同的顏色，讓學生觀察正五角星，發現有四條不等長的線段和三個不等的角.在此基礎上學生發現△ACD∽△ABH，利用相似三角形得到ACAB=ADAH，再由AD=BC，AH=AC，得到ACAB=BCAC.設AB=1即可解得AC=5－12，從而ACAB=BCAC=5－12，由此得到黃金數.

在此過程中，老師的作用是“導演”，主要是學生在老師的指導下通過觀察、發現、分析、求解而得.老師給學生充分的活動時間，體現了對學生的信任，學生也沒有讓老師失望，不僅求出了一條線段有兩個黃金分割點，還通過計算知道LEEB=CLKL=5－12，于是得到黃金三角形.因此，在正五角星中“遍地是黃金”.

作線段的黃金分割點這一段教學尤為精彩.王老師提出問題后，只作了簡單提示“怎么作出線段5”，然后由學生思考、動手作圖.第一個女同學在板演時是構造斜邊為5的直角三角形（海倫作圖法），另一個男同學則是自己想到與書本上不同的方法，盡管證明略微麻煩一些，但其獨立思考的作圖方法還是一大亮點.如果老師要能追問一句“你是怎么想出來的？”會更好.其實，這種方法就隱含在正五角星中，即利用黃金三角形作出黃金分割點.比如，在上課開始的正五角星中，等腰三角形ACH的兩腰分別與EK交于點D，L，連接CD（或LH）就是該男同學所畫的圖，只是一時不容易發現.如果該同學是如此發現的，說明其觀察能力很強；如果是自己獨立發現的，那更表明未來可期！當然，作為尺規作圖，畫頂角為36°的等腰三角形是不規范的.

由于王老師對教材的深度理解，把教學內容分為四個環節，環環相扣；以問題為導向，層層展開.由于問題符合學生認知水平，總能得到學生的正面回應.

注重引導學生進行思考和分析.通過提問、討論等方式，引導學生自己總結出黃金分割的特點和規律，充分體現了以學生為中心.在解決問題的過程中，鼓勵學生嘗試不同的方法，師生互動、生生互動，既開闊了學生的視野，又提升了學生的思維品質和創新精神，培養了學生的動手能力，激發了學生的探索興趣.

3 數學文化美作伴

本課以“發現美、探索美、應用美、感受美”這一主線展開，從問題出發組織教學，注重知識的探索過程，講解準確、內容豐富.從歷史背景、教學原理、實際操作、實際運用等多個維度提升學生對黃金分割的綜合理解與運用能力.

從五角星中蘊含的黃金點、黃金三角形到黃金矩形、黃金螺旋線，這節課可謂是以美為伴.在下課前的視頻中，展示了雅典巴臺農神廟、巴黎圣母院、維納斯雕像等世界文化遺產都滿足黃金分割比，以及日常生活中黃金分割的廣泛應用，體現了數學的抽象性及其應用的廣泛性，提升了學生用數學的眼光欣賞世界的能力.

數學育人貫穿始終，從開始的國旗中的五星紅旗到小結中“從幼兒園到大學畢業有將近19年的求學生涯，而黃金分割點恰好就是九年級的這一年，希望你們能夠把握好這黃金分割的一年，實現人生的飛躍”，都能緊密聯系課堂教學內容融入思政元素，不是為了體現思想政治教育而貼標簽.

當學生作黃金分割線（點）的方法與海倫當年的方法相同時，老師說“你具備數學家的品質”，雖是一句玩笑，但對學生是巨大的鼓勵.還有歐幾里得作圖法等，亦是如此，數學育人恰時恰點.雖然教材中沒有具體介紹歷史上各種作圖方法是由哪位數學家給出的，但王老師在課堂上介紹了，尤其是王老師說學生現在的作法就是歷史著名數學家的作法時，學生受到了莫大的鼓舞.由此看來，數學育人就是在教學的適當環節，以所學知識為載體“借題發揮”，引導學生欣賞數學美或感悟人生哲理，同時加深對數學知識的理解.這樣的教學活動既不是高不可攀，也不是貼標簽.

4 錦上添花談建議

小結中的打油詩是一種很好的形式，前兩句總結本課所學知識及思想方法，后兩句融入育人.打油詩的特點應該是朗朗上口（押韻），這樣有利于誦讀，也有利于記憶，能達到加深對所學知識的理解與掌握以及提升學生學習興趣之目的，但本課的打油詩有點不押韻，還需要努力.

除了課堂上以及視頻中出現的黃金分割應用的例子，還可以讓學生舉出生活中黃金分割應用的例子，如攝影構圖、音樂作曲等領域，這樣學生會對黃金分割更有親切感，也更能體現學以致用.

總之，王老師這節課在尊重學生認知規律、尊重知識的發生發展規律方面做得較好，也有一定的思想高度和文化厚度，是一堂名副其實的數學生態課！