至簡設計數學活動，扎實發展學生素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）指出數學教學要以核心素養為導向，提出合適的問題和組織有效的教學活動.因此數學課堂應該是教師通過設計簡單有效的數學活動，引導學生在預設的問題情境中探究，最后得出至簡的數學結論或模式，達到培養學生數學素養的目的.人教版教材每一章都設置有“數學活動”，其目的就是為了拓寬學生的知識面，提高學生的動手能力和積累活動經驗，最終達到滲透數學核心素養的目的.以一節數學活動課“探究四點共圓的條件”為例，闡述在數學課堂中以問題為導向設計教學活動，探究數學的本質，發展學生素養的實踐與思考.

1 教學過程

1.1 對比舊知，提出問題

問題1 經過不在同一直線的三個點A，B，C可以作圓嗎？能作幾個圓？

問題2 圖1中有六個圖形，能否分別過每個圖形的四個頂點作一個圓？試一試.

師生活動1：從三點作圓遷移到四點作圓，在學生說出結果后，教師通過多媒體展示結果.

設計意圖：從學生已有的知識經驗出發，獲得探究問題的方向，從三點共圓遷移到四點共圓，充分利用學生知識的最近發展區，提高課堂教學的有效性，滲透從特殊到一般的轉化思想，讓學生初步接受用數學的眼光認識現實世界的角度.

1.2 合理引導，分析問題

問題3 怎么判斷這四點是共圓或不共圓呢？

師生活動2：教師提出問題并引導，學生獨立思考后回答.

設計意圖：引導學生從不同四邊形的特征包括邊、角、對角線入手，尋找這些圖形的共性因素.學生主要經歷觀察、作圖、測量、猜想、對比、驗證等一系列活動，感受分析問題的方法，最終發現了一個結論即對角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上.

1.3 證明猜想，驗證問題

問題4 上述結論僅僅是一個猜想，要想使之成為定理，作為今后判斷四點共圓的依據，還需要證明，那如何證明呢？

師生活動3：教師展示問題，師生共同寫出已知、求證.

已知：在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°.

求證：過點A，B，C，D可作一個圓.

問題5 我們可以作出過不在同一條直線上三點的圓，不能確定與第四個點是否共圓，但其中的三點是可以保證共圓的，再考慮余下的點是否在過三點的圓上，如何證明呢？

師生活動4：師生共同探討第四個點可能在圓內或圓外的情況，利用圓內接四邊形對角互補進行證明.

證明：

過A，B，C三點作圓O，假設點D在圓O外（圖2），

設AD與圓O交于點E，連接CE.

∴∠B＋∠AEC＝180°.

∵∠B＋∠D＝180°，

∴∠AEC＝∠D.

∵∠AEC是△CED的外角，

∴∠AEC＞∠D，出現矛盾，假設不成立.

因此點D不在過A，B，C三點的圓外.

問題6 假設第四點在其他三點確定的圓內（圖3），是否也可以推出矛盾？

師生活動5：類比第四點在圓外的情況，完成證明.最后給出完整的證明.

設計意圖：從學生已有的知識經驗出發，明確問題解決的過程，通過思考、證明，促使學生感受數學的嚴謹性，培養學生空間觀念和推理能力，發展學生用數學思維思考現實世界的素養.

1.4 變式探究，拓展問題

問題7 如圖4，△ACB和△ADB均為直角三角形，∠ACB=∠ADB=90°，求證：A，B，C，D四點共圓.

師生活動6：引導學生從圓的定義出發思考并證明.

問題8 如圖5，若兩個三角形始終保證有一條公共邊，并且這條邊所對的兩個角∠C，∠D在該邊的同側并且相等，這四個點還會在一個圓上嗎？

師生活動7：教師指導學生類比活動4的證明方法，課后梳理證明過程.

設計意圖：問題是思維的源泉，更是思維的動力.數學教育家波利亞曾指出，類比是一個偉大的引路人.通過類比的方法，積累解決問題的經驗，體會創新方法帶給自己的信心與快樂.

1.5 感悟規律，簡化問題

問題9 你可以用哪些方法證明四點共圓？

師生活動8：通過小結歸納本節課所學到的知識、技能和研究方法.

一個方法：類比操作的方法.

一種思想：從特殊到一般的思想.

兩種判定：對角互補的四邊形的四個頂點共圓；共邊、同側且公共邊對的角相等的兩個三角形的四個頂點共圓.

兩種模型：對角互補型（圖6）；共邊等角型（圖7）.

設計意圖：通過小結了解學生本節課所學到的知識、技能、研究方法等情況，培養學生概括、表達的能力，提高學生對數學的真正理解，滲透數學的簡易美和化歸思想，培養學生用數學語言表達世界的能力.

2 教學思考

2.1 設計數學活動，奠定活動基礎

《2022年版課標》明確提出“有效的教學活動是學生學和教師教的統一”.在平時的教學實踐中，教師要善于轉變自身的角色，創設學生能夠獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流的數學活動，并且要善于留給學生主動參與的時間和積極嘗試的空間.這能有效奠定活動開展的基礎，不僅能開闊學生的視野，啟發學生的潛能，培養學生的創新能力，還能讓學生體驗到“做中學”的樂趣，體會和運用數學的思想與方法.在本節課中，教師構建了數學活動課的一般模型：發現問題—提出問題—解決問題—得出結論—優化結論，在每個環節中都設計了不同的數學活動和問題，從師生合作到生生合作，從類比到轉化，不僅奠定了教學基礎，還能激活學生參與活動的興趣，助推教學進程的有序開展.

2.2 探尋數學至簡，積累活動經驗

“授之于魚，不如授之于漁.”學生只有掌握了學習數學知識的方法，探尋到數學規律的學習途徑，數學教育才能真正獲得成功.張奠宙先生等認為：數學活動經驗是在數學目標指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識.數學活動的目的就是將掌握的數學知識以最簡單、最明了的方式加以運用.本節課就是在構建至簡的數學課堂中做出了有益的嘗試與探索，課堂教學過程簡約，摒棄了浮躁、華而不實的課堂教學形式.師生在共同探尋證明四點共圓方法的過程中經歷了畫、量、證等動手實踐活動，獲得初步的數學經驗；通過觀察、分析、類比、證明和歸納等思維過程，獲得四點共圓的兩種簡易模型，滲透數學的簡易美.數學思維在思考和證明的過程中積淀，有利于數學活動經驗的積累.

2.3 培養數學素養，追求活動本質

蘇霍姆林斯基說：當知識與積極的活動緊密聯系在一起的時候，學習才能成為孩子精神生活的一部分.數學活動具有數學教育的育人功能，在教學活動中通過靈活多變的形式，充分調動學生學習的興趣和積極性，使得學生在活動中有所感、有所得.《2022年版課標》中將培養學生數學素養作為數學教育的總目標，即培養學生會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界.本節課中，學生從三點共圓的實際背景，類比提出四點共圓的問題，在問題的解決中采用邏輯推理方法探究四點共圓的條件，最后總結出四點共圓的模型，培養了數學抽象、邏輯推理和構建數學模型的能力.整個活動過程讓學生在掌握知識技能的同時，感悟活動內容的本質，積累數學思維經驗，促成學生數學素養的體悟與積淀.

數學核心素養是數學課程目標的集中體現，要求教師在教學活動中全面貫徹與推行.在課堂活動中，教師應結合教學任務設計合適的活動情境和活動問題，引導學生采用觀察、測量、猜想、對比、驗證等有效的活動方式，經歷探尋活動規律的過程，獲得富有成效的學習體驗，進一步積累數學經驗，在問題解決的過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學核心素養的形成和發展.