基于DOK理論的數學建模思想在初中數學教學中的滲透

摘要：深度學習是智能化時代教育教學改革的熱點，美國教育評價專家韋伯提出了“知識深度（Depth of Knowledge）”的DOK理論.初中階段，學生從絕對值的非負性開始，其實就已經對“最值”有了模糊的概念.隨著知識的深度和廣度不斷延拓，學生對于線段最值問題的求解往往是能聽懂，但很難獨立形成完整的解題思路.本文中以DOK理論為基礎，以幾何最值問題教學為例，根據學生的認知發展規律，由淺入深，一題多變，突破最值問題教學難點，培養學生發散性思維以及舉一反三的應用能力，提升學生數學建模等核心素養.

關鍵詞：DOK理論；線段最值問題；一題多變；核心素養

課堂是一場永無止境的“尋寶游戲”，以“學為中心”的教育理念基本成為了教學一線的共識，我們從學生的需要出發，以現實問題為媒介，打開新視角，構筑大模型，來一場既有深度又有廣度的質的飛躍.幾何最值問題往往會涉及到點動、線動、面動，是教學的一大難點.本文中基于DOK理論，根據初中生的認知規律，從復雜的題目中抽出基本模型，循序漸進，制定分階段的DOK學習目標，幫助學生更好地掌握線段最值問題的解題思路和方法.

1 DOK理論

美國諾曼·韋伯博士依據布盧姆《教育目標分類學》中的認知領域理論構建了“知識深度等級”（Depth Of Knowledge，DOK），即培養學生知識高階思維的DOK教學系統.DOK是培養學生實踐能力、創新能力的知識深度等級體系，它根據知識需要的思維復雜程度進行分層，按其復雜程度由淺入深分為四個等級：

DOK1（Recall and Reproduction）：回憶和重現

DOK2（Skill and Concepts）：技能和概念

DOK3（Strategies Thinking）：策略性思維和推理

DOK4（Extended Thinking）：拓展性思考.

四個等級是相互獨立、各自平等、同等重要的，它不僅適應不同學生的認知發展需求，同時為學生創新素養的培養提供了清晰的路徑［1］.

知識深度等級模型如圖1所示.

2 DOK理論下將軍飲馬問題的教學設計

問題概述：唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊讓戰馬飲水后再到B點宿營.問如何行走才能使總的路程最短［2］.

DOK1：關聯實際，分類分析

建立模型一（兩點在河的異側）：如圖2，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊讓戰馬飲水后再到B點宿營，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

方法：如圖3，連接AB，與線段l交于點M，在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長.

建立模型二（兩點在河的同側）：如圖4，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，需先走到河邊讓戰馬飲水后再到B點宿營，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

方法：如圖5，作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′，與直線l的交點即為所求的渡河點，最短距離為線段AB′的長.從基礎模型入手，讓學生動手操作，初步了解將軍飲馬問題的模型和基本思路.

DOK2：模型分析，初階運用

（1）與三角形綜合

例1 如圖6，等邊三角形ABC的邊BC上的高為6，AD是BC邊上的中線，M是線段AD上的一個動點，E是AC的中點，則EM+CM的最小值為.

分析：如圖7，連接BE交AD于點M，則BE就是EM+CM的最小值.通過等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD，即可得出結論.

解析：連接BE，與AD交于點M.由AB=AC，AD是BC邊上的中線，可知點B，C關于AD對稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值.易得EM+CM的最小值為6.

等邊三角形是軸對稱圖形，通過把模型二與等邊三角形融合，引導學生思考如何轉化線段最值問題，并總結“兩定一動”最值問題解題步驟.

（2）與特殊四邊形綜合

例2 如圖8，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3.若E是邊AD上的一個動點，過點E作EF⊥AC且分別交對角線AC、直線BC于點O，F，則在點E移動的過程中，AF+FE+EC的最小值為.

分析：如圖9，過點E作EH⊥BC于點H.利用相似三角形的性質求出FH，EF.因為EF是定值2，所以AF+CE的值最小時，AF+EF+CE的值最小，當點A，F，C共線時，即可解決問題.

解析：如圖9，過點E作EH⊥BC于點H.根據題意，易得到EF=2.

過點C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，連接C′F.易證四邊形ABHE是矩形，四邊形EFC′C是平行四邊形.易知AF+EC+EF＝AF+FC′+EF≥AC′+2＝4+2＝6［3］.

有了等邊三角形的綜合鋪墊，進一步拓展題目背景，學生能發現其中的共同點，培養學生舉一反三的思維能力.在教學過程中，“兩定一動”中找哪一個點的對稱點能夠更加便捷地解決問題，需要不斷地引導學生探索，從而提升運用知識的能力.

（3）與坐標系綜合

例3［4］ 已知點A（1，1），B（3，5），在x軸上的點C，使得AC+BC最小，則點C的橫坐標為.

分析：作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，則AC+BC的最小值等于A′B的長，利用待定系數法求得直線A′B的解析式，即可得到點C的坐標.

解析：如圖10，作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，與x軸的交點即為點C，連接AC，則AC+BC的最小值等于A′B的長，設直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），把A′（1，-1），B（3，5）代入可得k=3，b=-4，所以y=3x-4.當y=0時，x=43，即點C的橫坐標.

從幾何圖形到在坐標系中融合函數圖象，蘊含了數形結合思想，考查學生的綜合應用能力.此時可以放權讓學生進行小組討論，提煉分享，歸納方法，總結技巧.

DOK3：靈活運用，思維提升

例4 間接轉化將軍飲馬：如圖11，在邊長為8的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且BE＝2，Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為.

分析：如圖12，連接BD，DE，點B與點D關于直線AC對稱，故DE的長即為BQ+QE的最小值.

解析：易知△BEQ周長的最小值為12.

DOK4：模型拓展，一題多變

建立模型三：如圖13，將軍同部隊行駛至P處，有哨兵發現前方為兩河AB，BC的交匯處，先到河邊觀察，再返回P處向將軍匯報情況，問哨兵在AB，BC何處偵查才能最快完成任務并求最短距離.

數學建模：在直線AB，BC上分別找點M，N，使得△PMN周長最小.

方法：如圖14，分別作點P關于直線AB，BC的對稱點P′，P″，連接P′P″，與直線AB，BC的交點即為所求點M，N，最短距離為線段P′P″的長.

建立模型四：如圖15，已知點P在直線AB，BC的內側，在直線AB和BC上分別取一點M，N，求PM+PN的最小值.

方法：如圖16，作點P關于直線AB的對稱點P′，過點P′作P′N⊥BC，垂足為N，P′N與AB相交于點M，則PM+PN的

最小值為線段P′N的長.

建立模型五：如圖17，一條寬度相同的河流兩側有A，B兩個營地，將軍令下屬在河流間搭建一座垂直于河岸的橋梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何處搭建橋梁才能完成任務呢？

方法：如圖18，將點A向下平移MN個單位長度得到點A′，連接A′B，交直線n于點N，過點N作MN⊥m，垂足為M，點M和點N即為所求，最短距離為A′B+MN.

3 關于最值問題教學的三點思考

3.1 解讀風向標，確定新方向

《中小學教師培訓課程指導標準》等文件對我們的教育教學工作提出了明確要求，激發學生學習內驅力，培養學科核心素養，是我們需要不斷踐行的使命.線段最值問題與實際生活密切相關，例如通過將軍飲馬問題的呈現，學生知道“我為什么要求線段的最值，解決了什么樣的問題”，抽象的問題具象化，需要有大量的背景鋪墊，一題多變，帶領學生共同探究，感悟數學源于生活又高于生活.

3.2 創設大任務，落地新嘗試

大任務是一個和學習目標緊密相連的、貫穿學習過程始終的、具體的驅動性問題或活動.線段最值問題作為中考的一大難點，無論是選填壓軸，還是與函數、圓、四邊形綜合，對學生來說都有不小的困難.我們在教學過程中，需要循序漸進地設計例題和變式，利用心理學中的“登門檻效應”逐步提升對學生的階段性要求，完成各階段的DOK學習目標，有意識地引導學生從復雜的圖形中抽象出數學模型，分解提煉，得出結論.

3.3 找準測量尺，素養見成效

素養的提升是通過任務的完成情況來實現的，最值問題的教學中，通常會涉及到動點問題，衍生出的點動、線動、面動，我們需要在動態過程中找到不變的量，確定題目類型以及對應的解題方法.將動態問題轉化為靜態問題，再進行深層次的解題研究，思路會更加清晰.為了讓學習效果更加可視化，可以采取建立量規式量表的形式，構建一把測量尺，讓學生自評，教師點評，完成“教—學—評”一體的完整閉環.

參考文獻：

[1]李瑞霞.運用DOK理論開展深度學習的課堂教學[J].北京教育（普教版），2021（6）：75-76.

[2]陳娟.巧構“將軍飲馬”模型求動點最值問題[J].中學生數學，2023（12）：39-42.

[3]李志東.動態中分析，靜態中求解——例談線段最值問題及求解策略[J].數學大世界（下旬），2022（12）：47-49.

[4]張建華.線段和最值問題的分類賞析——以2022年中考題為例[J].初中數學教與學，2022（23）：30-33.