“一元一次方程的應用”專題復習教學

摘要：一元一次方程，作為初中數學的核心內容，既標志著基礎代數學習的開端，也是應對實際問題的重要工具.為了深化學生對這一概念的理解，掌握其性質、解法及應用技巧至關重要.本文中通過專題復習的方式，探討一元一次方程在實際問題中的應用，以期對初中數學教學工作提供實質性的幫助和指導.

關鍵詞：初中數學；一元一次方程；專題復習

一元一次方程是初中數學中的核心概念之一，它不僅代表著基礎代數知識的入門，更是解決實際問題的重要工具［1］.對初中生來說，一元一次方程的學習不僅僅是理解、記憶的過程，更是一個實踐、探索的過程.方程背后所蘊含的代數思想，以及它在實際問題中的應用，無一不顯示出它的重要性.為了更有效地幫助學生在一元一次方程的學習上取得顯著的進步，教師需要明確一元一次方程應用的各個類別，并著重培養學生的數學建模能力，進而不斷提升學生運用數學知識解決實際問題的能力［2］.

1 厘清問題種類，快速建模

一元一次方程，作為初中數學的基礎知識點，在實際生活中的應用較為廣泛.然而，對初中生來說，他們尚未完全融入社會，對生活中實際問題的了解相對較少.因此，在教學時，除了傳授知識本身，更需要幫助學生理解、掌握應用題的各種類型.每種類型的應用題都有其獨特的特點和解題方法.通過區分不同的類型，學生可以更深入地理解這些特點，從而更好地掌握解題技巧［3］.

一元一次方程應用題常見分類見圖1.

1.1 和、差、倍、分問題

和、差、倍、分問題，其核心在于探討不同數量之間的和、差、倍數及比例關系.為了深入理解這些問題，學生必須準確理解并把握相關關鍵詞語.例如，“是幾倍、增加幾倍、增加到幾倍、增加百分之幾……”常常用來描述倍數關系；而“多、少、和、差……”則常被用來描述數量之間的關系.一旦學生理解了這些數量關系，就可以根據題目描述設定未知數，并利用關鍵詞來構建含有未知數的表達式.最后，利用題目中給出的各種數量關系，學生就可以建立數學方程，從而解決問題.這種理解和應用能力是解決和、差、倍分問題的關鍵.

1.2 行程問題

行程問題主要探討的是物體在移動過程中的距離、速度及時間三者間的相互關聯.這類問題既可以是單一物體的單向移動，也可以是多個物體間的交互動作，如碰面、追趕、遠離等場景.學生在處理這些問題時，應熟練掌握并應用一個核心的數學公式：距離=速度×時間.這個公式是行程問題的基石，無論問題涉及的是一個還是多個物體的移動，都可以通過這個公式來求解.

1.3 工程問題

在工程問題中，要關注的核心是工作量、工作效率與工作時間之間的相互關系及其影響.這類問題中，通常將整體的工作量標準化為單位“1”，并通過“工作量=工作效率×工作時間”這一公式來求解.工程問題廣泛存在于人們的日常生活和各類生產活動中，如道路建設、橋梁施工、河道疏浚、貨物運輸、產品制造等.解決這些問題的關鍵在于，學生能夠深入理解并靈活運用上述基本概念和公式.

1.4 調配問題

調配問題涉及將甲地的人或物調整至乙地，以滿足特定的數量關系.另一種情況是從第三方引入資源，以平衡甲、乙兩地的數量關系.這類問題常見于日常生活中，如勞動力分配、材料比例選擇、人員或貨物的調配等.學生解決這類問題的關鍵在于理解部分量與總量之間的關系，并通過“總量守恒”原理建立數學方程，再進行求解.

2 通過典型例題夯實解題技巧

2.1 和、差、倍、分問題

例1 《九章算術》中記載：“今有甲、乙二人持錢不知其數，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十，問甲、乙持錢各幾何”.其中“太半”為三分之二.請運用一元一次方程求解.

解：設甲有x錢，則乙有（100-2x）錢，于是可得

23x+（100-2x）=50.

解得x=37.5.

所以100-2x=25.

答：甲、乙各有37.5錢、25錢.

通過例題練習，可以促使學生熟練掌握尋找兩個未知數之間關系的方法.

2.2 行程問題

例2 A，B兩地距離為1 500 km，一列火車從A地出發到B地，行駛150 km后，另一列火車從B地出發開往A地，第二列火車出發3 h后與第一列火車相遇，若第一列火車每小時行駛的路程比第二列火車每小時行駛的路程的一半多6 km，則第二列火車平均每小時行駛多少km？

解：設第二列火車平均每小時行駛x km，則可得

3x+12x+6×3+150=1 500.

解得x=296.

答：第二列火車平均每小時行駛296 km.

2.3 工程問題

例3 一項工程，甲單獨完成需要15天，乙單獨完成需要12天.現在甲和乙先合作了3天，然后甲離開，乙需要單獨完成剩下的工程.問：乙還要幾天才能完成全部工程？

解：設乙還要x天才能完成全部工程，則可得

x12+115+112×3=1.

解得x=6.6.

答：乙還要6.6天才能完成全部工程.

例4 有一個水池，這個水池有一個進水管和一個出水管.進水管15小時可以把空水池注滿，而出水管24小時可以把滿池的水放完.如果同時打開進水管和出水管，需要多少小時才能把空水池注滿.

解：設如果同時打開進水管和出水管，x h后可以注滿空池，則可得

115－124x=1.

解得x=40.

答：如果進水管和出水管同時被打開，把空池注滿的時間為40 h.

2.4 調配問題

例5 甲隊有72人，乙隊有68人，從甲隊調出一些人到乙隊，以便甲隊的人數是乙隊人數的34.問：需從甲隊調出多少人到乙隊？

解：設從甲隊調出x人到乙隊，則可得

72-x=3（68+x）4.

解得x=12.

答：需要從甲隊調出12人到乙隊，才能使甲隊的人數恰好是乙隊人數的34.

例6 某公司組織員工去郊游，現在有兩種租車方案.如果公司選擇租45座客車若干輛，則剛好坐滿；如果公司選擇租60座的客車，則少租1輛，并且有15個空座.求參加郊游的公司員工人數.

解：設租45座客車x輛，則參加郊游的公司員工總人數為45x.依題意可得

45x=60（x-1）-15.

解得x=5.

所以參加郊游的公司員工總人數為

45x=45×5=225.

答：參加郊游的公司員工總人數為225.

一元一次方程的應用題種類繁多，涉及日常生活、工作的各個方面.通過全面、深入的學習，學生不僅可以提升數學水平，更能學會如何運用數學知識去解決實際問題［4］.在復習階段，教師應該著重培養學生的實際應用能力和解題策略，確保學生熟練掌握一元一次方程的應用技巧.

參考文獻：

[1]侍東洋.初中數學一元一次方程教學透析[J].數理化解題研究，2018（17）：22-23.

[2]黃靜亞.提升初中數學習題課教學效率的實踐研究[J].中學數學，2020（2）：63-64.

[3]張鴻.淺談初中數學教學中的建模思想[J].科學咨詢（教育科研），2020（6）：229.

[4]李華雷.建模思路在初中數學教學中的應用探究[J].教學管理與教育研究，2022，7（20）：80-82.