基于“歸納推理、抽象概括”的運(yùn)算法則探究

摘要：課程標(biāo)準(zhǔn)指出“對于一些簡單問題，可以通過特殊結(jié)果推斷一般結(jié)論，形成合乎邏輯的思維習(xí)慣;可以通過對現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的抽象，形成數(shù)學(xué)法則，并能用數(shù)學(xué)符號予以表達(dá)；可以從具體的問題解決中形成數(shù)學(xué)的方法與策略”.“有理數(shù)的減法”的課時教學(xué)旨在運(yùn)算法則的形成過程中發(fā)展歸納推理能力和抽象能力;在運(yùn)用運(yùn)算法則的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)推理運(yùn)算能力.

關(guān)鍵詞：有理數(shù)減法；教學(xué)研究

運(yùn)算是數(shù)系擴(kuò)展的核心.前兩節(jié)課學(xué)生已學(xué)有理數(shù)加法法則，本節(jié)課探討其逆運(yùn)算——減法.引入負(fù)數(shù)后，有理數(shù)具有相反數(shù)特性，教師可借此將減法轉(zhuǎn)化為加法，即“減去一個數(shù)等于加上此數(shù)的相反數(shù)”，使加減法統(tǒng)一于加法框架.這是教學(xué)的重難點(diǎn).本設(shè)計以數(shù)軸平移為出發(fā)點(diǎn)，通過幾何直觀推理得出減法轉(zhuǎn)加法結(jié)論，突破難點(diǎn)，幫助學(xué)生深刻理解有理數(shù)加減運(yùn)算規(guī)則，感受數(shù)學(xué)歸納與數(shù)學(xué)化思維魅力.此過程還能提升學(xué)生幾何直觀感、邏輯推理能力和規(guī)則抽象認(rèn)知，夯實(shí)減法運(yùn)算法則的運(yùn)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

1 教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)：

（1）能準(zhǔn)確理解有理數(shù)的減法法則，發(fā)展幾何直觀觀念以及推理歸納觀念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力.

（2）能有效應(yīng)用有理數(shù)減法法則進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

（3）經(jīng)歷運(yùn)算法則的探究與解題過程，體會運(yùn)算法則探究的基本方法和主要思想.

教學(xué)重點(diǎn)：理解有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法運(yùn)算定律的合理性推理，得出有理數(shù)減法法則，并進(jìn)行有理數(shù)減法運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)：抽象理解有理數(shù)的減法運(yùn)算法則，形成運(yùn)算法則探究的一般方法，掌握基本運(yùn)算技巧.

2 教學(xué)過程設(shè)計

2.1 提出問題

問題1 通過對有理數(shù)加法運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)，我們還需要進(jìn)一步研究哪方面的運(yùn)算定律？請思考這種運(yùn)算都具備哪些應(yīng)用價值？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生回想在小學(xué)階段接觸到的數(shù)字運(yùn)算過程，通過類比分析自行得出有理數(shù)減法的概念，并結(jié)合生活實(shí)例說明減法的重要性，比如溫度的升降變化等方面.

教學(xué)說明：類比小學(xué)階段的數(shù)字運(yùn)算定律，幫助學(xué)生在邏輯上銜接有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程，突出數(shù)系擴(kuò)展的必要性.結(jié)合實(shí)際生活情景，指導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)既來源于學(xué)科內(nèi)部的發(fā)展需求，也應(yīng)回歸到現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際需求之中，明確本節(jié)課研究的重要主題——有理數(shù)的減法運(yùn)算.

2.2 規(guī)劃思路

問題2 如何正確探究出有理數(shù)的減法定律？

追問：加法法則是如何經(jīng)過探究而得出的？

師生活動：學(xué)生回顧有理數(shù)加法法則的研究過程，從已知到未知、從具體到一般，類比總結(jié)適用于減法法則的研究步驟（見圖1）.教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合之前的探究經(jīng)驗(yàn)，整體規(guī)劃有理數(shù)減法法則的研究路徑.

教學(xué)說明：通過對加法法則探究過程的回顧，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃研究有理數(shù)減法的步驟，突出在有理數(shù)運(yùn)算教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)思想統(tǒng)一性以及思維方法是可以普遍適用于其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的.

2.3 探究法則

問題3 如果是兩個有理數(shù)相減的情況，哪些是我們已經(jīng)掌握的運(yùn)算規(guī)律，哪些是需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)的？

師生活動：學(xué)生回憶在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，大數(shù)減去小數(shù)的規(guī)律，結(jié)合已有加法法則的探究經(jīng)驗(yàn)，明確新的研究方向——小數(shù)減去大數(shù)，以及涉及負(fù)數(shù)的減法，包括正數(shù)減負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)減正數(shù)、負(fù)數(shù)減負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)減零和零減負(fù)數(shù).

教學(xué)說明：分層推進(jìn)，明確減法研究的起點(diǎn)和難點(diǎn)，為后續(xù)探究提供清晰的邏輯框架.

追問1：5-3=？你是怎樣想的？

師生活動：學(xué)生依據(jù)減法定義，結(jié)合加法逆運(yùn)算的特點(diǎn)，推導(dǎo)出5-3=2（即5=3+2）.

教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)軸，利用點(diǎn)的平移演示運(yùn)算過程：動點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)向右平移5個單位長度，再向左平移3個單位長度，結(jié)果到達(dá)“+2”的位置；同時引導(dǎo)學(xué)生用加法表示該過程，即5+（-3）=2（見圖2）.

追問2：由此可以發(fā)現(xiàn)什么？

師生活動：學(xué)生通過比較，發(fā)現(xiàn)減法可以轉(zhuǎn)化為加法，即a-b=a+（-b）.

追問3：類比5-3，如何探究3-5=？結(jié)論是否類似？

師生活動：學(xué)生通過數(shù)軸平移法和加法逆運(yùn)算推導(dǎo)，得出3-5=3+（-5）（見圖3）.

追問4：其他例子如5-（-3），-5-3，-3-（-5）等，是否也能得出類似結(jié)論？

師生活動：學(xué)生逐步類比探究，通過遷移學(xué)習(xí)總結(jié)其余算式的規(guī)律.教師關(guān)注學(xué)生的獨(dú)立思考能力，并及時輔導(dǎo)有困難的學(xué)生.最終得出5-（-3）=5+（+3），-5-3=（-5）+（-3），-3-（-5）=-3+（+5），-3-0=-3+0，0-（-3）=0+（+3），0-3=0+（-3），如圖4～圖9.

教學(xué)說明：通過具體例子探究抽象規(guī)律，將減法運(yùn)算歸結(jié)為加法運(yùn)算，利用數(shù)軸直觀幫助學(xué)生理解運(yùn)算邏輯，發(fā)展幾何直觀能力.

問題4 觀察推導(dǎo)出的算式，有什么共同規(guī)律？

師生活動：師生共同總結(jié)，用文字語言和符號語言歸納出有理數(shù)減法法則，即a-b=a+（-b）.

追問：在上述探究過程中，體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

師生活動：師生總結(jié)減法法則的推導(dǎo)經(jīng)歷了從具體到一般、從特殊到普遍的過程，充分體現(xiàn)了歸納推理、抽象概括的研究方法（見圖10）.

教學(xué)說明：通過對探究過程的總結(jié)，幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)歸納與數(shù)學(xué)化思想的重要性.將減法運(yùn)算與加法運(yùn)算的關(guān)系借助數(shù)軸上點(diǎn)的平移來直觀呈現(xiàn)，提升學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力，同時感受數(shù)系擴(kuò)充后運(yùn)算規(guī)律的一致性和美感.

2.4 應(yīng)用法則

例題 計算：

（1）（－3）－（－5）;

（2）0－7;

（3）7.2－（－4.8）;（4）－312－514.

問題5 請思考有理數(shù)減法運(yùn)算中，第一步操作是怎樣的？你的每一個步驟都有哪些理論依據(jù)？為什么要這樣運(yùn)算？在完成有理數(shù)減法運(yùn)算時，要注意哪些事項(xiàng)？

師生活動：在學(xué)生完成例題第（1）小題后，教師提出問題5，得到如圖11所示的結(jié)論.

教學(xué)說明：明確算理，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)算中熟練使用運(yùn)算法則，并將其逐步內(nèi)化為數(shù)學(xué)推理運(yùn)算的能力.

練習(xí) 計算：

（1）比2℃低8℃的溫度；

（2）比－3℃低6℃的溫度.

師生活動：分析題意，列式解答.

教學(xué)說明：在運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算表示和解決實(shí)際問題的過程中發(fā)展數(shù)量關(guān)系抽象能力，建立數(shù)的運(yùn)算的模型觀念.

2.5 概括提升

（1）自行總結(jié)概括有理數(shù)減法法則的主要內(nèi)容.

（2）有理數(shù)減法運(yùn)算一般的運(yùn)算步驟都有哪些？每一步運(yùn)算的理論依據(jù)又有哪些？這些步驟與計算方法的由來是什么？

（3）在探究有理數(shù)運(yùn)算法則的過程中，我們經(jīng)歷了怎樣的數(shù)學(xué)思維過程，又體驗(yàn)到了哪些數(shù)學(xué)思維方法？

師生活動：回顧本節(jié)課的知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，形成知識框圖（如圖12）.

教學(xué)說明：通過問題引導(dǎo)學(xué)生從知識聯(lián)系、思想方法等方面進(jìn)行歸納總結(jié)，意在讓學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)有更清晰、更系統(tǒng)的認(rèn)識，形成數(shù)學(xué)的整體性、思維的系統(tǒng)性.

2.6 遷移應(yīng)用

問題6 在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b.那么你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，B之間的距離與數(shù)a，b之間究竟存在著什么樣的關(guān)系嗎？

追問1：回顧加法運(yùn)算法則，那么在減法法則探究環(huán)節(jié)之中，法則規(guī)律的探究方法到底是什么？有哪些典型方法呢？

師生活動：通過回顧運(yùn)算法則后發(fā)現(xiàn)，整體過程包括列舉、觀察、歸納、概括.

追問2：怎么列舉特例？

師生活動：在有理數(shù)范圍內(nèi)列舉，兩點(diǎn)表示的數(shù)包括的類別有正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和0、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和0.

追問3：請同學(xué)們自己完成問題6的探究，匯報你是怎么思考的，你的結(jié)論是什么？

師生活動：學(xué)生自主獨(dú)立完成探究，匯報補(bǔ)充，形成結(jié)論.

教學(xué)說明：對數(shù)學(xué)法則即規(guī)律展開探究的核心就是歸納推理與抽象概括，引申到日常教學(xué)中，教師有必要將其變?yōu)閷?shí)際操作進(jìn)行示范，可以促進(jìn)學(xué)生通過模仿的形式來探究有理數(shù)減法法則.通過數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的研究，學(xué)生可以將理論應(yīng)用于實(shí)踐.在此過程中，學(xué)生自主完成舉例、觀察、歸納和概括的全過程，逐步掌握數(shù)學(xué)法則的探究步驟和思路.同時，這一過程也進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力、抽象概括能力以及對數(shù)學(xué)思想方法的深刻理解.

3 總結(jié)反思

在教育改革背景下，激發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為關(guān)鍵課題.鄭毓信提出“深度教學(xué)”是數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在要求與時代高標(biāo)，教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從具體方法邁向一般性思維策略，提升思維品質(zhì)，助力學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，讓其成為學(xué)習(xí)主體.章建躍強(qiáng)調(diào)以“大觀念”為核心設(shè)計教學(xué)，“大觀念”是數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想與方法的凝練概括，涵蓋多方面本質(zhì)總結(jié)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心方法論.

本節(jié)課遵循單元整體教學(xué)理念，聚焦數(shù)學(xué)邏輯連貫性與方法普遍性，在“大觀念”的引領(lǐng)下，按照如下教學(xué)策略組織教學(xué)：設(shè)置合理情境引出研究對象；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比、抽象方法提出問題，明確起點(diǎn)與路徑；研究結(jié)束后深度反思匯總，夯實(shí)大觀念；借助大觀念指導(dǎo)，自主探索類似內(nèi)容.旨在營造深度學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).

具體而言，本節(jié)課就是以“運(yùn)算法則的探究方法”為思維策略，采用“長程兩段式”策略，分“教結(jié)構(gòu)”與“用結(jié)構(gòu)”兩階段.在“教結(jié)構(gòu)”階段，通過探究式教學(xué)讓學(xué)生體驗(yàn)知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)，形成學(xué)習(xí)方法；“用結(jié)構(gòu)”階段，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)方法主動探究類似知識.有理數(shù)加法教學(xué)是“教結(jié)構(gòu)”的過程，減法是“用結(jié)構(gòu)”遷移.通過小結(jié)、歸納等方法，學(xué)生初步理解概括法則探究的一般方法，學(xué)會用相同思路解決問題，實(shí)現(xiàn)大觀念構(gòu)建.學(xué)生利用大觀念自主探究“數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離”，運(yùn)用分類列舉、歸納推理等方法，推導(dǎo)距離公式，提升推理與抽象思維能力，深刻體會從具體到一般的數(shù)學(xué)方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的理論與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019（5）：24-32.

[2]吳增生.單元整體教學(xué)中的若干重要問題及其思考[J].數(shù)學(xué)通報，2021（9）：20-26.

[3]葉瀾，吳亞萍.“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2009.

[4]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[5]侯偉.構(gòu)筑大觀念下初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)與教學(xué)的有效銜接[J].數(shù)學(xué)之友，2024（23）：81-84.