以“變”促“思”：初中數學變式教學實踐探索

摘要：在初中數學知識探究與考查過程中，將變式作為通用內容，其主要目標是通過改變知識呈現形式，培養初中生更為靈活的數學思維，從而推動其對數學知識的巧妙運用.本文中從這一背景入手，先對變式教學的概念、意義進行了分析，然后，結合兩個具體案例闡述了基于參與式課堂的以“變”促“思”的變式教學實踐過程.

關鍵詞：以“變”促“思”；參與式課堂；初中數學；變式教學

自從新課程改革之后，國家教育部門就對初中數學教學提出了新的要求.教師應該在教學過程中，引導學生從多個角度去思考數學問題，并運用數學知識解決問題.以“變”促“思”的意義從理論上來說，變式教學可以提高學生的學習興趣，使學生對知識有更好的理解和記憶.同時，變式教學可以培養學生多角度思考問題的能力，讓他們更好地掌握數學知識.因此，在初中數學教學中引入變式教學是非常重要的.此外，教師還可以通過變式教學來培養學生的數學思維能力.數學思維能力是人們學習和解決問題的重要基礎之一.在學習和解決問題時，學生應該考慮多種解題方案.變式教學可以幫助學生理解數學知識，提高他們的綜合能力和思維能力，從而使他們更好地掌握知識，并運用到生活中.

1 變式教學的概念分析

變式教學本質上是一種靈活多變的教學手段，其核心在于通過調整問題的背景、給定條件或提問的方式，激發學生在多樣化環境中思考和解決問題.這種方法極大地促進了學生對數學知識的深入理解，同時也鼓勵他們積極探索，進而發展其創造性思維和解決實際問題的能力.

2 基于參與式課堂的初中數學變式教學意義

2.1 有利于提高課堂效率

數學知識在傳統課堂上來說相對廣泛、枯燥與乏味，學生如果不能全身心地投入到課堂中，則很容易走神開小差，長此以往數學成績將會一落千丈.而變式教學可以讓書本上抽象的數學知識具象化，將復雜的概念形象化，讓學生能夠更好地理解數學概念和公式理論，讓抽象的概念能和具體問題相聯系，有利于學生進一步探究和理解.俗話說：一萬個人有一萬個哈姆雷特.說明每個人的看法和見解有所不同.初中學生對于數學課堂也是如此，每個人的理解能力和接受程度不同，傳統的教學模式很難兼顧到每一個人，而變式教學可以讓數學知識都系統地聯系在一起，方便每個學生根據自己的定位去理解和學習，繼而提升課堂效率.

2.2 有利于提升學生思維能力

變式課堂說到底最基礎的就是要鍛煉初中學生面對各種數學問題舉一反三的能力，能夠根據一種題型多角度的思考和處理，認識到題型的本質，提升思維能力.學生有了舉一反三的能力，也方便初中數學教師利用變式教學提升數學題的研究層次，更好地提升學生的思維能力.通過變式教學，可以促使學生接觸到不同形式和類型的問題，從而能夠更好地適應各種變化，提高解決問題的能力和思維的靈活性；還可以幫助學生深入理解問題的本質，發現問題的規律，從而更好地解決問題.其次，變式訓練可以引導學生從多個角度去思考問題，從而拓寬視野，增強想象力，提高思維的廣闊性.最后，通過變式訓練，學生可以在不斷探索和嘗試中發現問題、解決問題，從而培養創造能力和創新意識.

3 基于參與式課堂的初中數學變式教學案例

在新一輪的課程改革中，“新形勢下的中學基本教育要以人為本”.根據這一需求，鑒于以“變”促教的實質是加深初中學生的數學認知，因此，從“促進學生發展，以學生為本”的觀點來看，教師必須樹立“以生為主”的理念，深刻剖析學情，并根據學生的發展需求進行課程設計.

案例一 以生為本

數學教學的重要職能是啟迪學生的智慧，引領學生不斷地去探尋解決問題的思路和方法，通過數學教學，培養學生鍥而不舍、不怕困難、嚴謹規范、自省反思的科學精神，讓學生更加聰明.對于解題，我們多是研究怎樣解，較少問為什么這樣解，更少問怎樣學會解.學數學不能不會解題，但關鍵在于怎樣讓學生在學會解題的過程中發展思維能力，也就是核心素養.下面以一道中考壓軸題為例，闡述解題教學的實踐與思考.

（Ⅰ） 試題呈現

（2023年貴州中考第25題）如圖1，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究.在等腰直角三角形ABC中，CA=CB，∠C=90°，過點B作射線BD⊥AB，垂足為B，點P在CB上.

（1）【動手操作】如圖2，若點P在線段CB上，畫出射線PA，并將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，根據題意在圖中畫出圖形，圖中∠PBE的度數為度；

（2）【問題探究】根據（1）所畫圖形，探究線段PA與PE的數量關系，并說明理由；

（3）【拓展延伸】如圖3，若點P在射線CB上移動，將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，探究線段BA，BP，BE之間的數量關系，并說明理由.

（Ⅱ）試題賞析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》將初中階段“圖形與幾何”領域分為“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題.本題涉及“圖形的性質”“圖形的變化”兩個板塊，考查等腰三角形的判定和性質、三角形全等的判定和性質以及分類討論思想.通過作圖，考查學生的實踐能力、幾何直觀素養等.本題以幾何圖形旋轉為背景，問題設置層層遞進，具有良好的“服務選才”和“導向教學”功能，引導教學要強調過程，學習要強調體驗.

（Ⅲ）解法探究

中學數學的知識內容是非常豐富的，教師在上課時要根據學生表現出來的實際情況，采用“一題多解”的方法進行教學；或根據主題的特點，改變形式，對問題進行調整，從而產生更深層的變化.在這個過程中，教師要做的就是對題目進行深度挖掘，擴大題目的覆蓋面，提高學生的真實能力.

本題第（1）問較為基礎，考查學生動手操作水平和作圖能力，易得∠PBE=135°.關于第（2）問探究兩線段的數量關系，往往離不開全等三角形、等腰三角形、平行四邊形等內容，如何用好這些圖形，結合已知條件聯想相關圖形是探尋問題的重點所在.

（i）聯想全等三角形

構造一個三角形.圖形中PA，PE所在的三角形分別是△PAC與△PBE，一個為直角三角形、一個為鈍角三角形，顯然這兩個三角形不全等，于是可考慮將線段PA（或PE）構造到新三角形中并與另一條線段PE（或PA）所在三角形的形狀相同.如，PE所在△PBE是最長邊PE所對角為135°的鈍角三角形，可構造以PA為最長邊的鈍角三角形，再證明全等.

方法1：如圖4，在AC上取一點F，使CP=CF，由∠C=90°，得

∠PFC=45°，則∠PFA=135°，AF=BP.

由AP⊥PE，得

∠APC+∠BPE=90°，∠APC+∠PAC=90°，所以∠BPE=∠PAC.

所以△PBE≌△AFP（ASA），則

PA=PE.

方法2：如圖5，過點P作PG⊥BC交AB于點G，則有∠ABC=∠PGB=45°，于是可得PB=PG，∠PGA=∠PBE=135°.

因為BA⊥BD，AP⊥PE，所以∠PAG=∠PEB，于是可得△PBE≌△PGA（AAS），所以PA=PE.

（ii）聯想等腰三角形

由于線段PA，PE有公共端點P，若能說明△PAE為等腰三角形，即可說明PA=PE；或者利用等量代換，轉換其中一條線段與要證明的另一條線段構成等腰三角形，也可以推出PA=PE.

方法3：如圖6，將△PBE沿BC翻折得到△PBE′，則PE=PE′.

因為∠PBE=∠PBE′=135°，∠ABP=45°，所以∠ABP+∠PBE′=180°，則A，B，E′三點共線，可得∠PAB=∠PEB=∠PE′B，所以PA=PE′.故PA=PE.

（或者延長AB至點E′，使BE=BE′，連接PE′，可以證明△PBE≌△PBE′（SAS），得到PE=PE′，再說明∠PAB=∠PEB=∠PE′B，所以PA=PE′，即有PA=PE.）

案例二 嘗試一題多解，提高思維能力

正所謂“條條大路通羅馬”，很多數學問題的解決方法不止一個，雖然答案是固定的，但是找到答案的方法卻各式各樣.針對同一個數學問題，教師應該鼓勵學生嘗試一題多解， 開動腦筋尋找更多常規思維之外的解題方法.這樣幫助學生感悟數學知識之間的共性，不僅有助于培養他們數學思維的深刻性，同時也能進一步激發學生參與數學活動的興趣.在平時的課堂訓練中，教師要注意抓住教育契機，適時開展一題多解訓練，促進學生數學思維能力的提高.例如，張明買13支鉛筆、5塊橡皮、9個糖果，一共用去9. 25元；如果買2支鉛筆、4塊橡皮、3個糖果，則要用去3.2元.請問買鉛筆、橡皮、糖果各一個，需要用去多少元？設鉛筆、橡皮、糖果的單價分別為x，y，z元，根據題意可得，13x+5y+9z=9.25，2x+4y+3z=3.列方程組求解時，由于是三元一次方程組，因此可用解三元一次方程組的方法求解.但問題并不是分別求x，y，z，而是求x+y+z，因此可以通過湊整法、主元法、消元法、參數法、待定系數法等方法進行解答.這些方法都能巧妙化解原方程組已知量不足的問題，最后可得所求答案為1.05元.變式教學是時下較為新穎的教學方式，在運用變式教學組織初中數學課堂教學活動的過程中，有些教師由于教學經驗不足，不可避免會出現一些問題.為了更好地推動數學教學工作的開展，教師應當立足初中數學教學實際，根據學生知識實際掌握情況以及接受能力進行教學設計.

變式教學是一種能夠推動初中生數學思維發展、全面提升初中數學教育效果的重要方法，也是新課程改革背景下初中數學教育改革的必然趨勢.在進行變式教學的過程中，教師應該先確立一個明確的教學原則，然后將重點放在基礎概念、公式與習題三個方面，合理設計從簡單到困難的變式教學內容，培養學生的數學思維.通過對不同類型的問題進行分析，促使學生得到不同類型問題的解決方法，加深其思想的“變”，從而更好地運用“變”來促進課堂的變化，進而取得最佳的教學效果.