聚焦核心素養 培養應用意識：二次函數在實際中的應用

在運用二次函數解決各類實際問題時，不僅要牢固掌握二次函數的基礎知識，還需具備較高的閱讀和理解能力.準確把握題目中給出的信息，這往往是構建相應二次函數解析式的關鍵所在，然后通過運用數形結合法，能夠將解析式與實際問題關聯起來，實現由實際情境到數學模型的轉化，最后對問題進行深入分析，找到問題的答案.這不僅考驗學生對二次函數知識的掌握程度，還鍛煉他們的邏輯思維和問題解決能力.

1 生活中的拋物線形問題

在現實生活中，許多物體的形狀與拋物線相似，如橋梁的拱形、噴泉的水流軌跡、某些物體的運動路徑等.若要對這些物體的某些特性進行分析，常用的有效方法是構建一個平面直角坐標系，在這個坐標系中，可以將實際問題中的數量關系轉化為點的坐標，描繪出一條拋物線，然后利用拋物線的表達式，將已知的參數與二次函數的知識相融合，即建立一個數學模型，這樣就能夠準確地反映實際情況，最終根據模型進一步分析和解決實際問題.

例1 （2024·江蘇南通初三期末）

提出問題：某數學小組想在拱橋上懸掛牌匾，如何設計懸掛牌匾的方案？

拱橋上懸掛牌匾的相關素材與資料見表1.

素材1

圖1是一座拱橋，圖2是橋拱的示意圖，某時測得水面寬20 m，拱頂離水面5 m.每年夏季，該河段水位在此基礎上會再漲1.8 m達到最高

素材2

國慶節，擬在圖1所示的橋拱上懸掛有“慶祝國慶”四個大字的長方形牌匾，懸掛點在橋拱上，牌匾長8 m、寬1.2 m，下沿與水面平行，為了安全，牌匾底部距離水面應不少于1 m

解決問題：

（1）若橋拱所構成的曲線是拋物線，建立如圖3所示的平面直角坐標系，求拋物線的解析式；

（2）請你設計方案：在（1）的基礎上，牌匾懸掛能否成功？請說明理由；

（3）若素材1中的橋拱形狀是圓弧，其他條件不變，素材2中的牌匾長度縮短為7 m，寬仍然為1.2 m，其他懸掛條件不變，請你通過計算判斷方案是否可行.

解析：（1）如圖4，

因為水面寬20 m，拱頂離水面5 m，

所以頂點為C（0，5），且拋物線經過點B（10，0），A（－10，0）

設該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，于是可得

100a+10b+c=0，100a－10b+c=0，c=5，解得a=－120，b=0，c=5，所以拋物線的解析式為y=－120x2+5.

（2）危險高度為1.8+1.2+1=4（m），最低安全高度為5－4=1（m）.

由y=－120x2+5，當y=4時，4=－120x2+5，

解得x1=25，x2=－25.所以匾額的最大長度為25－（－25）=45≈4×2.24=8.96（m）.

因為8.96gt;8，所以牌匾能成功懸掛.

（3）設圓弧所在圓的圓心為點O，水面寬度為AB=20 m，過點O作ON⊥AB于點C，交圓弧于點N，如圖5.

所以AC=CB=12AB=10 m.

設圓的半徑為r（單位：m），由NC=5，可知OC=r－5.

根據勾股定理，得r2=（r－5）2+102，解得r=12.5（m）.

在CN上截取GC=4 m，過點G作EF⊥GC，交圓于E，F兩點，

連接OE，則OG=ON－NG=12.5－（5－4）=11.5（m），于是EG=12.52－11.52=26（m），

所以EF=2EG=46≈4×2.44=9.76（m）.

因為9.76gt;7，故牌匾能成功懸掛.

點評：本題主要考查二次函數的實際應用，同時考查了垂徑定理、勾股定理，以及利用待定系數法求解析式.

2 生產、生活中的最優問題

在日常生活中，利用二次函數來解決實際生產問題，這類題型在初三統考和中考中占據了重要地位，通常以現實生活為背景，求解諸如最大值、最小值等最優解問題，該類型題目往往通過函數圖象或表格的形式，將實際生活中的數量關系直觀地呈現出來，考查學生對二次函數知識的掌握程度，還深刻反映了數形結合與函數方程思想的綜合運用.

例2 （2024·天津初三期末）大鵬童裝店銷售某款童裝，每件售價為60元，每星期可賣100件.為了促銷，該店決定降價銷售，經市場調查：每降價1元，每星期可多賣出10件.已知該款童裝每件成本30元，設該款童裝每件售價x元，每星期銷售量為y件.

（1）若該店每星期想要獲得3 910元的利潤且想讓顧客得到實惠，則每星期要銷售該童裝多少件？

（2）若商店按每件售價不超過45元來銷售，當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

解析：（1）y=100+10（60－x）=－10x+700.由（x－30）（－10x+700）=3 910，得－10（x－50）2+4 000=3 910，解得x1=53，x2=47.因為該店每星期想要獲得3 910元的利潤且想讓顧客得到實惠，

所以x=47，則y=－10×47+700=230.所以每星期要銷售該款童裝230件.

（2）設該商店每星期的銷售利潤為W元，則W=（x－30）（－10x+700）=－10（x－50）2+4 000.

當x≤45時，W隨x的增大而增大，所以x=45時，W最大值=－10×（45－50）2+4 000=3 750.

故當每件售價為45元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤為3 750元.

點評：本題考查二次函數的應用、一元二次方程的應用等.

3 幾何背景下的最值問題

利用幾何方法求解實際問題中有關二次函數的最值問題時，核心就是在理解題意的前提下，從給出的實際問題中，抽象出二次函數模型，確定模型中的自變量及函數值，尤其需要注意自變量的取值范圍，以及求出的二次函數模型的系數正負，最后利用有關二次函數的基礎知識求解.

例3 （2024·山西呂梁初三聯考）綜合與實踐：利用正方形硬紙板設計制作帶蓋長方體盒子.四邊形ABCD是邊長為30 cm的正方形硬紙片，“睿智小組”設計出不同方式的帶蓋長方體包裝盒，并畫出了示意圖（如圖6中的①和③）及折合成的帶蓋長方體盒子（如圖6中的②和④），其中，實線表示剪切線，虛線表示折痕（設計、折合及計算過程中，紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計），請你觀察、操作、驗證并思考，完成該小組提出的問題.

設計方案一：如圖①，在正方形硬紙片ABCD的四個角處分別剪去兩個大小相同的正方形和兩個大小相同的長方形（陰影部分所示），再沿虛線折合得到一個底面為長方形MNQP的包裝盒（如圖②所示）.

（1）若底面積為162cm2，求MG的長.

設計方案二：如圖③，將正方形硬紙板ABCD切去四個全等的等腰直角三角形（陰影部分所示），其中點E，F在AB上；再沿虛線折起，點A，B，C，D恰好重合于點O處（如圖④所示），形成有一個底面為正方形GHMN的包裝盒，設GF=x cm.

（2）求長方體盒子的側面積S（單位：cm2）與x的函數關系式.

解析：（1）設MG=x cm，則MN=（30－2x）cm，MP=30－2x2cm.

由底面積為162cm2，得MN·MP=（30－2x）×30－2x2=162，解得x1=6，x2=24.

因為MNgt;0，即30－2xgt;0，解得xlt;15，所以MG=6（cm）.

（2）在圖③中，GF=GE=x cm，則EF=2x cm，所以BF=12（AB－EF）=30－2x2（cm）.

因為△BPF為等腰直角三角形，長方體盒子的側面為4個全等的矩形，所以PF=2BF=2×30－2x2=（152－x）（cm），所以S矩形GFPH=GF·PF=x·（152－x）=（152x－x2）（cm2），所以S=4S矩形GFPH=－4x2+602x.

點評：本題考查一元二次方程的實際應用.

綜上所述，在日常的學習過程中，我們需要深入理解二次函數的特性與規律，引領學生不斷拓寬學生的生活知識面，將那些看似抽象的數學公式與實際生活場景緊密地聯系起來.