三角形中位線定理的四基復習

摘要：三角形中位線定理是初中數學中一個重要知識點，也是一種重要的解題工具.熟練掌握定理的內涵、定理的表現形式及建構模型的基本方法，定能助力數學解題，提高解題效率，提升數學核心素養.

關鍵詞：中位線；解題工具；構造；核心素養

三角形中位線定理既是一個重要解題依據，也是一個重要解題工具，既能獨立解題，也能與其他知識融合高效解題，其意義不言而喻.為全面規范把握三角形中位線定理，學好、用好定理助力數學解題，需要落實好以下四個方面.

1 基本知識

（1）三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

（2）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

（3）三角形中位線的深層理解：

①三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相同的位置關系與數量關系.

②三條中位線把原三角形分成全等的4個小三角形，每個小三角形的周長均為原三角形周長的12，每個小三角形的面積均為原三角形面積的14.

③三角形的中位線與三角形的中線是兩個不同的概念，因此所具有的性質也是不同的[1].

2 基本模型和結論

2.1 雙中點模型

條件：如圖1，在△ABC中，D是邊AB的中點，點E是邊AC的中點.

結論：數量關系——DE=12BC或BC=2DE;位置關系——DE∥BC.

2.2 “中點+平行線”模型

條件：如圖1，在△ABC中，D是邊AB的中點，DE∥BC.

結論：數量關系——DE=12BC或BC=2DE;位置關系——E是AC的中點.

證明：如圖2，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F.

∵DE∥BC，CF∥AB，

∴四邊形BDFC是平行四邊形.

∴BD=CF.

∵AD=BD，

∴AD=CF.

∵CF∥AB，

∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠EFC.

∴△ADE≌△CFE.

∴AE=EC.

∴E是AC的中點，DE是△ABC的中位線.

∴DE=12BC.

3 基本應用類型和輔助線構造方法

（1）雙中點模型

在△ABC中，已知兩邊的中點，完全具備定理的條件，可以直接使用.

（2）過已知中點線段的一端點構造平行線型

如圖3，在△ABC中，D是邊AB的中點，E為AC上一點，連接DE，過點B作BF∥DE，則DE是△ABF的中位線，定理可用.

（3）過中點構造平行線型

如圖4，在△ABC中，D是邊AB的中點，過點D作DE∥BC，則DE是△ABC的中位線，定理可用.

4 基本應用舉例

4.1 雙中點型三角形中用定理解決問題

例1 如圖5，面積為1的等邊三角形ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，則△DEF的面積是（" ）.

A.1

B.12

C.13

D.14

解析：根據三角形中位線定理，易證四邊形DBEF，DECF，EFAD都是平行四邊形，則

S△ADF=S△BDE=S△ECF=S△DEF=14S△ABC

，所以選D.

點評：利用三角形中位線定理判定三個四邊形是平行四邊形是解題的關鍵，當然也可利用定理和相似三角形的性質來實現解題目標.

4.2 “中點+平行線”型三角形中用定理探求線段長

例2 如圖6，在△ABC中，D，E為邊AB的三等分點，EF∥DG∥AC，H為AF與DG的交點.若AC=6，則DH=.

解析：∵AD=ED，EF∥DH，

∴EF=2DH，AH=HF.

∵HG∥AC，

∴HG=12AC=3.

∵BE=ED，EF∥DG，

∴DG=2EF，即DH+GH=4DH.

∴DH=1.

點評：選擇適當的線段中點，對接恰當的平行線，生成“中點+平行線”型定理模型，是解題的關鍵.耐心使用定理，構造以所求線段為主元的等式是解題的根本.當然，也可以借助三角形相似的方法實現解題目標.

4.3 “中點+平行線”型三角形中用定理探求三角形面積變化規律

例3 如圖7，四邊形ABCD是矩形，延長DA至點E，使AE=DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1，BF1，得到△EF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到△EF2B；點F3是CF2的中點，連接EF3，BF3，得到△EF3B；……；按照此規律繼續進行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則△EFnB面積為（用含正整數n的式子表示）.

解析：設AE=DA=y，AB=CD=4x，則4xy=2，即xy=12.

設EF1，EF2，EF3，……，EFn分別與AB交于點G1，G2，G3，……，Gn.

∵AE=AD，AB∥CD，

∴AG1是△EDF1的中位線，AG1=12DF1.

∵F1是CD的中點，DF1=12CD=2x，

∴AG1=x，G1B=AB-AG1=3x.

∴S△EBF1=S△BG1F1+S△EBG1=12BG1（AE+AD）=BG1

×y=3xy=32=2+12.

同理，AG2是△EDF2的中位線，AG2=12DF2.

∵F2是F1C的中點，

∴DF2=3x.

∴AG2=32x，G2B=AB-AG2=4x-32x=52x.

∴S△EBF2=S△BG2F2+S△EBG2=12BG2（AE+AD）=BG2

×y=52xy=54=22+122.

仔細觀察三角形中F的右下角碼與底數2的指數，不難發現，底數2的指數等于F的右下角碼，所以△EFnB的面積為2n+12n.

點評：以矩形為問題背景，以線段的中點為問題生成的基本途徑，以圖形的面積為問題結論，通過三角形面積大小的變化揭示中點變化時三角形面積變化中的規律，用熟悉的知識生成富有創意的問題，值得深思，富有挑戰.

解答時，需要從如下幾個方面探索：

（1）涉及的知識：矩形的性質，矩形的面積，線段的中點，三角形中位線定理，三角形的面積公式.

（2）涉及的數學思想：數學的轉化思想，即如何把矩形的面積轉化為三角形的面積；探索規律變化的思想；運動的思想；整體思想；方程的思想.

（3）涉及的方法：圖形面積分割的方法；三角形中位線定理的用法；代數式變形表示法；等等.

5 反思

三角形中位線定理既是一個重要的獨立知識點，可以單獨使用直接解決問題，也是一種重要的解題方法，與其他知識有機融合，雖不是問題的“主角”，卻是問題解決環節上的一顆重要“棋子”，是問題解決的一種有效破解方法.因此，從四基入手，全面把握三角形中位線定理，其中基礎知識是解題的依據，基本模型是解題的圖形依據，基本方法是定理具體運用的方法依據，基本應用展示了定理的基本用途和使用說明，做到夯實基礎，掌握構建模型的方法，明確解題目標，這也是數學核心素養培養、生成的一片知識沃土、智慧源頭之一.

參考文獻：

[1]黃征.三角形的中位線[J].數理天地（初中版），2020（11）：7-9.