數學思想在含參一元一次不等式（組）求解中的運用

數學思想方法是對數學知識內容的本質認識，它是數學思想和數學方法的統一，既包括觀念層面的思想引領，又包括操作層面的方法指導[1].數學思想作為數學知識形成與發展所依賴的基本思想，對于優化學生的思維品質，提升學生的思維能力，激發學生的創新意識具有重要的作用.

含參數的一元一次不等式（組）是學生在學習中容易出現問題的地方，也是中考中常見的考查點.在日常解題教學中，我們對解題方法的關注較多，而對解題思想的提煉較少，缺乏從思想提升的角度分析問題.為此本文中結合具體例題，整理出數學思想方法在一元一次不等式中出現的常見問題，以期對學生的學習產生積極的指導作用.

1 整體思想的運用

整體思想是指用“集成”的眼光，將視線放到問題的整體結構中，通過把握已知和待求之間的關聯，進行整體處理來解決問題的思想方法.運用整體思想可以更好地厘清對象之間的內在邏輯，降低運算難度，提升運算效率.

例1 已知關于x，y的方程組x-2y=m，2x+3y=2m+4的解滿足不等式組3x+y≤0，x+5y＞0，求滿足條件的m的整數值.

分析：常規解法是先求解方程組得到x，y的取值，再代入不等式組確定m的取值范圍，但在本題中求解x，y的值較為繁瑣.仔細觀察方程組和不等式組后發現，無需得到“x”和“y”的取值，只需將“3x+y”和“x+5y”視作整體進行化簡，這樣求解更為便捷.

解：令

x－2y=m，2x+3y=2m+4.①②

①+②，得3x+y=3m+4.

②-①，得x+5y=m+4.

由3x+y≤0，x+5y＞0，得3m+4≤0，m+4＞0.

解得-4＜m≤-43.

所以m的整數值為-3或-2.

已知方程（組）的解的情況確定一元一次不等式（組）中字母系數的取值范圍，這是不等式一章中的常見問題.在代數式求值和方程的求解中我們曾多次使用整體思想解決問題，因而在不等式問題中嘗試使用整體思想體現了思維的一致性.教師要引導學生從整體上認識問題，利用知識間的聯系對問題進行簡化變形，從宏觀層面全面觀察問題的本質，實現對問題的高效求解.

2 方程思想的運用

方程思想源于解決應用問題，問題的數量關系可用等式來表示，而等式依據的一個重要來源就是同一件事情用兩種不同的方式進行表達，從而獲得方程.

例2 關于x的不等式組2x-m＜4，3x-2m≥n的解集是-2≤x＜3，求（m+n）2的值.

分析：依據題意可以先求出不等式組的解集，再對照條件-2≤x＜3，列出關于m，n的方程組，解出m，n后再代入求值即可.

解：原不等式組可化為2x＜m+4，3x≥2m+n.

解得x＜m+42，x≥2m+n3.

根據條件得2m+n3≤x＜m+42.

因為-2≤x＜3，則2m+n3=-2，m+42=3，

解得m=2，n=-10.

所以（m+n）2=64.

方程是解決數學問題的重要工具之一，學生在小學階段就有初步接觸.而方程思想可以使學生更好地理解和掌握初中數學的基本知識，在解決問題時能識別出題目中變量之間的等量關系，再通過積極構建方程或方程組求解.

3 數形結合思想的運用

數形結合思想是根據問題的數量關系與直觀的圖形結構之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來尋找解題思路的一種思想方法，體現了數學的和諧統一.

例3 如果關于x的不等式組3x－a≥0，2x－b≤0的整數解僅有1，2，那么適合這個不等式組的整數a，b組成的有序數對（a，b）共有個.

分析：先解出這兩個不等式的解集，再根據“不等式組的整數解僅有1，2”，借助數軸更形象地畫出符合題意的圖形，按照“先定范圍，后取邊界”的原則確定a，b的取值范圍.

解：不等式組的解集為a3≤x≤b2.

因為不等式組的整數解僅有1，2，所以

在數軸上畫出符合題意的圖形，如圖1所示.

圖1

所以0lt;a3≤1，2≤b2＜3，

即0lt;a≤3，4≤blt;6.

又因為a，b為整數，

所以a=1，2，3，且b=4，5.

故組成的有序數對（a，b）共有6個.

借助數軸是求不等式組解集的常用方法.此外，也可以利用“口訣”來求解，但相比之下，采用數與形結合，通過畫數軸既能更好地幫助學生理解不等式組解集的實質，又減輕了學生的記憶負擔.在蘇科版（2013版）七下第122頁中明確提出“不等式的解集常常可以借助數軸直觀表示出來”，就是對此思想的肯定.

4 化歸思想的運用

化歸思想是將復雜的問題進行轉化處理，實現化繁為簡、化未知為已知的目的.它既是一種重要的數學思想，也是最基本的解題策略，還是一種行之有效的思維方式[2].

例4 如果關于x的不等式組x-a-4＞0，x-3a+2＜0無解，求a的取值范圍.

分析：直接求a的取值范圍是一種常規解題思路，但稍顯繁瑣，若反其道而行之，先求出不等式組有解時a的取值范圍，則問題可迎刃而解.

解：原不等式組可化為x＞a+4，x＜3a-2.

若該不等式組有解，則a+4＜x＜3a-2.

所以a+4＜3a-2，解得a＞3.

故不等式組無解時a的取值范圍是a≤3.

面對不熟悉的問題，可以嘗試轉換角度觀察與思考，由于前面已經解決過不等式組有解問題（如例3），因此將無解轉化有解來思考，通過建立知識之間的聯系，既打開了解題思路，實現了思維的提升，又有效鍛煉了解題能力.

5 分類討論思想的運用

分類討論是分類思想在問題解決時應用的一種方法.解決問題時，需要將問題按照一定的標準分成若干類相互獨立的小問題，且分類區間具有連續性，通過對小問題的逐一解決，最終把討論結果予以整合歸納，體現了思維的嚴密性.

例5 已知關于x的不等式2m-mx2＞12x-1，當m取何值時，該不等式有解？并求出解集.

分析：通過去分母、移項、合并同類項，將原不等式化為“（m+1）x＜2（m+1）”的形式，在系數化為1時，由于“m+1”符號的不確定性，需要對“m+1”進行分類討論.

解：原不等式可化為（m+1）x＜2（m+1）.

若m+1=0，即m=-1，不等式無解；

若m+1＞0，即m＞-1，不等式的解集為x＜2；

若m+1＜0，即m＜-1，不等式的解集為

x＞2.

分類討論的關鍵是明確分類標準，目標是不重復、不遺漏.在不等式兩邊同時乘或除以數或式時需要考慮正負問題.在運算過程中想要突破這些運算的基本限制條件，則需要從某個角度進行分類討論，以保證運算的合理性和完整性[3].

教學活動應促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能，體會和運用數學的思想與方法[4].只有把數學思想方法融入日常教學中，成為備課的有機組成部分，“四基”數學教學才能真正落到實處[5].數學教學中數學思想方法的滲透提升了課堂的思想性，激活了課堂的靈動性，以數學思想方法統領數學問題，從而使學生的思維隨著對數學思想方法的運用而不斷呈現螺旋上升的趨勢.

參考文獻：

[1]董磊.初中數學主要思想方法的內涵及層次結構[J].中學數學教學參考，2018（26）：67-70.

[2]魏重霞.讓化歸思想轉化得巧妙、自然[J].數學教學通訊，2022（11）：60-61.

[3]蔡麗娟.論初中數學教學中分類討論的原理與應用[J].數學教學通訊，2022（14）：58-60.

[4]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[5]張奠宙，鄭振初.“四基”數學模塊教學的構建——兼談數學思想方法的教學[J].數學教育學報，2011，20（5）：16-19.