中考軸對稱問題的常見題型分析與探究

摘要：軸對稱問題在中考數學卷面中的占比雖然不大，但經常會考到.這部分內容一般不會單獨考查，大多在幾何綜合題中出現.除選擇題中對于對稱圖形的考查比較簡單外，其他涉及圖形變換的題目都比較難，有關最值問題的一些模型在有些省份每年必考，需要重點掌握.因此本文中對軸對稱問題的常見題型進行分析與歸納，以望幫助學生更全面掌握軸對稱問題.

關鍵詞：軸對稱；中考；題型分析

1 性質應用題型

1.1 求長度

這類題型需要利用對稱軸是兩個對應點連線的垂直平分線這一性質，可以結合題目給出的條件，替換已知的線段，然后求出待求線段的長度或某個規則圖形的周長［1］.

例1 如圖1，平面中∠AOB外有一點P，分別以OA和OB為對稱軸作點P的對稱點Q和R，連接并延長RQ，分別與OA，OB交于點M，N.已知PM長為5，PN長為6，MN長為8，求線段QR的長.

解：

∵點P，Q關于OA對稱，

∴MQ=PM=5.

∵點P，R關于OB對稱，

∴RN=PN=6.

∵MN=8，

∴NQ=MN－MQ=8－5=3.

∴QR=RN+NQ=6+3=9.

1.2 求角度

解決求角度類型的題目，關鍵是運用軸對稱的兩個圖形是全等形這一性質，得到對應角相等，這類題型就迎刃而解［2］.

例2 如圖2，已知∠AOB=50°，P為∠AOB內一點，點P關于OA，OB的對稱點分別為Q，R，求∠QOR的度數.

解：如圖3，連接OP，因為點P，Q關于OA對稱，點P，R關于OB對稱，所以由軸對稱的性質可知

△QOM≌△POM，

△RON≌△PON.

所以∠QOM=∠POM，∠RON=∠PON.

所以∠QOR=2（∠POM+∠PON）=2∠AOB=2×50°=100°.

2 將軍飲馬題型

這類題型的特征是已知兩個定點和一條定直線，當兩個定點在定直線的同側時，要在定直線上確定一點，使得該點到兩個定點的距離之和最短［3］.這類問題的求解要運用軸對稱的性質，將同側的兩點轉為異側的兩點，然后利用兩點之間線段最短或三角形三邊的關系來解決.

例3 已知直線l和A，B兩點，請在直線l上找一點P，使PA+PB最小，并說明理由.

解：（1）如圖4-1所示，當A，B兩點在直線l的兩側時，因為兩點之間線段最短，

所以連接AB，線段AB與直線l的交點即為點P，此時PA+PB最小.

（2）如圖4-2所示，當A，B兩點在直線l的同側時，先利用軸對稱的性質，作點A關于直線l的對稱點A′，再連接BA′，BA′與直線l的交點即為點P，此時PA+PB最小.

3 周長最短題型

周長最短類題型的特征，一般是已知一個定點和兩條直線，或者已知兩個定點和兩條直線，要求在兩條直線上各找一個點使構成的三角形或四邊形的周長最短［4-5］.解這類問題需結合兩點之間線段最短和軸對稱的知識，將三角形或四邊形的周長轉換成一條線段的長，相當于求若干條線段的和最小.

例4 如圖5，已知∠AOB內有一定點P，試在OA，OB上各找一點M，N，使得△PMN的周長最短.

解：如圖6，根據軸對稱的性質分別作出點P關于OA，OB的對稱點Q，R，連接QR，

此時，QR與OA，OB的交點即為所要找的點M，N，連接PM，PN，此時△PMN周長最短，即為QR的長度.

4 和最小題型

解決和最小類題型時，若已知直線同側兩點，則作其中一個點關于已知直線的對稱點，轉化為在已知直線異側的兩點，然后連線找交點［6］.若遇到一點兩線或兩點兩線這類更為復雜的問題時，利用軸對稱分別作已知點關于兩條直線的對稱點，然后連線找交點解決問題.而當要求解差最大問題時，則利用軸對稱知識把直線異側的兩點轉化為直線同側的兩點，然后作直線找交點［7］.

例5 如圖7所示，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，E，F分別是線段BC，DC上的動點.當△AEF的周長最小時，求∠EAF的度數.

解：如圖8，作點A關于BC和DC的對稱點A′和A″，連接A′A″，交BC于點E，交DC于點F，

則A′A″的長度即為△AEF周長的最小值.

作DA的延長線AH.

∵∠BAD=130°，

∴∠HAA′=180°－∠DAB=50°.

∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°.

∵∠AA′E=∠EAA′，∠FAD=∠A″，

∴∠EAA′+∠A″AF=50°.

∴∠EAF=130°－50°=80°.

5 造橋選址題型

解答造橋選址問題先利用平移化“折”為“直”，再利用異側兩點確定選址位置.

例6 如圖9所示，一條河流的寬度為3 m，流經村莊的時候恰好是直角轉彎（CC′），A，B兩地在東西方向上相距43 m，在南北方向上相距33 m.現要在A，B之間架兩座與河岸垂直的橋DD′，EE′，使得從A到B的路程最短，求橋的位置以及最短路程.

解：如圖10，作AF⊥CD于點F，使AF=DD′，作BG⊥CE于點G，使BG=EE′.又兩座橋與河岸垂直，所以四邊形ADD′F與四邊形BEE′G均為平行四邊形.

而兩點之間線段最短，

即GF最短，即當橋建于如圖10所示的位置時，從A到B的路程最短，且最短路程為

（43－3）2+（33－3）2+2×3=56（m）.

解與軸對稱有關的問題，要抓住軸對稱的定義，熟悉軸對稱圖形的形狀特征和軸對稱性質的應用［8］.找到問題中存在的軸對稱圖形，或者連接圖形中的對應點構建出軸對稱圖形，然后運用對稱軸與垂直平分線和角平分線的關系，進行線段與線段、角度與角度之間的轉換，從而解答問題.

參考文獻：

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[5]朱浩.基于“情境化”“去情境化”“再情境化”的初中數學教學——以“軸對稱圖形”教學為例[J].數學學習與研究，2023（22）：125-127.

[6]李浩威.深度學習理論下初中數學復習課教學策略探究——以《軸對稱復習課》為例[C]//廣東省教師繼續教育學會.2022年度“粵派名師杯”教育教學改革與創優秀論文集（二）.廣州：廣東省教師繼續教育學會，2023：347-350.

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[8]鞏家聰.基于OBE理念的初中數學幾何直觀素養培養研究——以“圖形與幾何”為例[D].漢中：陜西理工大學，2023.