圖形翻折問題求解分類例析

翻折是四種圖形變換之一，屬于全等變換，任何一個圖形都可以翻折，但是不同圖形，不同的翻折方式，所得的圖形之間的相互關系是不相同的.下面以平行四邊形、正方形、直角三角形、菱形的翻折為例，說明翻折后圖形位置關系及數量關系的變化，旨在加強學生對軸對稱性質及相關特殊圖形性質的理解和認識，以提高學生分析問題和解決問題的能力，發展學生的核心素養.

1 平行四邊形的翻折

平行四邊形有對邊平行且相等、對角線互相平分的性質.當平行四邊形按對角重合實現翻折時，一定有全等三角形，在此類問題中求線段的長，應通過作垂線構造直角三角形，將題中數據集中在這個直角三角形中，利用勾股定理求解.

例1 如圖1，將ABCD沿EF對折，使點A落在點C處，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，則DF的長為.

解析：如圖2，過點C作CG⊥AB交延長線于點G，在ABCD中，∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，由于ABCD是沿EF對折，于是可得∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，D′C＝AD＝BC，所以∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，即∠D′CF＝∠ECB.在△D′CF與△ECB中，∠D′=∠EBC，D′C=BC，∠D′CF=∠ECB，所以△D′CF≌△BCE（ASA），所以D′F＝EB，CF＝CE.因為DF＝D′F，所以DF＝EB，從而AE＝CF.設AE＝x，則EB＝6-x，CF＝x.因為BC＝4，∠CBG＝60°，所以BG＝12BC＝2，CG＝23，則EG＝EB+BG＝6-x+2＝8-x.在Rt△CEG中，由勾股定理可知（8-x）2+（23）2＝x2，解得x＝194，即CF=194，從而DF=6-194=54.故答案為54.

點評：翻折前后的兩個圖形是全等形，即對應角相等，對應邊相等，與圖形中已有的條件結合，可以得到新的等量關系，如等角∠D′CF＝∠ECB，等邊D′F＝EB，CF＝CE等.

2 正方形的翻折

正方形的四條邊相等，四個角都是直角，對角線互相垂直平分且相等.當將正方形一個角翻折時，折痕就是翻折前后兩個圖形的對稱軸，可以得到另一個直角.在這種圖形中，有更多的直角三角形及全等三角形可以利用.

例2 如圖3所示，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點，連接AE，折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經過點B，得到折痕BF，點F在AD上，若DE＝5，則GE的長為.

解析：如圖4所示，因為四邊形ABCD為正方形，所以AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°.根據折疊及軸對稱的性質，可知△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，則BF⊥AE，AH＝GH，所以∠BAH+∠ABH＝90°.又因為∠FAH+∠BAH＝90°，所以∠ABH＝∠FAH，從而△ABF≌△DAE（ASA），則有AF＝DE＝5.在Rt△ABF中，BF＝AB2+AF2＝122+52＝13.由S△ABF＝12AB＼5AF＝12BF＼5AH，得12×5＝13AH，所以AH＝6013，從而AG＝2AH＝12013.因為AE＝BF＝13，所以GE＝AE-AG＝13-12013＝4913.故答案為4913.

點評：本題利用了軸對稱的一條重要性質，即對應點的連線被對稱軸垂直平分；利用了直角三角形一條容易被忽略的性質，即直角三角形兩條直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.

3 直角三角形的翻折

直角三角形與勾股定理、兩銳角互余、銳角三角函數等知識有關.當將直角三角形翻折時，可以得到新的直角三角形或等腰三角形，但不同的翻折會對應不同的情況，下面的實例探究了翻折后所得銳角的正切值隨翻折變化而變化的規律.

例3 如圖5，在以A為直角頂點的等腰直角三角形紙片ABC中，將B角折起，使點B落在AC邊上的點D（不與點A，C重合）處，折痕是EF.

如圖5（1），當CD＝12AC時，tan α1＝34；

如圖5（2），當CD＝13AC時，tan α2＝512；

如圖5（3），當CD＝14AC時，tan α3＝724；

…………

依此類推，當CD＝1n+1AC（n為正整數）時，tan αn＝.

解析：觀察可知，正切值的分子依次是3，5，7，9，……，2n+1；

分母與勾股數有關系，分別是勾股數（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），……，2n+1，（2n+1）2－12，（2n+1）2+12中的中間一個.

所以tan αn＝2n+1（2n+1）2－12＝2n+12n2+2n.

故填答案：2n+12n2+2n.

點評：如果一組正整數，符合兩個數的平方和等于第三個數的平方，那么這組整數稱之為勾股數，如（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（10，24，26），（11，60，61），（12，16，20），（12，35，37），（20，21，29），（20，99，101），（48，55，73），（60，91，109）等.要得到勾股數組，可以根據需要采用以下兩種方式，一是套用公式（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1），二是套用公式（2n，n2-1，n2+1）.

4 菱形的翻折

菱形有四條邊相等、對角線互相垂直平分的性質，將菱形的一個角翻折求線段的最小值，是較常見的一類問題，要根據“兩點之間，線段最短”原理去解答，即將一條固定長度的線段與所求線段放在同一直線上，此時所求線段有最小值.

例4 如圖6所示，在邊長為3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點，且AM＝13AD，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是.

解析：如圖7，過點M作MH⊥CD交CD延長線于點H，連接CM.因為AM＝13AD，AD＝CD＝3，所以AM＝1，MD＝2.

因為CD∥AB，所以∠HDM＝∠A＝60°.

所以HD＝12MD＝1，HM＝3，則CH＝4，

從而MC＝MH2+CH2＝19.

因為將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，所以AM＝A′M＝1，則點A′在以M為圓心，AM為半徑的圓上，所以當點A′在線段MC上時，A′C長度有最小值，且A′C長度的最小值為MC-MA′＝19-1.

故填答案：19-1.

點評：本題求A′C長度的最小值，也可以理解為從圓M外一點C到圓上各點的所有線段中，求長度最短的線段，其基本方法是過圓外一點C與圓心M作直線，與圓有兩個交點，則這兩個交點與圓外一點形成的兩條線段中，一條是長度最短的線段，另一條是長度最長的線段.

魏爾德說：“數學是一種不斷進化的文化.”學數學就要不斷地研究與發現，以上通過平行四邊形、正方形、直角三角形、菱形的翻折，進一步研究了翻折的性質，看到了這些特殊圖形與圖形變換之間的聯系，有助于提高學生思維的靈活性，拓展學生思維的廣闊性，發展學生的核心素養.