例析反比例函數與幾何圖形結合類習題

摘要：反比例函數是初中數學中非常重要的函數類型，習題情境千變萬化.部分習題與幾何圖形結合起來設問，綜合性較強.學習的過程中，不僅需要牢記反比例函數的性質及圖象，更要注重運用所學推導一般的結論，以更好地解答反比例函數與幾何圖形結合類習題，提高解題效率.文章選取反比例函數與三角形、平行四邊形、正方形、圓結合類習題，展示解題過程，供參考.

關鍵詞：反比例函數；結合圖形；例析

反比例函數學習的過程中，可以按照反比例系數k值的正負，結合函數圖象進行對比記憶，輔助理解，切實夯實基礎[1].考慮到反比例函數與幾何圖形結合類習題在日常測試及中考中屢見不鮮，因此，學習的過程中應進行針對性的訓練、總結，進一步挖掘反比例函數的性質，積累相關的解題經驗.

1 與三角形結合

反比例函數與三角形相結合的習題主要考查反比例函數的性質、三角形的性質等內容.部分習題情境新穎，考查的內容是一些比較常用但不容易被關注的知識點，如反比例函數的圖象關于直線y=x對稱等.

例1 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=－x+5和反比例函數y=4x（xgt;0）的圖象交于A，B兩點，其中在反比例函數圖象上有一動點P，連接PA，PB，若△PAB的面積為定值，且對應的點有且只有3個，則點P到直線AB的距離為（" ）.

A.22

B.32

C.2

D.3

解析：深入理解△PAB面積為定值的點P有且只有3個是解題的關鍵，這表明在點A的上方和點B的下方且在反比例函數y=4x（xgt;0）的圖象上各有1個滿足題意的點P（如圖2中的P2和P3）.在線段AB下方，有且只有一個滿足題意的點P（如圖2中的P1）.

此時點P1距離原點最近.由反比例函數圖象的特點可知，P1是直線y=x和反比例函數y=4x（xgt;0）的圖象的交點.由y=x，y=4x，解得x1=2或x2=－2（舍去），則點P1（2，2）.

設直線y=x和直線y=－x+5的交點為C.由y=x，y=－x+5，解得x=52，y=52，則點C52，52，所以點P1和點C之間的距離即為所求.

而|P1C|=52－22+52－22=22，則點P到直線AB的距離為22，故選：A.

2 與平行四邊形結合

解答反比例函數與平行四邊形結合的習題時，應注重平行四邊形性質的活用，尤其需借助反比例函數確定對應的點，并通過數形結合理順解題思路.

例2 如圖3，直線AB和反比例函數y=kx（xgt;0）的圖象交于點A（2，3），直線AB和x軸交于點B（4，0）.過點B作x軸的垂線BC，交反比例函數的圖象于點C.若在平面直角坐標系中存在一點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標為.

解析：

根據題意，將點A的坐標代入反比例函數的解析式中，可以得到k=2×3=6，則反比例函數的解析式為y=6x（xgt;0）.點C的橫坐標為4，將其代入y=6x中，得到y=32，則點C4，32.

①當點D在點A正下方時，由平行四邊形的判定定理可知，此時只需AD=CB.由CB=32，得yD=3－32=32，此時點D的坐標為2，32.

②當點D在點A正上方時，yD=3+32=92，此時點D的坐標為2，92.

③當點D在線段BC的右側時，要想滿足題意，應有xD－xB=xC-xA，yB－yD=yA－yC，解得xD=6，yD=－32，此時點D的坐標為6，－32.

綜上，可知點D為2，32或2，92或6，－32.

3 與正方形結合

解答反比例函數與正方形結合的習題時，除了靈活運用反比例函數及正方形的性質外，還應根據需要通過添加輔助線構造圖形[2].

例3 如圖4，在x軸上方作正方形OABC，其對角線的交點P（m，2）在第一象限，其中雙曲線y=kx（xgt;0）經過點P和點C，則m2+2m的值為.

解析：

過點A，P，C分別向x軸作垂線，垂足分別為D，F，E，連接PD，PE，如圖5所示.

由四邊形OABC為正方形，可知∠AOC=90°，則∠DAO+∠AOD=∠EOC+∠AOD=90°，所以∠DAO=∠EOC.又∠ADO=∠OEC=90°，AO=OC，則△DAO≌△EOC（AAS），所以DO=EC，∠AOD=∠OCE.

又∠AOP=∠OCP=45°，則∠AOD+∠AOP=∠OCE+∠OCP，即∠POD=∠PCE.又OP=CP，OD=CE，則△POD≌△PCE（SAS），則PD=PE，∠DPO=∠EPC；又∠OPE+∠EPC=∠OPC=90°，則∠OPE+∠DPO=∠DPE=90°.所以△DPE為等腰直角三角形，則PF=DF=FE.

由點P（m，2），得DO=CE=2-m，OE=2+m，則點C（2+m，2-m）.由雙曲線y=kx（xgt;0）經過點P和點C，得2m=（2+m）（2－m），則2m=4－m2，即m2+2m=4，故m2+2m的值為4.

4 與圓結合

解答部分反比例函數與圓結合的習題時，既需要對習題有感性的認識，確定思考問題的大致方向，又需要通過計算、分析，做出理性的判斷.

例4 在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1－x2=y1－y2，則稱點A和點B互為“等距點”.點M是以O為圓心，2為半徑的圓上一點.若反比例函數y=kx（k≠0）的圖象上存在點M的等距點N，則k的取值范圍為.

解析：

設點A（x1，y1），B（x2，y2）所在直線和x軸的夾角為α，容易得到tan α=y1－y2x1－x2=1，則該直線和x軸的夾角為45°，可設該直線為y=x+b.

當k＞0時，如圖6所示，k無論怎么變化，均存在直線y=x+b分別和圓及反比例函數的圖象有兩個交點的情況，滿足題意.

當k＜0時，反比例函數的圖象和圓只有一個交點時，如圖7所示，容易得出在第二象限交點的坐標為（-1，1），代入到反比例函數的解析式可知k=-1，隨著k值的變小，反比例函數圖象會遠離圓，因此，要想滿足題意，應有-1＜k＜0.

綜上所述，滿足題意的k的取值范圍為-1＜k＜0或k＞0.

5 總結

反比例函數與幾何圖形結合類的問題情境多變，考查的知識點多而零碎.為更好地解答該類問題，既需要牢記、深入理解相關的性質，又需要進行自主探索，發現、積累一些新的知識，不斷擴充知識儲備，為更高效、正確地解題提供指引.

參考文獻：

[1]黃琳珊.反比例函數與幾何圖形結合的動點問題探究[J].中學教學參考，2024（29）：31-33.

[2]崔濤.反比例函數與幾何圖形的演繹[J].數理天地（初中版），2022（19）：25-26，28.