加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模,增強(qiáng)應(yīng)用意識

摘要：一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)中的一個重要知識點(diǎn)，在最近幾年各地的中考中，考查的分值越來越高，考查的主要內(nèi)容是有關(guān)一次函數(shù)的定義與圖象、解析式和方程，以及一次函數(shù)的最值在實(shí)際中的綜合應(yīng)用.本文中以2024年青島的中考和2024年江蘇的初三檢測題為例，通過對這兩個題目的深度剖析、深入探究，探討有關(guān)一次函數(shù)在中考、統(tǒng)考中的題型特點(diǎn)，讓學(xué)生熟知熱點(diǎn)題型，明確問題的求解策略以及數(shù)形結(jié)合思想在該類問題中的應(yīng)用，不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)抽象思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；實(shí)際應(yīng)用；最值

一次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，已經(jīng)成為各地最近幾年初三統(tǒng)考和中考的熱點(diǎn)題型，尤其是有關(guān)一次函數(shù)兩類最值題型，即利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決的最值問題與幾何圖形中的最值問題.下面就利用具體題型來分析該類問題的特征和命題方向，通過兩個具體題目的剖析，培養(yǎng)學(xué)生利用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力，加深對該類問題的解題思路和方向的規(guī)律探索，引導(dǎo)學(xué)生找到合理的求解策略，掌握用一次函數(shù)性質(zhì)和圖象來解決實(shí)際問題中的有關(guān)最值問題，不斷提高學(xué)生利用所學(xué)知識分析問題和解決實(shí)際問題的能力.

例1 （2024年山東青島初三數(shù)學(xué)中考）為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航海模型.已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2 000元購買航空模型的數(shù)量是用1 800元購買航海模型數(shù)量的45.

（1）求航空模型和航海模型的單價；

（2）學(xué)校采購時恰逢該商場“六一兒童節(jié)”促銷：航空模型八折優(yōu)惠.若購買航空模型、航海模型共120個，且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的12，請問分別購買多少個航空和航海模型，學(xué)校花費(fèi)最少？

思路分析：對于第（1）問，首先要根據(jù)已知設(shè)航空模型的單價，由此得到航海模型的單價，根據(jù)購買航空模型的數(shù)量與購買航海模型數(shù)量之間的關(guān)系，列出方程求解即可.對于第（2）問，可以設(shè)出購買航空模型的個數(shù)，然后根據(jù)航空模型的數(shù)量與航海模型的數(shù)量之間的關(guān)系，列出不等式求出自變量的取值范圍，再列出關(guān)于自變量的函數(shù)式，最后利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

解析：（1）根據(jù)已知，設(shè)航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為（x－35）元.

由題意，可得2 000x=45×1 800x－35.

解得x=125.

經(jīng)檢驗，當(dāng)x=125時，x（x－35）≠0，故x=125是原方程的解，且符合題意.

所以航海模型的單價為x－35=90（元）.

綜上所述，航空模型的單價為125元，航海模型的單價為90元.

（2）根據(jù)題意，設(shè)購買航空模型m個，花費(fèi)為y元，則

購買航海模型（120－m）個.

由題意，可得m≥12（120－m）.

解得m≥40.

故y=125×0.8m+90（120－m）=10m+10 800.

因為10gt;0，所以y隨m增大而增大.

故當(dāng)m=40時，y有最小值，y的最小值為10×40+10 800=11 200.

此時120－m=80.

綜上所述，當(dāng)購買40個航空模型和80個航海模型時，學(xué)校花費(fèi)最少.

此題是以一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用為背景，結(jié)合分式方程的實(shí)際應(yīng)用、一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用問題，需要確定自變量的取值范圍，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解最值問題.

解決這類實(shí)際應(yīng)用的最值問題時，首先要根據(jù)已知條件審清題意，然后提取這些信息中的核心信息，為后續(xù)解答本題做好鋪墊.比如，本題中利用已知條件建立一次函數(shù)關(guān)系式，以及確定自變量的取值范圍及單調(diào)性.這類問題往往需要在掌握好函數(shù)的基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，然后通過數(shù)形結(jié)合法，找到解題的突破口，最后利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解最值問題.

例2 （2024年江蘇蘇州初三數(shù)學(xué)檢測）隨著新能源汽車的發(fā)展，江蘇某市某公交公司計劃用新能源公交車，對于“尾氣超標(biāo)”的燃油公交車，計劃更換新的車型.新能源生產(chǎn)的新型公交車有A型和B型兩種車型，若公交公司購買A型3輛，B型1輛，共需花費(fèi)260萬元；若公交公司購買A型2輛，B型3輛，共需花費(fèi)360萬元.

（1）試求公交公司購買每輛A型和B型的花費(fèi)分別是多少萬元？

（2）某條市區(qū)路線上的每輛A型公交車和B型公交車年均載客量分別為70萬人次和100萬人次.若公交公司計劃購買10輛A型、B型兩種新能源公交車，且規(guī)定總費(fèi)用不超過650萬元.為保障該線路的年均載客總量最大，請設(shè)計購買方案，并求出年均載客總量的最大值.

思路分析：對于第（1）問，根據(jù)題意，可以分別設(shè)出購買每輛A型和B型公交車輛的費(fèi)用，然后根據(jù)“購買A型公交車3輛、B型公交車1輛，共需260萬元；購買A型公交車2輛、B型公交車3輛，共需360萬元”，列出有關(guān)的一次函數(shù)等式系解決問題即可.對于第（2）問，可以考慮先設(shè)購買A型公交車的數(shù)量，由此得出購買B型公交車的數(shù)量，然后利用已知“公司準(zhǔn)備購買10輛A型、B型兩種新能源公交車，總費(fèi)用不超過650萬元”，這樣可以列出不等式求得參數(shù)a的取值，再求出線路的年均載客總量w與a的關(guān)系式，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

解析：（1）根據(jù)題意，設(shè)購買A型新能源公交車需花費(fèi)x萬元，購買每輛B型新能源公交車需花費(fèi)y萬元.

由題意，可得3x+y=260，2x+3y=360.

解得x=60，y=80.

綜上所述，購買每輛A型新能源公交車需60萬元，購買每輛B型新能源公交車需80萬元.

（2）設(shè)購買A型新能源公交車a輛，則購買B型新能源公交車（10－a）輛，該線路的年均載客總量為w萬人次.

由題意，可得60a+80（10－a）≤650.

解得a≥7.5.

因為a≤10，所以7.5≤a≤10.

又因為a是整數(shù)，

所以a=8，9，10.

依題知線路的年均載客總量w與a的關(guān)系式為w=70a+100（10－a）=－30a+1 000.

因為－30lt;0，所以w隨a的增大而減小.

故當(dāng)a=8時，線路的年均載客總量最大，最大載客量為－30×8+1 000=760（萬人次）.

故購買方案為購買A型新能源公交車8輛，B型新能源公交車2輛，此時線路的年均載客總量最大，最大值為760萬人次.

此題是用函數(shù)、方程及不等式來求解有關(guān)實(shí)際問題中的變量與變量之間規(guī)律的重點(diǎn)題型.本題主要考查二元一次方程組、一元一次不等式及一次函數(shù)的應(yīng)用.解答本題時，要注意在理解題意的基礎(chǔ)上，找出題目中各個量之間蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，然后列出有關(guān)的不等式求出變量的范圍，判斷出有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，最后利用一次函數(shù)知識來求解.通過本題的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生知曉函數(shù)、方程及不等式三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)題意提取題目中的數(shù)量之間的關(guān)系，通過題目給出的文字描述，轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)變化規(guī)律，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)、方程與不等式三者之間的內(nèi)在聯(lián)系和不同的作用，在準(zhǔn)確理解函數(shù)與方程之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合及一次函數(shù)的性質(zhì)求解有關(guān)實(shí)際問題中的最值問題.

一次函數(shù)在實(shí)際最值問題中的應(yīng)用，涉及初中數(shù)學(xué)中較多的基礎(chǔ)知識點(diǎn)，比如一次函數(shù)、方程、不等式等，而且該類題型很多時候?qū)?shù)形結(jié)合的要求比較高，不過考查的一般是比較基礎(chǔ)的問題，但其中往往蘊(yùn)含著方程思想、函數(shù)思想、參數(shù)范圍求解等，且作為基礎(chǔ)題出現(xiàn)在各地中考或初三統(tǒng)考試卷中，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理能力、函數(shù)與方程及思維能力等.

因此，在日常教學(xué)和復(fù)習(xí)過程中，要提高學(xué)生對基礎(chǔ)知識的熟練記憶，以及利用所學(xué)知識解決有關(guān)實(shí)際問題中的最值問題的能力，同時要注意基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用.在學(xué)習(xí)好基礎(chǔ)知識的同時，提高運(yùn)用所學(xué)習(xí)知識分析問題和解決實(shí)際問題的能力.通過利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的強(qiáng)化訓(xùn)練，不僅僅提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，還培養(yǎng)了學(xué)生良好的思考問題的品質(zhì)，以及良好的學(xué)習(xí)態(tài)度.