例析反比例函數代數推理中考題

1 根據k值不變性建立一元二次方程求解

例1 （2023＼5威海）如圖1，若點A，B在坐標系的第一象限的反比例函數y=kx（x＞0）的圖象上.點A的坐標為（m，2）.連接OA，OB，AB.若OA＝AB，∠OAB＝90°，則k的值為.

分析：由OA＝AB，∠OAB＝90°，構造全等三角形，用含有m的式子表示點B的坐標，利用同一反比例函數圖象上點的坐標之積相等，列出關于m的一元二次方程，解出m即可求出點A的坐標.

解：如圖2，過點A作x軸的平行線交y軸于點M，過點B作y軸的平行線交MA的延長線于點N，則∠MOA+∠MAO＝90°，

∠NAB+∠MAO＝90°.

所以∠MOA＝∠NAB.

又∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB，所以可得

△AMO≌△BNA（AAS）.

所以AM＝NB＝m，MO＝AN＝2.

易知B（m+2，2-m）.

由點A，B都在反比例函數上，得

2m＝（m+2）（2-m），

解得m1＝-1+5，m2＝-1－5（舍去）.

所以點A的坐標為（-1+5，2）.

所以k＝xy＝2（5－1）＝25－2.

點評：解決本題的突破口是根據已知條件構造一線三垂直圖形，出現全等三角形，并利用反比例函數圖象上點的坐標特征建立一元二次方程.

2 根據函數圖象交點建立含參方程

例2 （2023＼5安徽）平面直角坐標系內，y=kx（k≠0）的圖象與y＝-x+b的圖象在第一象限相交，如圖3所示，則函數y＝x2-bx+k-1的圖象可能為（" ）.

分析：由反比例函數y=kx與一次函數y＝-x+b的圖象，可知k＞0，b＞0，所以二次函數y＝x2-bx+k-1圖象的對稱軸為直線x=b2＞0，根據圖3中兩個交點為（1，k）和（k，1），可得k-b＝-1，所以函數y＝x2-bx+k-1的圖象過點（1，-1），不過原點，即可判斷函數y＝x2-bx+k-1的大致圖象.

解：由于一次函數y＝-x+b的圖象經過第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，則b＞0，由于反比例函數y=kx的圖象經過第一、三象限，則k＞0.所以二次函數y＝x2-bx+k-1圖象的對稱軸為直線x=b2＞0.

由圖象可知，反比例函數y=kx與一次函數y＝-x+b的圖象有兩個交點（1，k）和（k，1），則

-1+b＝k，即k-b＝-1.

所以b＝k+1.

對于函數y＝x2-bx+k-1，

當x＝1時，則有y＝1-b+k-1＝-1.

所以函數y＝x2-bx+k-1的圖象過點（1，-1）.

因為反比例函數y=kx與一次函數y＝-x+b的圖象有兩個交點，所以

方程kx=－x+b有兩個不相等的實數根.

所以Δ＝b2-4k＝（k+1）2-4k＝（k-1）2＞0，則

k-1≠0.

所以當x＝0時，y＝k-1≠0，

函數y＝x2-bx+k-1的圖象不過原點.

故符合以上條件的只有A選項.

點評：本題考查一次函數、反比例函數和二次函數的綜合應用.在解題過程中，要根據一次函數與反比例函數圖象的位置、交點坐標建立方程，得出參數之間的等量關系，利用方程的性質求出參數k≠-1，從而確定所求二次函數的大致圖象.

3 根據函數圖象交點建立方程組

例3 （2023＼5安徽）如圖4，點O是坐標原點，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝2，∠AOB＝30°，點A在x軸的正半軸上，若y=kx（k＞0）的圖象經過斜邊OB的中點C.

（1）k＝；

（2）D為該反比例函數圖象上的一點，若DB∥AC，則OB2-BD2的值為.

分析：（1）根據含30°角的直角三角形的性質，求出A，B兩點坐標，過點C作CP⊥OA，證得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系數法求函數解析式.（2）分別求出AC與BD的解析式，再聯立方程組，求得點D的坐標，分兩種情況討論即可求解.

解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，則

OB=4，OA=23，所以A（23，0），B（23，2）.

由C是OB的中點，可知OC＝BC＝AC＝2.

如圖5，過點C作CP⊥OA于點P，則△OPC≌△APC（HL），所以

OP=AP=12OA=3.

在Rt△OPC中，則有PC=OC2－OP2=4－3=1.

所以C（3，1）.

由y=kx（k＞0）的圖象經過點C，得k=3.

（2）易求得直線AC的解析式為y=－33x+2.

由AC∥BD，B（23，2），可得直線BD的解析式為y=－33x+4.

根據點D既在反比例函數圖象上，又在直線BD上，

聯立y=3x，y=－33x+4，解得x1=23+3，y1=2－3，或x2=23－3，y2=2+3.

當點D的坐標為（23+3，2－3）時，OB2=16，BD2=（23+3－23）2+（2－3－2）2=9+3＝12，所以

OB2-BD2＝16-12＝4.

當D的坐標為（23－3，2+3）時，OB2=16，

BD2=（23－3－23）2+（2+3－2）2=9+3＝12，所以

OB2-BD2＝16-12＝4.

綜上，OB2-BD2＝4.

點評：本題綜合考查反比例函數圖象與幾何圖形結合產生的性質；涉及含30°角的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、勾股定理，全等三角形的判定與性質，反比例函數圖象上點的坐標知識等；涉及待定系數法、數形結合、方程與函數思想等.

4 根據新定義建立含參方程組

例4 （2023＼5樂山）定義：若x，y滿足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t為常數），則稱點M（x，y）為“和諧點”.

（1）若P（3，m）是“和諧點”，則m＝；

（2）若雙曲線y=kx（-3＜x＜-1）存在“和諧點”，則k的取值范圍為.

分析：（1）根據“和諧點”的定義，建立方程組4m+t=9，12+t=m2，消去t得m2+4m-21＝0，解方程即可.

（2）根據“和諧點”的定義，結合反比例圖象上的點建立方程組，得x2=4kx+t，k2x2=4x+t，并變形化簡.

解：（1）由P（3，m）是“和諧點”，可得m≠3，且

4m+t=9，12+t=m2，消去t得到m2+4m-21＝0.

解得m＝-7，或m=3（舍去），所以m＝-7.

（2）若雙曲線y=kx（-3＜x＜-1）存在“和諧點”，則有

x2=4kx+t，k2x2=4x+t.

①②

①-②，得x+kxx－kx＝-4x－kx.

所以x－kxx+kx+4＝0.

因為x≠y，所以x+kx+4＝0.

整理得

k＝-x2-4x＝-（x+2）2+4.

因為-3＜x＜-1，所以3＜k≤4.

點評：本題是新定義問題，考查運用新定義將問題情境轉化為常見問題與所學知識的能力.要運用反比例函數圖象上點的坐標特征建立含參方程組，進一步消參化簡轉化為函數取值范圍問題；本題綜合性強，有一定難度.

代數推理是《義務教育數學課程標準（2022年版）》新增內容，它是推理的重要形式.我們要運用代數表示方法、基本運算法則及變形技巧進行推理演算得出所求問題的結果.我們要運用函數與方程、數形結合、分類與討論等數學思想進行等價轉化、分析與綜合、探索與推導等，抓住所求問題的條件與結論的本質特征及內在聯系，要求每一步言之有據，逐步形成代數推理中的演繹推理能力.