函數與方程攜手，難題迎刃而解

摘要：函數與方程是初中數學中非常重要的概念，二者之間聯系緊密.其中解方程可以看作求函數值為0時的自變量的值，認識到這一關系，可以解決初中數學中的很多難題.初中數學教學中，教師應注重與學生一起深度探尋函數與方程之間的關系，展示如何運用函數與方程解答難題，幫助學生提高解題能力.

關鍵詞：初中數學；函數與方程；難題；解答

函數與方程是初中數學的重要內容.圍繞函數與方程可以創設不同的習題情境.部分習題情境難度較大，為更好地找到解題思路，往往需要將函數與方程相互轉化.函數與方程如何轉化，轉化后該如何處理關系是解題成功與否的關鍵[1].教學中，教師既要通過不斷強調，增強學生的函數與方程轉化意識，又要在具體習題情境中，展示函數與方程轉化的具體過程，給學生以后更好地解題帶來啟發.

1 求參數取值范圍

求參數取值范圍是初中數學最常見的習題類型.由于考查的知識點不同，采取的解題思路也有所區別.其中對于函數或方程習題，需要根據題意通過函數與方程之間的轉化尋找突破口.

例1 已知直線x=－1是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸.該拋物線和x軸交點間的距離為4，若方程ax2+bx+c=a－2有兩個不相等的實數根x1，x2，且－3lt;x1≤－2，則a的取值范圍是.

解析：根據已知條件求出a，b，c三者之間的關系，通過代換減少參數個數，而后將方程轉化為函數，運用函數圖象與x軸交點的范圍，構建不等式組進行求解.當然由于轉化后拋物線的開口方向不確定，應注意進行分類討論.

根據直線x=－1是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸，得到－b2a=－1，則b=2a.由該拋物線和x軸交點間的距離為4，可知其過點（1，0），（-3，0），將點（1，0）代入y=ax2+bx+c，得到a+2a+c=0，則c=－3a.

方程ax2+bx+c=a－2可以轉化為ax2+2ax－4a+2=0.令y=ax2+2ax－4a+2，則其對稱軸為直線x=－1.因為方程有兩個不相等的實數根x1，x2，且－3lt;x1≤－2，則Δ=4a2－4a（－4a+2）=a（20a－8）gt;0.又當x=－3時，y=－a+2；當x=－2時，y=－4a+2.

由于拋物線的開口不確定，因此需要分類討論：

①當agt;0時，有20a－8gt;0，－a+2gt;0，－4a+2≤0，解得12≤alt;2.

②當alt;0時，有20a－8lt;0，－a+2lt;0，－4a+2≥0，無解.

綜上，滿足題意的a的取值范圍為12≤alt;2.

2 求最值

求最大值或最小值在數學中統稱為求最值問題[2].在初中階段，求有關函數與方程的最值問題一般較為抽象，難度較大，既要厘清函數與方程之間的關系，又要深入把握函數圖象特征，通過合理的想象、認真的推理，確定求最值時的情境，而后計算出結果.

例2 已知x1，x2是方程x2－（m+3）x+m+6=0的兩根，且滿足1lt;x1≤2lt;x2，則二次函數y=x2－（m+3）x+m+6的頂點縱坐標的最大值為.

解析：題干給出的情境并不復雜，但深入考查了方程和函數之間的關系.解答的過程中，需要能夠想象出函數圖象處在何種情境時的頂點最高，而后代入所給參數得出結果.

因為方程x2－（m+3）x+m+6=0有兩個不相等的實根，所以Δ=［－（m+3）］2－4×（m+6）=（m+5）（m－3）gt;0，則mlt;－5或mgt;3.

又1lt;x1≤2lt;x2，可得x1+x2=m+3gt;3，則mgt;0，從而mgt;3.

由于二次函數y=x2－（m+3）x+m+6=x－m+322－（m+1）24+4

，則函數圖象的對稱軸為直線x=m+32gt;3，頂點為m+32，－（m+1）24+4.該二次函數圖象的開口大小一定，隨著m的增大，頂點逐漸向右下方移動.

當x1=2時，圖象的頂點最高，此時過點（2，0）.將點（2，0）代入函數y=x2－（m+3）x+m+6中，得到4－m=0，即m=4，所以頂點縱坐標的最大值為－（m+1）24+4=－（4+1）24+4=－94.

3 解方程

不少學生對解方程問題非常熟悉，無論是一元一次方程，還是二元一次方程幾乎沒有太大難度.但是部分習題并未直接給出未知數的系數，要求利用函數與方程之間的關系進行求解.針對這樣的問題，需要通過審題對函數、方程進行巧妙轉化，借助二者之間的聯系，探尋參數之間的內在關聯，以達到順利求出未知數的目的.

例3 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象上有A（0，0.3），B（3，1），C（2，0.3）三點，則方程ax2+bx－0.7=0的解為.

解析：題干所給的二次函數與方程有著緊密的聯系.解題時應注意搭建二者聯系的橋梁，通過推理、轉化求出方程其中一個解后，還應從函數視角對方程的解進行審視，借助函數的對稱軸推理出方程的另一個解.

由A（0，0.3），B（3，1），C（2，0.3）三點在二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，得c=0.3，圖象的對稱軸為直線x=0+22=1，則y=ax2+bx+0.3.

由方程ax2+bx－0.7=0，得ax2+bx+0.3=1.由點B（3，1）為二次函數y=ax2+bx+0.3圖象上的點，可知x=3是方程ax2+bx+0.3=1的一個解，也是方程ax2+bx－0.7=0的一個解.

設方程ax2+bx－0.7=0的另一個解為m，則根據題意可得3+m2=1，解得m=2－3.由此可見，方程ax2+bx－0.7=0的解為x=3或2－3.

4 求參數值

求參數的值在初中數學各類測試及中考中常考常新[3].其中以函數、方程為背景的求參數值問題往往具有一定難度，需要學生具備一定的理解及推理能力，尤其是對于一些較新穎的問題情境，需要學生提高綜合運用函數與方程的意識，并結合函數圖象進行分析，使得問題得以順利解決.

例4 對于實數a，b，定義運算“*”：ab=a2－ab（a≤b）；ab=b2－ab（agt;b）.若關于x的方程（2x－3）（x－2）=m恰好有兩個不相等的實數根，則m的值為.

解析：題干給出的是新運算，解題的關鍵在于對新運算的正確理解.事實上，可以根據所給的例子直接進行套用，對方程的一邊進行化簡.同時，結合方程恰好有兩個不相等的實數根，將方程轉化為兩個函數圖象的交點問題，認識到這一點，問題便不難解決.

基于對運算“*”的理解，對于（2x－3）（x－2），當2x－3≤x－2，即x≤1時，（2x－3）（x－2）=（2x－3）2－（2x－3）（x－2）=2x2－5x+3；當2x－3gt;x－2，即xgt;1時，（2x－3）（x－2）=（x－2）2－（2x－3）（x－2）=－x2+3x－2.令y=（2x－3）（x－2）=2x2－5x+3（x≤1），－x2+3x－2（xgt;1），并令y=m，畫出y=（2x－3）（x－2）和y=m的圖象，如圖1所示.

由圖1可知，當m=0時滿足題意；當m取函數y=－x2+3x－2（xgt;1）的最大值時，也滿足題意.即x=32時ymax=14，此時

m=14.

綜上，滿足題意的m的值為0或14.

綜上所述，解答二次函數或一元二次方程問題，將函數與方程進行針對性的轉化是常用的思路.當然，這種轉化應基于對二者關系的深入理解，認識到轉化的目的在于更好地解決問題，提高轉化的針對性與目的性.為使學生把握轉化的細節與技巧，教師應結合教學進度，與學生一起剖析典型的習題，助力提高學生解答初中數學難題的能力.

參考文獻：

[1]王積香.初中數學綜合題中的函數與方程式的解題技巧與方法[J].數理天地（初中版），2024（11）：12-13.

[2]王煒煜.初中數學支架式教學思考——以“方程與函數”為例[J].理科愛好者，2024（1）：43-45.

[3]左愛娟.初中數學教學滲透函數與方程思想的策略[J].中學教學參考，2017（35）：24-25.