二次函數綜合題過程突破與解法探究

摘要：本文中以2024年江蘇蘇州數學中考和2024年四川巴中數學中考中部分該類型的題為例，通過對這類題目的深度剖析，深入探究，探討有關二次函數與幾何圖形相結合的平行及垂直等問題，讓學生熟知中考熱點題型，明確解題的策略和思路，掌握這類問題的求解策略，不斷提升數學核心素養.

關鍵詞：數形結合；二次函數；解題策略

對于二次函數與幾何問題相結合的壓軸題，要注意根據題目給出的圖形，觀察題目中的點、線、圖形之間的內在聯系，并根據圖形，適當地借助輔助線找到題目中隱藏的點、線及圖形之間的關系，分析出圖形之間的幾何性質，在解答過程中可以轉化為代數運算進行求解.當然，也要熟練掌握二次函數表達式求解方法，同時熟知“開口方向、對稱軸、頂點坐標”對圖象的影響，學會根據的圖形的性質，合理求解并運用題目中的角度、線段相等或平行，以及直角三角形、矩形等之間的內在聯系，建立橋梁，找到合理的求解策略，不斷培養分析問題和解決問題的能力.

例1 （2024年江蘇蘇州中考數學＼527）如圖1，二次函數y=x2+bx+c的圖象C1與開口向下的二次函數圖象C2均過點A（－1，0），B（3，0）.

（1）求圖象C1對應的函數表達式；

（2）如圖2，D，E分別為二次函數圖象C1，C2的頂點，連接AD，過點A作AF⊥AD，交圖象C2于點F，連接EF，當EF∥AD時，求圖象C2對應的函數表達式.

解析：（1）將A（－1，0），B（3，0）兩點的坐標分別代入y=x2+bx+c中，得1－b+c=0，9+3b+c=0.

解得b=－2，c=－3.

故C1對應的函數表達式為y=x2－2x－3.

（2）連接DE，交x軸于點G，過點F作FI⊥ED于點I，過點F作FJ⊥x軸于點J.

因為FI⊥ED，FJ⊥x軸，ED⊥x軸，

所以四邊形IGJF為矩形，則IF=GJ，IG=FJ.

設C2對應的函數表達式為y=a（x+1）（x－3）（alt;0）.

因為點D，E分別為二次函數圖象C1，C2的頂點，

將x=1分別代入y=x2－2x－3，y=a（x+1）＼5（x－3）（alt;0）中，得yD=－4，yE=－4a，則點D（1，－4），E（1，－4a）.

所以DG=4，AG=2，EG=－4a.

故在Rt△AGD中，tan∠ADG=AGDG=24=12.

因為AF⊥AD，

所以∠FAB+∠DAB=90°.又因為∠DAG+∠ADG=90°，所以∠ADG=∠FAB.

所以tan∠FAB=tan∠ADG=FJAJ=12.

設GJ=m（0lt;mlt;2），則FI=m，AJ=2+m.

所以FJ=2+m2，點Fm+1，2+m2.

因為EF∥AD，所以∠FEI=∠ADG.

所以tan∠FEI=tan∠ADG=FIEI=12.

所以EI=2m.

又EG=EI+IG，

即2m+2+m2=－4a，則

a=－2+5m8.①

由點F在C2上，可得a（m+1+1）（m+1－3）=m+22，

即a（m+2）（m－2）=m+22.又m+2≠0，則

a（m－2）=12.②

由①和②，可得－2+5m8（m－2）=12.

解得m1=0（舍去），m2=85.

所以a=－54.

所以C2的函數表達式為y=－54（x+1）（x－3），即y=－54x2+52x+154.

例2 （2024年四川巴中數學中考）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線上一動點，且在直線BC的上方.

（1）求拋物線的表達式.

（2）如圖3，連接AC，PC，AP，AP與BC交于點G，過點P作PF∥AC交BC于點F.記△ACG，△PCG，△PGF的面積分別為S1，S2，S3.當S3S2+S2S1取得最大值時，求sin∠BCP的值.

解析：（1）由拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（－1，0），B（3，0），可得

a－b+3=0，9a+3b+3=0.

解得a=－1，b=2.

故拋物線的解析式為y=－x2+2x+3.

（2）因為PF∥AC，所以△ACG∽△PFG，則ACPF=AGPG=CGFG.所以S3S2=GFCG=PFAC，S2S1=PGAG=PFAC，從而可得S3S2+S2S1=2PFAC.

作AN∥BC交y軸于點N，作PQ∥y軸交BC于點Q，如圖4.

因為直線BC的解析式為y=－x+3，AN∥BC，故可設直線AN的解析式為y=－x+b′.

將點A（－1，0）的坐標代入y=－x+b′中，得0=－（－1）+b′，

解得b′=－1，所以直線AN的解析式為y=－x－1.

當x=0時，yN=－1，從而可以得到點

N（0，－1），故ON=1，CN=ON+CO=4.

因為AN∥BC，PQ∥y軸，

所以∠PQF=∠NCB=∠ANC.因為PF∥AC，所以

∠PFC=∠ACF.

又∠PFC=∠FPQ+∠PQF，∠ACF=∠NCB+∠ACN，所以∠FPQ=∠ACN.

故△CAN∽△PFQ.

根據相似三角形性質，可得

PFAC=PQCN.

設點P（n，－n2+2n+3），則點Q（n，－n+3），

所以PQ=－n2+3n.

所以有S3S2+S2S1=2PFAC=2PQCN=－2n2+6n4=－12＼5n－322+98，則當n=32時，S3S2+S2S1有最大值98，

此時點P32，154，Q32，32，從而PQ=154－32=94，CQ=32－02+32－32=322.

因為

ON=OA=1，OB=OC=3，所以

∠OBC=∠ANC=45°.

因為∠ANC=∠PQF，所以

∠OBC=∠PQF.

因為

BC=（3－0）2+（0－3）2=32，AB=4，所以

PQBC=9432=328，CQAB=3224=328，從而可知PQBC=CQAB.

所以，不難得到△CPQ∽△ACB.

根據三角形相似的性質，可知∠BCP=∠CAB.

又因為

AC=（－1－0）2+（0－3）2=10，所以不難求得

sin∠BCP=sin∠CAB=OCAC=310=31010.

二次函數與平面幾何結合的綜合題，涉及的知識點比較多，比如二次函數、平行四邊形、函數基礎知識，以及平面圖形的幾何性質等，難度比較大，往往蘊含著方程思想、函數思想、分類討論思想及數形結合思想等，且作為壓軸題形式出現在各地中考試卷中，綜合考查學生的數學運算能力、空間觀念、邏輯推理能力、幾何直觀及創新能力等.因此，在日常學習和中考復習中，要提高學生自我構建綜合知識網絡的能力，在頭腦中形成知識框架.在日常訓練中，可以結合專題知識學習，練好基本功，提高運用所學習知識分析問題和解決問題的能力.通過這種日常訓練，不斷提高學生的數學運算能力，培養學生良好的思考問題的品質及良好的學習態度.