淺圓倉地震側壓力計算公式推導與分析

摘要：

倉壁側壓力是淺圓倉抗震設計的重要參數，在規范中沒有給出確切的淺圓倉倉壁地震側壓力的理論計算公式。對此，基于極限平衡法，將淺圓倉看作特殊的曲線擋墻，取單位弧長的滑動楔體為研究對象，采用擬靜力法與旋轉地震角法簡化地震力以進行極限平衡分析，并推導出淺圓倉錐堆與平堆工況下的地震側壓力計算公式。通過算例分析，比較滿倉狀態下地震側壓力的實測數據值及理論計算值，初步驗證公式的正確性。對地震側壓力進行數值模擬與參數分析，結果表明模型擬合效果良好，倉壁摩擦力影響較大，在計算中不可忽視;在平堆工況下半徑取值對大直徑淺圓倉地震側壓力的影響較小，可將其簡化為直線擋墻計算。研究成果可為完善筒倉規范中地震側壓力的計算推導提供一定的參考依據。

關鍵詞：

淺圓倉; 極限平衡法; 滑動楔體; 地震側壓力; 擬靜力法; 旋轉地震角法

中圖分類號： TU432""""" 文獻標志碼：A"" 文章編號： 1000-0844（2025）01-0033-08

DOI：10.20000/j.1000-0844.20220929003

Formula derivation and analysis of seismic

lateral pressure on squat silos

ZHANG Guoxiang， ZENG Rong

（School of Civil Engineering， Central South University， Changsha 410075， Hunan，China）

Abstract：

The lateral pressure on the silo wall is an important parameter in the seismic design of squat silos. However， no precise theoretical calculation formula exists in current codes or the existing literature. This study aims to derive a new formula for calculating the seismic lateral pressure on squat silos under flat and conical stack conditions. Initially， using the limit equilibrium method， the silo was regarded as a special curved retaining wall， with the sliding wedge unit being the primary focus of the analysis. Then， the pseudo-static method and the rotating seismic angle method were used to simplify the seismic forces and perform the limit equilibrium analysis. The calculation formula for seismic lateral pressure was derived for flat and conical stack conditions. Finally， measured data and theoretical calculation values of seismic lateral pressure under full load conditions were compared through an example analysis， which initially verified the accuracy of the proposed formula. The results from numerical simulations and parametric analysis indicate that the calculation model fits effectively， and the friction of the silo wall must not be ignored due to its considerable influence. In addition， for large-diameter squat silos under flat stack conditions， changes in the radius have minimal influence on seismic lateral pressure， allowing the squat silo to be simplified as a linear retaining wall. These research results provide a valuable reference for improving the calculation of seismic lateral pressure in silo design specifications.

Keywords：

squat silo; limit equilibrium method; sliding wedge; seismic lateral pressure; pseudo-static method; rotating seismic angle method

0 引言

淺圓倉作為一種特殊的曲線擋墻［1］，在我國的工農業中有著廣泛的應用，然而在幾次地震中，很多筒倉都遭到嚴重破壞［2-3］。為保證淺圓倉設計的安全可靠，不能僅考慮靜力條件下的淺圓倉側壓力，也應該考慮地震條件下的淺圓倉側壓力，這對于完善淺圓倉抗震設計具有一定的參考價值。

長期以來，很多學者都對筒倉側壓力進行了研究。一些學者采用理論分析方法，主要有引入側壓力系數推導筒倉靜態側壓力的Janssen理論［4］，將土力學中的滑移體概念引入到筒倉側壓力計算的Airy理論［5］，針對Janssen公式中側壓力系數進行改進的Reimbert理論［1］，以及后來引入筒倉分析的經典Coulomb和Rankine理論［6］。此后大部分研究［7-12］均以這些理論為基礎，但多集中于對靜力狀態和卸料狀態下側壓力的研究。一些學者采用試驗分析方法，施衛星等［13］以某貯煤筒倉為原形，采用比例模型并通過振動臺模擬筒倉的地震反應。原方等［14］對徐州三座大直徑糧食筒倉進行了6次試驗，主要測試貯料對倉壁的側壓力，得到了筒倉側壓力的分布特點。張逯見［15］進行了地震振動臺試驗，分析了筒倉模型的動力特性以及倉壁的地震側壓力分布，認為筒倉在地震力作用下倉壁的動態側壓力都大于靜態側壓力值，且遠大于規范設計值。一些學者采用數值模擬方法［16-20］，主要是基于有限元或離散元模擬筒倉在地震作用下的動力特性以及倉壁側壓力分布。

總的來說，目前研究以及我國筒倉規范［21］對于淺圓倉倉壁地震側壓力均未給出具體理論計算公式，只是考慮在Janssen公式的計算結果上乘以一個超壓系數。對此，本文以庫侖理論為基礎，引入滑動楔形體的概念，取單位弧長倉壁和破裂面圍住的滑動楔體為研究對象，采用擬靜力法和旋轉地震角法對其進行極限平衡分析，以推導淺圓倉地震側壓力計算公式，并通過算例分析及數值模擬驗證公式的正確性。

1 地震側壓力計算公式推導

1.1 計算模型

針對淺圓倉，僅考慮滿倉狀態下貯料破裂面向上延伸與散料頂面相交的情況。根據淺圓倉內貯料的堆積情況，本文對平堆和錐堆兩種工況進行分析，平堆工況可由錐堆工況中貯料堆積傾角取0時計算得來，故在此僅推導錐堆工況下的計算公式，且不考慮貯料存在黏聚力的情況。

用徑向平面將淺圓倉分割為無數小的扇形單元，并假設潛在的破裂面為平面，取單位弧長倉壁和破裂面圍住的滑動楔體為研究對象，建立模型如圖1（a）所示；然后采用擬靜力法，將水平和豎向地震加速度分別轉化為水平和豎向慣性力，施加在滑動楔體模型上，考慮到重力和地震慣性力都是體積力，引入地震角后可以將這兩種力轉化為一個力，再采用旋轉地震角法，將模型旋轉一個地震角后簡化受力分析，旋轉后模型受力平面圖如圖1（b）所示；最后，采用極限平衡理論分析計算淺圓倉地震側壓力。

假設倉壁豎直，貯料表面向上的傾角為β，滑動楔體的破裂面與豎直方向成θ角，倉壁地震側壓力E與倉壁形成夾角φw，φw即為外摩擦角，FR為破裂面上的反力，該力與破裂面法線的夾角為內摩擦角φ，N為楔體單元兩側的法向力，R為淺圓倉半徑，h為貯料堆高，a為錐堆處堆高。根據旋轉地震角法［22］，地震角為滑動楔體在地震作用下產生的總體積力方向與豎直方向的夾角η。

tanη=kh1-kv （1）

式中：kh和kv分別為水平地震加速度系數和豎向地震加速度系數，計算如下：

kh=ahg

kv=avg （2）

式中：g為重力加速度;ah和av分別為水平地震加速度和豎直地震加速度，按《建筑抗震設計規范》［23］取值。

1.2 計算公式推導

由于淺圓倉結構的對稱性，為了簡化受力分析，忽略水平地震力所引起的受力不對稱情況。本文將水平地震力簡化為貯料受到的與淺圓倉中線垂直的橫向作用力，即假設淺圓倉在各個方向同時受到最不利荷載作用，以達到受力對稱的情況，這時再取楔體單元進行受力分析，推導出相應的地震側壓力計算公式。

錐堆工況見圖2（a）。在貯料上部錐堆時，破裂面不與倉中線相交，模型受力如圖1所示。將楔體單元逆時針旋轉地震角后，使得豎向的重力W轉化為考慮地震力后的等效重力W′，該楔體單元受到W′、E、FR和N的共同作用而平衡，這幾個力構成一個力平衡多邊形，如圖2（b）所示。

由滑動楔體的豎向及徑向受力平衡有：

Esin（φw+η）+FRsin（θ+φ-η）=W′+2Nsin12Rsinη（3）

Ecos（φw+η）-FRcos（θ+φ-η）=2Nsin12Rcosη（4）

聯立以上兩式消去FR，得：

E=W′cos（θ+φ-η）+NRsin（θ+φ）sin（θ+φ+φw）（5）

則滑動楔體單元的等效自重為：

W′=（1+kv）γcosηV=（1-kv）γcosηh26cosβsinθcos（θ+β）·3-hRcosβsinθcos（β+θ）（6）

式中：V為滑動楔體的體積。貯料楔體單元兩側法向力N為：

N=∫atanβ0kaγ2hatanβ-xatanβ2dx=kaγh36cosβsinθcos（β+θ）（7）

其中ka為側壓力系數：

ka=cos2φcosφw1+sin（φ+φw）sin（φ-β）cosφwcosβ2（8）

將以上各式代入式（4），有：

E=kaγh36Rcosβsinθsin（θ+φ）sin（θ+φ+φw）cos（θ+β）+

h26（1-kv）γcosηcosβsinθcos（θ+φ-η）sin（θ+φ+φw）cos（θ+β）·

3-hRcosβsinθcos（β+θ）（9）

用式（8）對h求導，可得距墻頂深度z處的地震側壓力強度：

pa=dEdh=cosβsinθcosφwsin（θ+φ+φw）cos（θ+β）×

kaγh2sin（θ+φ）2R+（1-kv）γhcos（θ+φ-η）cosη-

γh22R（1-kv）cosηcos2βsin2θcos（θ+φ-η）cosφwsin（θ+φ+φw）cos2（θ+β）（10）

對式（9）采用試算法求側壓力的最大值Emax及其對應的破裂角θcr。破裂角滿足以下關系式：

dEdθθ=θcr=0 （11）

平堆是錐堆工況中傾角β=0時的特殊情況，代入錐堆工況即可得到相應的計算公式。

2 算例分析

由于在各種理論計算中，缺乏地震作用下淺圓倉側壓力的實測數據，故取水平方向與豎直方向地震加速度系數為0時的計算結果與其他方法計算結果進行對比，即用本文公式計算靜態淺圓倉側壓力，以初步驗證公式合理性，后續通過數值模擬進一步補充驗證。其中，筒倉規范中采用的計算公式為：

Ph=Chγρ（1-eμks/ρ）/μ （12）

Ph=kγs （13）

k=tan245°-φ2 （14）

式中：Ph為高度h處倉壁受到的法向側壓力;γ為貯料的重力密度（kN/m3）;μ為筒倉倉壁與貯料的摩擦因數;ρ為筒倉結構的水力半徑（m）;s為貯料頂面或貯料錐體重心至計算截面的距離（m）;k為主動側壓力系數;Ch為深倉貯料水平壓力修正系數，按規范［21］“4.2.5”節取值。

計算深倉時采用式（12），計算淺倉時采用式（13），若計算高度與內徑的比值大于1.0且小于1.5，則應同時計算式（12）及式（13）并取二者計算結果中的最大值。事實上，式（12）即為修正的Jassen公式，而式（13）可認為是修正的Rankine主動散體壓力公式。

2.1 平堆工況算例分析

工況條件［24］：淺圓倉高度h=13.77 m，半徑R=15 m，貯料為小麥，容重γ=7.85 kN/m3，內摩擦角φ=25°，外摩擦角φw=21.8°，通過編程采用試算法得破裂角θcr=40.6°。各方法計算結果列于表1，并將結果繪制到圖3中。

由表1及圖3可知，本文公式與庫侖公式的計算結果相較于試驗數據偏大，而筒倉規范的計算結果相較于實測數據偏小，但總體而言與實測數據相差均較小，且本文公式與實測數據更為接近，擬合效果較好，這驗證了本文公式在平堆工況下靜力計算的正確性。

2.2 錐堆工況算例分析

工況條件：淺圓倉高度h=8 m，傾角β=25°，其余取值同上，通過編程，采用試算法計算得破裂角θcr=39.5°。各方法計算結果列于表2，并將結果繪制到圖4中。

由表2及圖4可知，本文公式、庫侖公式以及筒倉規范的計算結果相較于實測數據而言，均在淺圓倉上部偏小、下部偏大，但筒倉規范和本文方法都比較符合實測值。總體而言，筒倉規范的計算結果偏小，偏于不安全，庫侖公式的計算結果偏大，偏于保守，而本文公式的計算結果更加接近實測數據，更具有適用性。

3 數值模擬

3.1 淺圓倉地震側壓力數值模擬

采用ABAQUS軟件建立淺圓倉模型，對淺圓倉兩種常見的工況——貯料平堆和錐堆進行分析。用殼單元模擬混凝土倉壁（表3），用實體單元模擬貯料（小麥），貯料采用摩爾-庫侖模型（表4），材料參數按文獻［21］及實際情況取接近值。貯料和倉壁的接觸為柔性-剛性接觸;為了削弱建模時底部剛性約束的影響，在倉底設立一層倉底結構，同樣將貯料和倉底的接觸設為柔性-剛性接觸。為了模擬地震加速度對貯料產生的慣性力，考慮對貯料施加與筒倉軸線垂直的橫向作用力以達到受力對稱的效果。本文本質上不包括地震動力響應分析，故對滿倉狀態下兩個工況的模型簡單施加2個加載等級的地震波，以驗證本文引入地震力進行擬靜力等效簡化的公式是否合理。具體的材料參數列于表3、表4。

（1） 平堆工況數值模擬

取淺圓倉半徑R=15 m，高度h=12 m，且貯料滿倉。對于落地式淺圓倉，不考慮豎向地震加速度的作用，將模型中地震力簡化為水平體力，建立淺圓倉模型，如圖5所示。按規范［23］取一般情況下的水平地震加速度為ah=0.1g和ah=0.2g，即有水平地震加速度系數為kh=0.1和kh=0.2，用本文公式計算得到相應的地震側壓力合力大小分別為242.31 kN和285.01 kN，并將計算得到的側壓力分布數據與數值模擬的計算數據進行對比，結果見圖6。

由圖6可知，對于貯料平堆工況，本文方法的計算結果與有限元的結果較為接近，本文方法計算得到的淺圓倉地震側壓力強度分布接近一條直線，而有限元模擬的強度分布為一條曲線。

在淺圓倉中上部，本文方法結果相比有限元計算結果偏小，但該處側壓力強度不大，對工程實踐影響不大;在淺圓倉下部，本文方法結果與有限元計算結果逐漸接近，有限元結果顯示側壓力強度曲線在淺圓倉底部會出現增速減緩的現象，這是由于倉底結構會產生一定的約束作用。

（2） 錐堆工況數值模擬

取淺圓倉半徑R=15 m，高度h=8 m，錐堆角度為β=25°，其余設置同上，建立淺圓倉模型，如圖7所示。用本文計算公式分別計算水平地震加速度系數kh=0.1和kh=0.2的情況，得到相應的地震側壓力合力大小分別為162.17 kN和195.92 kN，并將

計算得到的側壓力分布數據和數值模擬的計算數據進行對比，結果見圖8。

由圖8可知：對于貯料錐堆工況，本文方法的計算結果與有限元的結果較為接近，本文方法計算得到的淺圓倉地震側壓力強度分布為一條拋物曲線，而有限元模擬的強度分布為一條曲線。

兩個算例均表明本文公式的計算結果與數值模擬結果較為吻合，具有一定的參考性，在一定程度上彌補了算例中實測數據不足的缺陷。此外，隨著水平方向地震加速度系數kh的增大，理論結果與數值模擬結果的偏差也逐漸增加，這是由于本文假設貯料為滿倉狀態，而隨著地震力增大，貯料會出現流動的現象。

3.2 參數分析

（1） 淺圓倉半徑對淺圓倉地震側壓力的影響

對平堆工況，在淺圓倉的高徑比范圍內分別取淺圓倉半徑為12、15、18及20 m;對錐堆工況，分別取淺圓倉半徑為14、16、18及20 m，其余取值列于表5，計算并繪制相應的倉壁地震側壓力強度分布曲線（圖9）。

由圖9可知，對于大直徑的貯料平堆工況的淺圓倉，地震側壓力強度隨著淺圓倉半徑的增大變化不大。因此，對于高徑比較小的淺圓倉，可將其簡化為直線擋墻計算;對于貯料錐堆的工況，在筒倉深度為8 m處，對應半徑14、16、18及20 m的側壓力強度分別為30.548 3、31.953 6、33.271 9及34.500 4 kPa，即地震側壓力強度隨著淺圓倉半徑的增大而增大，且越到淺圓倉下部地震側壓力強度的變化越大。

（2） 倉壁摩擦系數對淺圓倉地震側壓力的影響

對鋼筒倉，倉壁和小麥的摩擦角取值一般在22°～30°之間，故針對平堆工況與錐堆工況，取摩擦角為 0°、22°、25°及28°，淺圓倉半徑R=15 m，其余取值同表5，計算并繪制相應的倉壁地震側壓力強度分布曲線（圖10）。

由圖10可知，在筒倉深度12 m處，平堆工況下對應外摩擦角0°、22°、25°、28°的筒倉側壓力強度值分別為43.031 6、36.965 8、36.671 9、36.368 8 kPa;在筒倉深度8 m處，錐堆工況下對應外摩擦角0°、22°、25°、28°的側壓力強度值分別為36.580 2、31.200 3、30.665 5、30.154 7 kPa。總體而言，對于貯料平堆和錐堆兩種工況，地震側壓力強度均隨著倉壁與貯料之間摩擦角的增大而減小；不考慮倉壁摩擦力時筒倉地震側壓力強度值與考慮摩擦力時相差較大，而當倉壁摩擦角在取值范圍內計算時，筒倉地震側壓力強度變化不大。因此，對筒倉地震側壓力的計算須考慮倉壁的摩擦力，具體外摩擦角的取值只需要在相應的范圍內即可。

4 結論

通過對推導出的新公式進行數值模擬及參數分析，可得結論如下：

（1） 本文公式與數值模擬結果擬合較好，驗證了其正確性，這為淺圓倉的抗震設計以及完善筒倉規范中地震側壓力的理論計算提供了一定依據。

（2） 在不考慮倉壁摩擦力時，地震側壓力強度值與一般情況相差較大，若在合適的范圍內選取外摩擦角則對地震側壓力影響較小，因此，在抗震設計時需要合理選取外摩擦角。

（3） 對于平堆工況，淺圓倉半徑對地震側壓力的影響不大，可簡化為直線擋墻進行計算;對于錐堆工況，淺圓倉側壓力隨著半徑的增大而增大。總體而言，平堆工況下本文公式與實測數據擬合較好，在錐堆工況下，本文公式也具備一定的優越性。

（4） 本文公式推導時假設滑動楔體的破裂面為平面，并且為了保證結構的受力對稱，在貯料為滿倉狀態下將其所受水平地震力簡化為與淺圓倉中線垂直的橫向作用力，因此在實際應用中具有一定的局限性。

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（本文編輯：張向紅）