基于“三個(gè)理解”的“一定是直角三角形嗎”教學(xué)設(shè)計(jì)及思考

[摘" 要] 從“數(shù)學(xué)內(nèi)部”提出問題，以數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的形式引入新課，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為后續(xù)其他相關(guān)性質(zhì)定理和判定定理的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 而學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該多站在“學(xué)生的立場(chǎng)” 思考問題，本課例在一開始選擇通過一組題目的形式，喚起學(xué)生對(duì)剛剛學(xué)習(xí)過的勾股定理知識(shí)的回憶，這是理解學(xué)生最直接的體現(xiàn)，同時(shí)對(duì)例題的變式也是理解教學(xué)的一種體現(xiàn)，通過對(duì)一道題目的“條件或圖形”進(jìn)行改編，起到“一題多變”和 “多變歸一”的教學(xué)效果，使學(xué)生在問題解決過程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.

[關(guān)鍵詞] 直角三角形;理解數(shù)學(xué);理解學(xué)生;理解教學(xué)

基金項(xiàng)目：山東省首批基礎(chǔ)教育教研基地（學(xué)科類：初中數(shù)學(xué)）——初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的研究與實(shí)踐、2022年東營市市級(jí)教學(xué)成果培育項(xiàng)目——“反思性作業(yè)”改革的探索與實(shí)踐，2021年度東營市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“生態(tài)圈·反思鏈：‘雙減’背景下初中學(xué)校‘反思性作業(yè)’的校本探索與實(shí)踐”（145JGYB21002）和 “基于‘精思文化’引領(lǐng)的初中數(shù)學(xué)青年教師專業(yè)成長路徑研究與實(shí)踐”（145JGZX21008）.

作者簡介：楊麗麗（1984—），碩士研究生，一級(jí)教師，從事課堂教學(xué)工作，曾獲東營市青年骨干教師等榮譽(yù)稱號(hào).

近日，在一年一度的區(qū)教學(xué)視導(dǎo)活動(dòng)中，筆者有幸作為學(xué)校代表執(zhí)教魯教版“一定是直角三角形嗎”一課，得到了區(qū)教研室領(lǐng)導(dǎo)和聽課教師的一致好評(píng). 這節(jié)課是魯教版七年級(jí)上冊(cè)第三章第二節(jié)的內(nèi)容，和大家熟知的人教版教材相比少了對(duì)勾股定理逆定理證明的環(huán)節(jié)，所以本定理在魯教版中只能作為一個(gè)結(jié)論來運(yùn)用，筆者在把握了編者意圖的基礎(chǔ)上結(jié)合學(xué)生學(xué)情，從章建躍教授提出的“三個(gè)理解”的角度進(jìn)行設(shè)計(jì)，取得了預(yù)期的效果，下面以教學(xué)實(shí)錄的形式進(jìn)行呈現(xiàn)并給出簡單評(píng)析，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

教學(xué)實(shí)錄及簡評(píng)

1. 回顧知識(shí)，疑點(diǎn)反思

問題：如圖1，求出下列直角三角形中未知邊的長度.

反思：解決上面的問題你用到了什么定理？

追問：如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？

設(shè)計(jì)意圖 首先筆者通過兩個(gè)練習(xí)（一個(gè)求直角邊長，一個(gè)求斜邊長）來復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容，學(xué)生在回顧內(nèi)容時(shí)，教師指出勾股定理的條件和結(jié)論，為后續(xù)引出課題做了鋪墊. 類比平行線的性質(zhì)和判定，筆者采用“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”引入新課，即通過交換定理的條件和結(jié)論引出本節(jié)課的結(jié)論，與教材引入的方式一致. 這是一種研究問題的常見視角，為后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形的性質(zhì)和判定打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 嘗試解疑，問題反思

探究活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們利用手中的教具，完成下面的活動(dòng)要求.

①3，4，5 " ②3，4，6

③4，5，6 "" ④5，12，13

四人為一組，每人選一組數(shù)據(jù)，按下面步驟完成計(jì)算、拼圖、測(cè)量、猜想（時(shí)間5分鐘）.

（1）算一算：算出兩個(gè)較小數(shù)的平方和，和最大數(shù)的平方;看一看它們之間有什么樣的大小關(guān)系;

（2）拼一拼：用教具拼出三條邊組成的三角形;

（3）量一量：用直尺和量角器量出所拼三角形最大角的度數(shù)，并判斷所拼三角形的形狀;

（4）想一想：結(jié)合前三問，猜想一下，一個(gè)三角形各邊滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系式時(shí)，才是直角三角形？

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點(diǎn). 基于學(xué)情考慮，筆者選擇引導(dǎo)學(xué)生利用教具動(dòng)手操作拼裝三角形. 在拼裝過程中學(xué)生首先要解決邊長的問題，利用教具拼出所需要的邊長，再利用三角形定義，三邊首尾相接，拼出自己所選的三角形. 學(xué)生以小組合作探究的形式，通過“算一算”“拼一拼”“量一量”“想一想”四個(gè)環(huán)節(jié)，利用學(xué)案和教具從“數(shù)”和“形”的角度，得到猜想. 同時(shí)也得到任意兩邊的平方和都不等于第三邊的平方時(shí)，是銳角三角形或鈍角三角形，這從反例讓學(xué)生進(jìn)一步明確猜想. 在探究活動(dòng)中，要求學(xué)生做到動(dòng)筆計(jì)算、動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考（猜想）、動(dòng)口表達(dá)，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析問題，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表述過程，培養(yǎng)表達(dá)能力，不僅讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，也極大地考驗(yàn)了學(xué)生的應(yīng)變能力和動(dòng)手操作能力，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)學(xué)生能力的考查，也鍛煉了學(xué)生的核心素養(yǎng)，更能讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，吸引更多學(xué)生回到課堂.

3. 揭示規(guī)律，達(dá)成反思

探究活動(dòng)：學(xué)生利用幾何畫板，自己動(dòng)手驗(yàn)證猜想的正確性，得到結(jié)論.

結(jié)論：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

符號(hào)語言： 如圖2，在△ABC中，因?yàn)閍2+b2=c2，所以△ABC為直角三角形，∠C是直角.

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)在教材“做一做”的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生得出“結(jié)論”，此處鑒于魯教版教材螺旋上升的編排理念，沒有給出證明，因此不能稱作勾股定理的逆定理，只能說是一個(gè)“結(jié)論”，教師通過幾何畫板這一工具進(jìn)行輔助教學(xué)，并且讓學(xué)生自己親自操作，感受“數(shù)”和“形”的結(jié)合，感知幾何直觀，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

4. 解決問題，應(yīng)用反思

例1" 判斷由線段a，b，c組成的△ABC是不是直角三角形？

①a=3，b=4，c=5

②a=5，b=13，c=12

③a=10，b=8，c=6

④a=9，b=10，c=12

注意：利用“邊”來判定直角三角形時(shí)，必須是兩條短邊的平方和等于最長邊的平方（不看字母，看線段長短） .

例2" 一個(gè)零件的形狀如圖3所示. 按規(guī)定，這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖3所示，這個(gè)零件符合要求嗎？

變式1：一個(gè)零件的形狀如圖4所示，這個(gè)零件中∠A為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖4所示，你能求出這個(gè)零件的面積嗎？

變式2：一個(gè)零件的形狀如圖5所示，這個(gè)零件中∠A為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖5所示，你能求出這個(gè)零件的面積嗎？

議一議：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合表格的內(nèi)容反思勾股定理與本節(jié)課的結(jié)論有哪些聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)內(nèi)容較多，但也讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)就是要解決生活中的實(shí)際問題，體現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值. 筆者首先設(shè)置一組練習(xí)，鞏固本節(jié)課所學(xué)的結(jié)論，練習(xí)分為必做題和選做題，課時(shí)的分層教學(xué)解決學(xué)生客觀存在的差異問題，體現(xiàn)因材施教. 在學(xué)生掌握方法的基礎(chǔ)上，筆者以教材例題為母題，通過改變“設(shè)問方式”給出變式1，通過“改變圖形”給出變式2，體現(xiàn)了例題習(xí)題改編的基本思路. 變式教學(xué)是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的一大典型特點(diǎn)，在平時(shí)教學(xué)中，教師在領(lǐng)會(huì)課標(biāo)的基礎(chǔ)上，應(yīng)重視教材中的例題、習(xí)題，因?yàn)樗鼈兙哂械湫托浴⑹痉缎院涂赏卣剐裕源俗鳛樗{(lán)本進(jìn)行適度有效的加工、改編和拓展，就能編制出更具實(shí)踐性和操作性的教學(xué)探究問題，從而引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

5. 總結(jié)反思，達(dá)標(biāo)檢測(cè)

總結(jié)反思如圖6，達(dá)標(biāo)檢測(cè)略.

設(shè)計(jì)意圖 在本課的最后，小結(jié)通過追問“知識(shí)是怎么得到的”和“掌握的方法能解決什么問題”反思回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，同時(shí)小結(jié)也為學(xué)生課后預(yù)習(xí)指明了思路，通過“在哪些方面有待加強(qiáng)”以及“我們還要學(xué)習(xí)什么”兩個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生反思本節(jié)課需要提高的地方，比如回答問題的積極性，解決問題的嚴(yán)密性等，同時(shí)也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，指向“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，在培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時(shí)，培育了中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，值得提倡.

幾點(diǎn)思考

章建躍教授指出一線教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要做到“三個(gè)理解”：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，下面從以上三個(gè)方面給出簡單思考.

1. 理解數(shù)學(xué)

筆者認(rèn)為理解數(shù)學(xué)就是基于“數(shù)學(xué)內(nèi)部”的邏輯規(guī)律來提出問題和解決問題，因此本節(jié)課在開課之初就從“數(shù)學(xué)內(nèi)部”提出問題，以數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的形式引入新課，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為后續(xù)其他相關(guān)性質(zhì)定理和判定定理的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

除此之外，本節(jié)課在引領(lǐng)學(xué)生利用“結(jié)論”解決問題的過程中，既呈現(xiàn)了正例，又呈現(xiàn)了反例，增加了學(xué)生的認(rèn)知，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維和邏輯的嚴(yán)密性;同時(shí)執(zhí)教教師還注意了引導(dǎo)學(xué)生在掌握?qǐng)D形語言和文字語言的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)幾何語言的認(rèn)知和理解，以此體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的簡潔性，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理等核心素養(yǎng).

2. 理解學(xué)生

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該多站在“學(xué)生的立場(chǎng)”思考問題，真正體現(xiàn)學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位. 比如，上述課例在一開始選擇通過一組題目的形式，喚起學(xué)生對(duì)剛剛學(xué)習(xí)過的勾股定理知識(shí)的回憶，而不是僅僅單純地以“鏤空式”填空的形式來復(fù)習(xí)舊知識(shí)，這就是理解學(xué)生最直接的體現(xiàn);除此之外，執(zhí)教教師在“做一做”的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，采用“拼一拼”的形式讓學(xué)生構(gòu)造已知三邊長度的三角形，而不是通過“畫一畫”的形式來設(shè)計(jì)，此處也很好地體現(xiàn)了教師對(duì)學(xué)情的切實(shí)把握，在實(shí)際教學(xué)中節(jié)省了課堂時(shí)間，增加了學(xué)生的課堂參與度，提升了學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解程度，起到了很好的預(yù)期效果.

3. 理解教學(xué)

教學(xué)有法，教無定法. 教師在教學(xué)中應(yīng)該遵從一定的設(shè)計(jì)理念，以此提升課堂教學(xué)效率. 比如，執(zhí)教教師通過明確的步驟和合作方式，引導(dǎo)學(xué)生以小組合作的形式完成“結(jié)論”的自我發(fā)現(xiàn)和自主探究過程，就充分體現(xiàn)了“讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程”的設(shè)計(jì)理念，做到了既“授之魚”，又“授之漁”;此外，本節(jié)課對(duì)例題的變式也是理解教學(xué)的一種體現(xiàn)，執(zhí)教教師力圖在教學(xué)中通過對(duì)一道題目的“條件或圖形”進(jìn)行改編，起到“一題多變”和“多變歸一”的教學(xué)效果，使學(xué)生在問題解決過程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.

章建躍教授提出的“三個(gè)理解”博大精深，作為一線教師，我們以課例的形式進(jìn)行積極實(shí)踐，為爭取實(shí)現(xiàn)“優(yōu)質(zhì)、高效、減負(fù)”的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)而努力.