巧借深層拓展研究 發(fā)展學(xué)生綜合能力

[摘" 要] 數(shù)學(xué)知識是豐富多彩、錯綜復(fù)雜的，學(xué)生在學(xué)習(xí)時難免會出現(xiàn)一些一知半解的情況. 基于此，教師要認真地分析學(xué)生和教材，掌握學(xué)生之所疑、所惑，幫助學(xué)生排疑解難，以此提高學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)品質(zhì). 文章基于學(xué)生對“SSA”情形的理解不夠深入而開展深度拓展研究，旨在引導(dǎo)學(xué)生明晰用“SSA”判定兩個三角形全等的條件，促進學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的完善和學(xué)習(xí)能力的提升.

[關(guān)鍵詞] 重點教學(xué);深度拓展研究;認知結(jié)構(gòu)

作者簡介：張楊（1999—），本科學(xué)歷，中學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

在應(yīng)試教育的重壓之下，部分教師為追求成績，過分注重“講授”，忽略了給予學(xué)生足夠的時間去思考與交流，這在一定程度上限制了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展與提高. 為了改變這一現(xiàn)狀，教師應(yīng)當(dāng)深入鉆研教材，了解學(xué)生，并有效利用課堂生成資源，對教學(xué)中的重點、難點以及學(xué)生的疑惑點進行深入剖析和研究，以逐步優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，提升他們的學(xué)習(xí)能力.

通過對“探索三角形全等的條件”的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步理解并掌握了判定兩個一般三角形全等的方法. 不過，學(xué)生對“SSA”的理解尚顯淺顯. 鑒于此，教師有必要對“SSA”進行更為深入細致的研究，以滿足學(xué)生的求知需求. 基于這一考量，筆者在教學(xué)實踐中精心策劃了一堂拓展研究課，旨在通過引導(dǎo)學(xué)生參與實踐、思考、分析及交流等一系列活動，幫助他們獲得對相關(guān)知識的深刻理解，并有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，同時提升其分析與解決問題的能力. 現(xiàn)將此教學(xué)設(shè)計呈現(xiàn)給大家，以供參考.

教學(xué)目標(biāo)

（1）借助圖形讓學(xué)生直觀感知滿足“SSA”條件的兩個三角形的不同情形;

（2）引導(dǎo)學(xué)生從不同角度出發(fā)，探索用“SSA”判定兩個三角形全等的條件;

（3）引導(dǎo)學(xué)生深刻體驗分類思想與轉(zhuǎn)化思想在解決實際問題中的作用和價值.

教學(xué)設(shè)計與分析

環(huán)節(jié)1：動手操作，引出猜想

數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、定理等內(nèi)容都是在大量的具體實例中總結(jié)概括而來的，因此它們具有高度的抽象性和概括性. 為了讓學(xué)生更好地理解這些有高度抽象性和概括性的知識，教師不妨鼓勵學(xué)生親自動手操作，將抽象的知識具體化、直觀化，從而有效提升學(xué)生的課堂參與度和學(xué)習(xí)積極性. 此外，動手操作不僅能幫助學(xué)生積累寶貴的實踐經(jīng)驗，還能進一步優(yōu)化他們的認知結(jié)構(gòu)，促進他們?nèi)姘l(fā)展.

問題1" 通過前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)我們知道，若想用“SAS”來判定兩個三角形全等，其中的角必須是兩等邊的夾角. 若不是，則兩個三角形不一定全等. 對于“不一定”你是如何理解的？在什么情形下，滿足“SSA”條件的兩個三角形是全等的，什么情況下是不全等的？如果這個對應(yīng)角是直角，那么這兩個三角形是否全等呢？（學(xué)生互動交流）

設(shè)計意圖" 通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)理解了“HL”判定方法，并知曉它是“SSA”的一個特例. 這樣從特例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對一般情況進行合理猜想，進而引出另外兩種情形——銳角三角形與鈍角三角形. 這一過程旨在培養(yǎng)學(xué)生的分類意識.

問題2" 請作△ABC，滿足∠B=40°，AB=4 cm，AC=3 cm. 完成后，請進行組內(nèi)對比，看看你們作出來的三角形是否全等. （獨立操作+互動交流）

問題3" 請作△ABC，滿足∠B=120°，AB=2 cm，AC=4 cm. 對比一下，看看你們又有什么發(fā)現(xiàn). （獨立操作+互動交流）

設(shè)計意圖" 通過具體操作和對比交流讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠B是銳角時，可以畫出不全等的三角形，而當(dāng)∠B是鈍角時，所畫的三角形都是全等的. 其實，針對問題2的探討，除了引導(dǎo)學(xué)生通過操作與觀察發(fā)現(xiàn)不全等的情形，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生“比一比”“折一折”，讓學(xué)生深入理解不全等圖形的反例，從而構(gòu)建準(zhǔn)確的認知框架.

問題4" 思考一下，對于滿足“SSA”條件的兩個三角形，它們會是怎樣的情形呢？（互動交流+總結(jié)提煉）

設(shè)計意圖" 讓學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗及實驗操作過程，猜想“當(dāng)∠B和∠B′是直角或者鈍角時，△ABC≌△A′B′C′;當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△A′B′C′不一定全等”.

這樣從學(xué)生的已有經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生通過操作和交流發(fā)現(xiàn)，滿足“SSA”條件的兩個三角形可能是銳角三角形，可能是直角三角形，也可能是鈍角三角形，滲透了分類討論思想. 通過經(jīng)歷從特殊到一般的轉(zhuǎn)化過程，促進學(xué)生的思維能力的發(fā)展.

環(huán)節(jié)2：深入研究，證明猜想

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門嚴謹?shù)膶W(xué)科，每個結(jié)論的推導(dǎo)均需歷經(jīng)科學(xué)而縝密的驗證過程. 在環(huán)節(jié)1中，學(xué)生借助直觀觀察和互動交流提出了自己的猜想. 猜想雖然具有一定的科學(xué)性和合理性，但是它也具有一定的主觀性. 因此，教學(xué)中教師有必要指導(dǎo)學(xué)生去證明，以此讓學(xué)生更全面、更系統(tǒng)地理解知識，逐步建立完善的認知結(jié)構(gòu).

問題5" 如圖1所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′gt;90°，AB=A′B′，AC=A′C′，求證：△ABC≌△A′B′C′.

設(shè)計意圖" 在環(huán)節(jié)1中，通過動手操作及互動交流，學(xué)生猜想當(dāng)∠B為鈍角時，△ABC≌△A′B′C′. 教師提出問題5旨在讓學(xué)生驗證猜想，形成結(jié)論. 同時，通過問題5的解決，為接下來探究∠Blt;90°的情況做好鋪墊.

問題6" 若將問題5中的“∠B=∠B′gt;90°”改為“∠B=∠B′lt;90°”，且ABlt;AC，則△ABC和△A′B′C′還全等嗎？

問題7" 若將問題6中的“ABlt;AC”改為“ABgt;AC”，其他條件不變，則△ABC和△A′B′C′是否全等呢？

設(shè)計意圖" 探索∠Blt;90°的情形是本節(jié)課研究的重點，教師引導(dǎo)學(xué)生通過變式探究進一步認識滿足“SSA”條件的兩個三角形會出現(xiàn)怎樣的情形，滲透了分類討論思想.

問題8" 結(jié)合上述操作過程和證明過程說一說，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠B=∠B′，AB=A′B′，AC=A′C′，在什么情況下，△ABC和△A′B′C′全等？在什么情況下，△ABC和△A′B′C′不全等？

設(shè)計意圖" 對上述操作過程和證明過程進行梳理，確定滿足“SSA”條件的兩個三角形全等的判定依據(jù)，通過有效的歸納總結(jié)，促進知識的內(nèi)化.

對上述問題的探究應(yīng)“以生為本”，即先讓學(xué)生獨立思考，然后引導(dǎo)其討論交流，以此達成增強學(xué)生的“四基”，并拓寬學(xué)生的認知視野的目標(biāo).

對于問題5，如圖2，分別過點A和A′作垂線，交CB和C′B′延長線于點D，D′. 易證△ABD≌△A′B′D′，故AD=A′D′. 又AC=A′C′，根據(jù)“HL”定理易得△ACD≌△A′C′D′，故∠C=∠C′. 根據(jù)“AAS”可得△ABC≌△A′B′C′. 這樣充分運用已有知識，完成了環(huán)節(jié)1中的猜想“∠B和∠B′是鈍角時，△ABC≌△A′B′C′”的證明.

問題6和問題7同樣源于環(huán)節(jié)1中的猜想“當(dāng)∠B和∠B′為銳角時，△ABC和△A′B′C′不一定全等”. 那么，在什么情況下，△ABC和△A′B′C′是全等的呢？在什么情況下，△ABC和△A′B′C′不全等呢？為了讓學(xué)生理解這些問題，教師引導(dǎo)學(xué)生從已知條件中的兩組相等邊入手，進行更深入的拓展與分析：當(dāng)ABlt;AC或ABgt;AC時，△ABC和△A′B′C′是否全等？在分析過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況出發(fā)，將點C看作以A為圓心，AB為半徑的圓與∠B的一邊的交點，當(dāng)AB=AC時，點C是唯一的，所以△ABC和△A′B′C′全等（如圖3）. 在此基礎(chǔ)上，將△ABC和△A′B′C′是否全等的問題轉(zhuǎn)化為圓A與射線BC有幾個公共點的問題. 通過作圖可知，當(dāng)ABlt;AC時，圓A與射線BC僅有一個公共點，故△ABC≌△A′B′C′（如圖4）. 繼續(xù)作圖探究，如圖5，當(dāng)AC=AB·sinB時，圓A與射線BC僅有一個公共點，故△ABC≌△A′B′C′;當(dāng)AClt;AB·sinB時，圓A與射線BC沒有公共點，故三角形不存在;當(dāng)AB·sinBlt;AClt;AB時，圓A與射線BC有兩個公共點，說明有兩個不重合的三角形滿足“SSA”條件，故△ABC和△A′B′C′不一定全等. 由此，在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過作圖、交流和歸納，最終得到結(jié)論：當(dāng)滿足AC≥AB或AC=AB·sinB時，△ABC和△A′B′C′全等.

環(huán)節(jié)3：借助練習(xí)，促進內(nèi)化

無論何種課型，練習(xí)都是必不可少的，它是優(yōu)化學(xué)生認知結(jié)構(gòu)、提高學(xué)生解題能力的重要途徑. 通過上述環(huán)節(jié)的深入研究，學(xué)生對兩個三角形何時全等、何時不全等有了清晰的認識. 此時，教師可以給出一些練習(xí)，讓學(xué)生在應(yīng)用中促進知識的內(nèi)化.

問題9" 如圖6，點P為∠AOB平分線上的一點，點C和點D分別在OA和OB邊上，且滿足PC=PD，圖中是否存在與∠PCA相等的角？若存在，請指出，并證明你的結(jié)論.

設(shè)計意圖" 本題旨在探討如何將滿足“SSA”條件但不全等的兩個三角形，通過作垂線轉(zhuǎn)化為滿足“HL”條件而全等的兩個三角形. 這一過程深刻體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生常會遇到涉及“SSA”條件的問題，唯有通過深入透徹的理解，方能在解題時有效規(guī)避“模棱兩可”的困惑與“一錯再錯”的窘境.

教學(xué)思考

1. 重視開展深度教學(xué)

在新課改的浪潮中，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)已悄然從“雙基”改為“四基”.這一轉(zhuǎn)變要求教師不再局限于傳統(tǒng)的講授模式，而是深入挖掘教材資源，開展富有深度的教學(xué)活動，旨在引導(dǎo)學(xué)生深入探究，理解問題的本質(zhì)，進而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的實際情況出發(fā)，精心設(shè)計問題，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下進行深入分析、積極思考與有效解決，以此幫助學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 另外，在教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生多交流、多討論，從而通過多視角的分析，提高學(xué)生的抽象概括能力和語言表達能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.

2. 重視培養(yǎng)批判性思維

在教學(xué)中，教師應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)契機，促使學(xué)生獨立思考與主動交流，鼓勵學(xué)生以發(fā)展的眼光看待問題，通過細致觀察、深入反思、嚴謹推理以及積極交流，深刻理解知識的內(nèi)涵，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維. 要知道，學(xué)習(xí)既是一個傳承的過程，更是一個創(chuàng)新的過程，因此，學(xué)生不能拘泥于現(xiàn)有的知識框架，而應(yīng)形成一種質(zhì)疑精神，以懷疑的眼光看待問題. 這樣的態(tài)度能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升他們的創(chuàng)新能力.

例如，本節(jié)課教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生深入探究滿足“SSA”條件的兩個三角形的特性，并研究它們在何種情況下是全等的，在何種情況下不是全等的. 這種教學(xué)方式摒棄了傳統(tǒng)的機械式講授，鼓勵學(xué)生通過親身體驗來揭開其中的奧秘，從而消除心中的疑惑. 因此，在教學(xué)中，教師要打破“以師為主”的教學(xué)模式，讓學(xué)生少一些依賴，多一些思考，多開展批判性評價，以此推動學(xué)生已有知識的系統(tǒng)化與完善化，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力.

3. 重視滲透數(shù)學(xué)思想方法

在教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注知識與技能的傳授，還要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透. 例如，本節(jié)課教學(xué)從學(xué)生熟悉的“HL”定理入手，引導(dǎo)學(xué)生理解該定理是“SSA”的特殊情形，進而激發(fā)學(xué)生對一般情形的聯(lián)想與探索，鼓勵學(xué)生深刻體會并實踐特殊與一般、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法. 在操作和驗證完成后，預(yù)留時間讓學(xué)生自主進行歸納和總結(jié)，不僅使學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容更加條理清晰，同時也有效培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力和語言表達能力. 因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)多提供機會給學(xué)生去提煉數(shù)學(xué)思想方法，以此感悟數(shù)學(xué)思想方法的精髓.

4. 重視發(fā)揮學(xué)生的主體性

眾所周知，學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，學(xué)生積極參與的課堂才是有價值的. 因此，在教學(xué)中，教師要擺脫應(yīng)試教育的束縛，創(chuàng)造機會讓學(xué)生積極參與課堂活動，發(fā)揮學(xué)生的主體性作用，以此提高教學(xué)有效性. 例如，本節(jié)課教學(xué)基于學(xué)生的已有經(jīng)驗，巧妙構(gòu)思問題，引導(dǎo)學(xué)生通過“親身實踐、互動探討、總結(jié)提煉”等過程，在解決問題的實戰(zhàn)中深刻領(lǐng)悟“SSA”的真正含義. 同時，歷經(jīng)上述過程，幫助學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.

總之，在教學(xué)中，教師要深入地研究教材和學(xué)生，敢于打破常規(guī)，為學(xué)生營造一個和諧自主的學(xué)習(xí)氛圍，重視激發(fā)學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷中去操作、去發(fā)現(xiàn)、去探索、去歸納，從而提升教師的教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).