跳出圈子思維 培養模型觀念

[摘" 要] 隨著新知識的學習，有些學過的結論可以被代數證明，有些結論需要被明確前提，這些都需要跳出固有的思維圈.文章從身邊的情景剝離出數學問題，利用熟悉的習題，將結論通過二次函數的知識進行證明優化，并推廣到一般化，培養學生的模型觀念，促使學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界.

[關鍵詞] 模型觀念;應用意識;數學思維

作者簡介：姜萍（1984—），本科學歷，高級教師，從事數學教育工作，曾獲得杭州市教壇新秀稱號.

抽象能力和模型觀念欠缺的學生，很難將現實問題和數學問題結合在一起，這就需要教師對相關教學活動重新定位，重新思考，重新設計，引導學生從具體事件剝離出數學問題，培養學生用數學的角度觀察，用數學的思維思考，用數學的語言表達，找到數學本質.本文以“圈地”設計活動為例，通過學生活動，探討如何將熟悉的問題從“三會”的角度重構，培養學生的核心素養.

提出問題

學生面對已抽象好的數學題，解題很順利，但是當實際場景一出現，就會覺得困難，可見學生的抽象能力、模型觀念、應用意識均需要被培養. 面對生活問題，學生往往覺得它們和數學沒有關系，也就沒有了解決數學問題的一般“套路”，不會用數學的方法去解決現實問題. 因此，重構熟悉的場景，聯系相關知識，建立數學模型，才能讓學生明白生活中處處有數學，從而用數學知識解決實際問題.

合理選材

“幾何直觀建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型.”學生的幾何作圖能力相對欠缺，尤其是方案設計類，需要發散性思維結合幾何直觀能力，只有合理作圖后才能再進一步抽象出數學問題，從而建立模型.

“圈地”設計活動在教材課后習題和相關作業中多次出現，是二次函數的典例. 但是這些題目往往都會給出配套的圖形，忽略了培養學生的幾何直觀能力，以致無法培養學生的模型觀念. 這種看似常規且學生熟悉的問題，重構后就是教師最好的教學素材.

1. 數形結合，完善前提

我校勞動基地想要用木欄圍出菜園，現每班分到木欄20米，該如何圍才能面積最大？

設計意圖" 打破學生小學時記憶中的結論“長度固定，圍成正方形的面積最大”，這一結論并不是在任何情況下都成立.通過多種方案對比，引出沖突，學生利用二次函數求最值，驗證兒時“正方形面積最大”這一結論的前提是不利用墻體圍四邊形.當圍成圓，或者利用存在的墻體作為部分圍欄時，記憶中的結論也就不成立了，說明通過對數學知識重新思考，通過持續學習，可以完善以前的結論，因此需要注意結論使用的前提.

學生設計1（不利用圍墻）：在空地上，用20米的木欄圍成矩形菜園，求能圍出的菜園面積的最大值. 具體過程如下：

設一邊長為x米，面積為y，則y= x（10-x）=-（x-5）2+25，此時圍成邊長為5米的正方形，面積最大，其最大值為25平方米.

學生設計2（不利用圍墻）：在空地上，用20米的木欄圍成圓形菜園，圓面積比正方形更大. 具體過程如下：

2πr=20，故r=，S=π·

2=gt;25，此時圍成半徑為米的圓，面積為平方米.

設計意圖" 這兩個方案都是特別好的設計，均符合題目的要求，說明不能盲目使用小學根深蒂固的“周長固定，正方形面積最大”這一結論.從實際場景分析，這兩個方案分別適用于不同的環境.設計1適用于空曠的沒有圍墻等阻隔的土地，且圍成四邊形，通過二次函數求最值，發現當長和寬相等時，面積最大;設計2是有重要意義的，打破了學生的固有思維，即圍成圓形，半徑最大時，面積也最大，且最大的圓面積大于正方形的面積，因此正方形面積最大的前提應該是在沒有邊界，不利用墻體，圍成矩形這一“圈子”內，而不是任意圖形.通過兩個方案的對比，可以讓學生認識到結論成立的前提的重要性，而日常生活中沒有采用方案2是因為圓形造成周圍的土地很難利用，不適合實際的生產生活.

2. 結合課本，拓展應用

根據學生已有的學習經驗，課本“二次函數的應用”的課后作業題B組第4題“某農場擬建兩間矩形種牛飼養室，飼養室的一面靠現有墻（墻長gt;50米），中間用一道墻隔開. 已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50米，設兩間飼養室合計長為x米，占地面積為y平方米……”可進行如下設計：

學生設計3（利用圍欄）：如圖1，在空地上有一段足夠長的墻MN，利用墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的一邊靠墻，另外三邊總計20米木欄，求矩形菜園ABCD面積的最大值.

[圖1][B][D][C][M][A][N]

學生：設BC= x米，面積為y，則y=x（20-x）=-（x-10）2+50，此時矩形菜園長10米，寬5米，最大面積為50平方米.該方案結果大于設計1的結果.

設計意圖" 設計3源于課本上的習題，是較多學生條件反射作出的圖形，從而建立了模型，符合一般情況下的現實生活，場地有邊界，因此可以利用現有的圍墻，抽象成數學問題的常規情況.有足夠長的邊界“圈地”的最大面積的結論，與正方形面積最大這一結論也不相符.

結合課本上的場景，即可改編“圈地”的新問題，具體如下：

由于生長周期不同，農作物擬分開種植，圍兩個園子，園子一面靠墻，墻足夠長，中間用一道木欄隔開，木欄總長為20米，設兩個菜園合計長x米，總占地面積為y平方米，你能圍成總計多大的園子呢？（如圖2）

學生回答：y=·x=-（x-10）2+.

教師引導：如果需要3個園子，你該如何圍呢？總面積最大是多少？

學生回答：y=·x=-（x-10）2+.

教師繼續引導：如果有4種農作物需要種植，你怎么圍？總面積最大又是多少？

學生回答：y=·x=-（x-10）2+.

教師最后引導：如果有n種農作物需要種植，你怎么圍？總面積最大是多少？（如圖3）

學生總結：y=·x=-（x-10）2+.

設計意圖" 通過變式，增加難度，探索通式通法. “培養學生用數學的眼光看現實世界”，學習數學的目的是讓數學服務于現實生產生活，因此要讓學生明白種植周期不同，根據實際需要，將菜園分割，方便每種農作物各自收割和再次種植，從而讓學生進一步體會到數學和現實生活息息相關，需要將現實生活中的問題抽象成數學問題，突破傳統的方法，或許能想到比課本上更好的方法.

3. 結合設計，產生驚喜

學生設計4（利用角落）：圍成“L”型，考慮到實際場地一定有限，利用角落作為矩形的一角，只需圍左邊及下方的木欄AB，BC這兩條邊，即在空地上有足夠長的墻MD及DN，利用墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的兩邊靠墻，可以用20米木欄，求矩形菜園ABCD面積的最大值. （如圖4）

學生：設BC=x米，則AB=（20-x）米，面積為y，則y=x（20-x）=-（x-10）2+100. 此時園子長10米，寬10米，最大面積為100平方米.

設計意圖" 設計4最為特殊，學生考慮到最特殊的情況——可以利用角落“圈地”，兩邊都利用現有圍墻. 學生給出了突破常規的想法，求出了這四個方案設計中面積最大的情況，跳出了一般思維限制，成為這節課的亮點，體現了讓學生設計的重要性.

設計4的衍生情況：在上述基礎上，繼續圍“L”型，即利用一面墻MD以及前一個班級的一道木欄EF作為下一個班級的另一阻隔，跳出利用四個角落的常規思維，學生提出的分割方法如圖5所示.

拓展1：在空地上有兩段足夠長的墻，利用墻MD，ND和木欄圍成矩形菜園ABCD，已知可以用20米木欄，需要圍成2個相等大小的菜園，求菜園總面積的最大值.

學生：設BF為x米，則AB為（10-x）米，總面積為y，則y=2x（10-x）= -2（x-5）2+50.

拓展2：需要圍成3個等大的菜園，求菜園總面積的最大值.

學生：y=3x

-x=-3x-

2+.

拓展3：在空地上有一段足夠長的墻DN，利用墻MD，ND和木欄圍成矩形菜園ABCD，已知每班可以用20米木欄，需要圍成n個等大的菜園，求菜園總面積的最大值.（如圖6）

學生總結：y=nx

-x=-n·

x-2+.

最后思考：如果菜園子不需要等大呢？總面積的最大值會產生變化嗎？

學生回答：不會產生變化.

設計意圖" 充分肯定學生的“L”型設計，其不光可以在四個角使用，還可以橫向鋪開，從而就具備了推廣的實際意義.進一步結合課本習題相關的變式，從特殊到一般，從具體數字到用字母表示數，找到系數之間的關系，讓學生體會數學的歸納能力和類比思想.最后的思考題，讓這個問題又進一步一般化，本節課更加意猶未盡，耐人尋味.

專家點評

本節課在教師的引導下，過程由學生完成，結果由學生呈現，課堂的主線和方向牢牢地把握在教師手里，為學生打上數學應用、數學建模和核心素養的底色，讓學生從學會轉變為會學，從關注怎么教，進階為關注學生怎么學，不僅關注學生知識技能的掌握，而且關注學生核心素養的發展.

1. 注重創設引課

對于一節好課而言，一段精心設計的引課，相當于一個好的序幕，以熟悉的“圈地”設計活動引入，由此進行數學建模，把陌生的知識放到熟悉的環境中，再用熟悉的知識解決陌生的問題，這就是深度學習，也是真實性學習.

2. 注重基本學情

備知識的課，備學生的課.初三學生的思維能力已經從形象經驗向抽象理論轉變，具備了邏輯推理、直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養，也能從特殊到一般，從具體到抽象來思考和探究問題.

3. 注重互動交流

課堂教學不僅是知識的傳授，還有肢體語言、情感交流、眼神交流，更重要的是從學生身上得到生成資源.通過創設群體的交流提問，利用橫向思維的遷移，發展學生數學抽象和邏輯推理的素養.

4. 注重核心素養

通過簡單的應用和形成的過程，提高學生的觀察能力、歸納概括能力，發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算，特別是數學建模這一核心素養，培養分析、綜合、創造的高階思維. 學生在教師的引導下自主探究，形成數學思想，感悟到數學的科學價值、應用價值、文化價值，最終實現育人價值.