以數(shù)學(xué)史角度淺析小學(xué)數(shù)學(xué)中的0

摘 要：0從一個占位符號成為一個真正意義上的數(shù)，經(jīng)歷了漫長且曲折的過程.0在小學(xué)數(shù)學(xué)中主要有三個內(nèi)涵：①占位；②表示什么也沒有；③表示起點.由于位值制的需求，0具有占位的功能.另外，作為自然數(shù)，0具有基數(shù)和序數(shù)雙重意義.0的不同內(nèi)涵與其歷史發(fā)展密切相關(guān).教師從數(shù)學(xué)史角度切入0的教學(xué)，對豐富數(shù)學(xué)課堂內(nèi)涵，深化學(xué)生理解大有裨益.

關(guān)鍵詞：0；數(shù)學(xué)史；小學(xué)數(shù)學(xué)

在數(shù)學(xué)科學(xué)由神秘主義向?qū)嵶C主義發(fā)展的歷史進程中，0從一個占位符號成為一個真正意義上能參與運算的數(shù).0在小學(xué)教學(xué)中引起過諸多爭議，如0是不是自然數(shù)，最小的一位數(shù)是0還是1，0為什么不能作除數(shù)等.0的歷史發(fā)展決定了其在數(shù)字體系中的特殊性，有必要從數(shù)學(xué)史的角度出發(fā)挖掘0的內(nèi)涵，為小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于0的教學(xué)提供些許參考.

1 0的歷史簡介

隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，人類對事物有了量化的需求，數(shù)字應(yīng)運而生，人們用數(shù)字表示“有”的概念，之后人們才意識到“無”的概念也需要用一個數(shù)字去表達.0的出現(xiàn)晚于其他數(shù)字，最早作為占位符存在.約公元前4世紀，古巴比倫人用楔形的零號作為數(shù)字系統(tǒng)的占位符.中國人在籌算盤上留下空位來表示0，后來用“空”“□”“○”表示0，但這些符號只用來占位，并未被視為數(shù)字.公元628年，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta）對0的運算進行了較為完整的敘述，他把0作為一個數(shù)，制定了0與其他數(shù)字一起使用的規(guī)則，標(biāo)志著0第一次從占位符號變?yōu)閱为毜臄?shù)字.^［1］婆羅摩笈多制定了“一個數(shù)減去它本身，就會得到0”“任何數(shù)加上或減去0還是原數(shù)”等計算規(guī)則.在發(fā)現(xiàn)0的基礎(chǔ)上，才有了負數(shù)的延伸，0是正數(shù)和負數(shù)的平衡點，數(shù)字0是連接正數(shù)和負數(shù)的橋梁，三者綜合在一起，實現(xiàn)了自然數(shù)系到整數(shù)系的擴充.但婆羅摩笈多認為零除以零空無一物，正數(shù)或負數(shù)除以零是一個以零為分母的數(shù).^［2］印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅第二（Bhaskara）進一步將分子非零而分母為零的分數(shù)用“khahara”表示，意為無窮大并描述了其性質(zhì).^［3］數(shù)字0的內(nèi)涵得以進一步擴展和充實.

9世紀，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花剌子模（Al-Khwarizmi）的著作傳播到西方世界，他的著作在12世紀被翻譯成拉丁文，傳遍整個歐洲.但是，在阿爾·花剌子模的書中，0還沒有被認為是一個數(shù)字，它只是一個占位符.^［4］隨著各個國家商品貿(mào)易往來，12世紀意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci）的《計算之書》將包括0在內(nèi)的印度—阿拉伯?dāng)?shù)字傳入歐洲，在中世紀的學(xué)者和商人中得到了很大的反響，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了巨大的便捷，引起了算術(shù)革新運動，加快了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展.但0作為一個數(shù)卻沒有被廣泛認可，遭到頑固守舊派的猛烈攻擊和抵制，即使是16世紀、17世紀最著名的數(shù)學(xué)家，也不愿意接受0作為方程的根.17世紀微積分誕生，0是否為無窮小量的討論引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機，加速了微積分理論的嚴格化，0是溝通有限和無限的橋梁.18世紀，0的地位已經(jīng)從占位符號上升到數(shù)字，再上升為代數(shù)工具.19世紀末德國數(shù)學(xué)家康托爾（Cantor）創(chuàng)立集合論后，0與空集的基數(shù)相對應(yīng)，由于空集是任意一個非空集合的真子集，所以對任何正整數(shù)a都有0＜a，從集合論角度說明0是自然數(shù)集中最小的數(shù).

0在中國也有著悠久的歷史.在以算籌為計數(shù)工具的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中沒有數(shù)字0，公元前4世紀，人們在擺放算籌時，用在籌算盤上留下空位的辦法來表示0，在珠算中，用在算盤中留下空當(dāng)表示0，但空位容易使人忽略0的存在，后來就用“空”字、符號“□”表示0，如南宋學(xué)者蔡元定著的《律呂新書》中，曾把104976記作“十□四千九百七十六”.用符號“□”表示0，標(biāo)志著用符號表示0的新階段.^［5］為了書寫便利，又把符號“□”順筆改為“○”.13世紀，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中，首次用“○”表示空位，即零的意思.^［6］又如金代的《大明歷》中，把405寫成“四百○五”.^［7］這些都是0在中國最早的雛形，但這些符號只是表示空位，并沒有把它當(dāng)作數(shù)字來使用.

13世紀，印度—阿拉伯?dāng)?shù)字傳入我國，但未被采用，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)一直采用文字一、二、三等九個字來表示數(shù)目.直至清末我國的數(shù)字體系才與國際接軌.1892年，鄒立文與狄考文合著的《筆算數(shù)學(xué)》，正式采用了阿拉伯?dāng)?shù)字，并在書中寫道：1一，2二，3三，4四，5五，6六，7七，8八，9九.除了這九個字外，還有一個圓圈，這個圈雖然不是數(shù)，卻也算在數(shù)目字以內(nèi)，等到講究數(shù)目字的次序就可以明白他的用處.^［8］可見當(dāng)時人們還認為0不是一個數(shù)字，但已經(jīng)意識到0在數(shù)字體系中的作用不容小覷.直到1902—1905年，中國數(shù)學(xué)教科書或數(shù)學(xué)用表才普遍使用印度—阿拉伯?dāng)?shù)字，并一律與西洋算書一樣橫排.

0從占位符號到成為一個真正意義上數(shù)字的發(fā)展與轉(zhuǎn)變，極大地促進了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展.意大利博學(xué)家達·芬奇（Leonardo da Vinci）將0與幾何中的點對應(yīng)，局部地揭示了幾何學(xué)和算術(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.^［9］代數(shù)與幾何被法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（Descartes）創(chuàng)建的以0為起點的坐標(biāo)系緊密地聯(lián)系起來.在文化史上，0的發(fā)現(xiàn)永遠標(biāo)志著人類最偉大的獨一無二的成就.^［10］

2 小學(xué)數(shù)學(xué)中0的意義

在0的歷史發(fā)展中，作為占位符號和作為自然數(shù)的0體現(xiàn)不同的內(nèi)涵和功能.如今，0的認識與應(yīng)用滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個方面.學(xué)生計算涉及0的運算時經(jīng)常出錯，究其原因在于學(xué)生對0的意義認識與理解不夠，教師講解和滲透0的歷史內(nèi)涵尤為重要.

2.1 作為占位符的0

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，萬以上的數(shù)和小數(shù)中關(guān)于0的讀寫是學(xué)生易錯之處.這要求學(xué)生在理解位值制和十進制記數(shù)法的基礎(chǔ)上，熟練地掌握0的讀寫規(guī)則.在0的讀寫中，突出了0的占位功能.

古巴比倫的數(shù)學(xué)家發(fā)明了位值記數(shù)法，這是一項重大創(chuàng)新，這意味著數(shù)值不僅由其符號表示，而且由其位值表示.^［11］位值制記數(shù)法是千百年人類智慧的結(jié)晶，位值制對大數(shù)而言有其顯著的優(yōu)越性，但位值制空位沒有符號去表示，這促進了符號0的產(chǎn)生，同樣，0的出現(xiàn)也完善了位值制記數(shù)法.

在數(shù)的寫法中規(guī)定哪個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0，既突出0占位的特征，也強調(diào)了0表示什么也沒有.0在小數(shù)讀寫中體現(xiàn)的占位作用尤為明顯，如0.200，讀作零點二零零.這里的3個0要全讀出來，原因在于這三個0分別占了個位、百分位和千分位，小數(shù)部分末尾的0表示小數(shù)的精確度.教師在教學(xué)整數(shù)及小數(shù)中關(guān)于0的讀寫規(guī)則時，應(yīng)從0的占位功能入手，滲透位值制的相關(guān)知識，讓學(xué)生在明確數(shù)級和數(shù)位的基礎(chǔ)上，進行針對性讀法與寫法的練習(xí).

2.2 作為自然數(shù)的0

0在自然數(shù)的定義中，出現(xiàn)的并不“自然”.1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（Peano）建立的自然數(shù)的公理系統(tǒng)中規(guī)定1是最小的自然數(shù)，后來修訂該公理系統(tǒng)，以0取代1作為最小的自然數(shù).1993年頒布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定用0表示“一個物體也沒有”所對應(yīng)的計數(shù)，因而0從此也作為自然數(shù).^［12］

2.2.1 0的基數(shù)意義

印度人最早將0作為能參與運算的真正意義上的數(shù)，梵文“sunya”表示空無，阿拉伯人譯為阿拉伯語“sifr”，意為“空無一物”，在后來的翻譯與傳播的過程中進一步簡化為“zero”.0的基數(shù)意義在于表示“什么都沒有”.

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)的過程是數(shù)字發(fā)展過程的縮影.在人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)一年級上冊》中，“0的認識和加、減法”一節(jié)安排在“1～5的認識和加、減法”之后，這符合學(xué)生數(shù)數(shù)的認知規(guī)律，也符合0的歷史發(fā)展規(guī)律.在例題中通過熊貓吃光了盤子里竹筍的情境設(shè)置，用0表示盤子里一個竹筍也沒有，讓學(xué)生體會0是一個確確實實的數(shù)，0是比1還小的數(shù).

另外，0的歷史發(fā)展決定了0在自然數(shù)系中的特殊性，在小學(xué)數(shù)學(xué)中表現(xiàn)在0與自然數(shù)運算法則的格格不入，尤其是在除法的計算中，學(xué)生在四則運算中會更深刻地體會0的基數(shù)意義.0為什么不能作除數(shù)，或0為什么不能作分子及比的后項，我國著名數(shù)學(xué)家傅仲孫的解釋為今0÷0=任何數(shù)，商雖有而不定；2÷0則并一合用之商而不可得.無商固不可，有商而不定亦不便.因此，算學(xué)家約定不以0為除數(shù).這是數(shù)學(xué)中的規(guī)則，誰都不許犯.^［13］在教學(xué)中，除了因為任何數(shù)乘0等于0，所以用0除以0結(jié)果不確定來解釋，還可以在幫助孩子理解0表示什么都沒有含義的基礎(chǔ)上，回歸除法的本質(zhì)，從除法的兩層含義上入手.將被除數(shù)平均分成0份，是不可能實現(xiàn)的，所以說0作為除數(shù)沒有意義.從另一個角度看，除法還有“包含”層面的意義，被除數(shù)里包含幾個0，得不出確切的答案，沒有計算的意義.運用除法的意義來解釋，不僅能讓學(xué)生更深刻地理解0為什么不能作除數(shù)，還可以進一步讓學(xué)生體會0的內(nèi)涵與意義.

2.2.2 0的序數(shù)意義

自然數(shù)0的序數(shù)意義體現(xiàn)在0表示起點.1637年笛卡爾創(chuàng)立直角坐標(biāo)系，0在最中心的位置，表示坐標(biāo)系的起點，原點（0，0）是笛卡爾坐標(biāo)系的根基.笛卡爾在其著作《方法論》中提到，在某種意義上，我是介于上帝與0之間的一種存在.^［14］

在直尺、量角器等數(shù)學(xué)工具中，0是度量的起點，作用不可小覷.對0序數(shù)意義的認識為學(xué)生在后續(xù)度量長度、認識數(shù)軸及正確地使用量角器打下堅實基礎(chǔ).另外，教師還可以從“零基礎(chǔ)”“從零開始”等日常用語出發(fā)，讓學(xué)生體會0表示起點這一內(nèi)涵的現(xiàn)實意義，有助于提升學(xué)生對0豐富內(nèi)涵的理解和認識.

0的歷史發(fā)展決定了0在自然數(shù)系中的特殊性，它不像其他數(shù)字一樣“循規(guī)蹈矩”，因此，在因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念中都在正整數(shù)的范圍內(nèi)討論，不考慮0的存在，也不會討論0是幾位數(shù)，因為0表示什么也沒有，在整數(shù)范圍內(nèi)，如果0是一位數(shù)，那么00就可以看作是兩位數(shù)，顯然不合規(guī)矩，所以仍然規(guī)定最小的一位數(shù)是1.

3 結(jié)語

德國哲學(xué)家、思想家恩格斯（F.Engels）在《自然辯證法》中說道：“零不止是一個非常確定的數(shù)，而且它本身比其他一切以它為界限的數(shù)都更重要.事實上，零比其他任何一個數(shù)都有更豐富的內(nèi)容.”^［15］0作為一個自然數(shù)，與其他自然數(shù)一樣，既有基數(shù)的特征，又有序數(shù)的特征，基數(shù)的特征體現(xiàn)在0表示什么也沒有，序數(shù)的特征體現(xiàn)在0可以表示起點.另外，0作為位值制的產(chǎn)物，在數(shù)字漫長的歷史發(fā)展進程中，作為符號存在，體現(xiàn)在它的占位功能.0的作用還遠不止于此，如為了消除某些公式的特殊情形，定義0！=1，a0=1（a≠0）等，在小學(xué)數(shù)學(xué)中不作討論.

教師在教學(xué)中拓展數(shù)學(xué)史知識，欣賞數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折道路及發(fā)展的動力，對學(xué)生理解0的內(nèi)涵，探索數(shù)學(xué)的奧秘起著舉足輕重的作用.因此，教師了解0的歷史，理解0在數(shù)字體系中的地位與作用，體會0在運算中的特殊性，將其靈活地運用到實際教學(xué)中，既可以加深數(shù)學(xué)課堂的深度，豐富數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的內(nèi)容，又可以幫助學(xué)生建立與0相關(guān)的知識之間的聯(lián)系，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)知識的廣度，促進學(xué)生對知識的吸收與應(yīng)用，幫助學(xué)生構(gòu)建更加完整的數(shù)學(xué)知識體系.另外，將與0相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，符合小學(xué)生心理發(fā)展規(guī)律，可以有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高課堂教學(xué)效率和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

綜上，教師了解0的歷史、內(nèi)涵和意義，對小學(xué)數(shù)學(xué)中教授0的相關(guān)知識及內(nèi)容大有裨益，將0的歷史知識滲透到課堂教學(xué)是提高課堂效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的重要法寶和有力武器.

參考文獻

［1］［11］羅伯特·斯奈登.極簡數(shù)學(xué)史：生命無代數(shù) 人生有幾何［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2020.

［2］杜石然，孔國平.世界數(shù)學(xué)史［M］.長春：吉林教育出版社，2009.

［3］婆什迦羅.莉拉沃蒂［M］.北京：科學(xué)出版社，2008.

［4］費爾南多·辜維亞，比爾·柏林霍夫.這才是最好讀的數(shù)學(xué)史［M］.北京：北京時代華文書局，2019.

［5］［7］孫興運.數(shù)學(xué)符號史話［M］.濟南：山東教育出版社，1998.

［6］徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號史［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［8］嚴敦杰.阿拉伯?dāng)?shù)碼字傳到中國來的歷史［J］.數(shù)學(xué)通報，1957（10）：1-4.

［9］代欽.神壇上的達·芬奇——以達芬奇的數(shù)學(xué)手稿為中心［J］.數(shù)學(xué)通報，2021（1）：1-10.

［10］T·丹齊克.數(shù)：科學(xué)的語言［M］.上海：上海教育出版社，2000.

［12］張奠宙，張廣祥.中學(xué)代數(shù)研究［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［13］趙慈庚.初等數(shù)學(xué)研究［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1990.

［14］查爾斯·賽弗.神奇的數(shù)字零：對宇宙與物理的數(shù)學(xué)解讀［M］.?？冢汉Ｄ铣霭嫔纾?017.

［15］恩格斯.自然辯證法［M］.北京：人民出版社，2018.

^**基金項目：國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金項目“民國時期數(shù)學(xué)科普讀物整理與研究”（項目編號：12326509）；內(nèi)蒙古自治區(qū)教育廳科學(xué)技術(shù)史一流學(xué)科科研專項項目資助（項目編號：YLXKZX-NSD-061）.