小學數學“四元五環”課堂的探索與實踐

摘 要：“四元五環”教學模式聚焦數學學科核心素養的培養，以“知識”“思維”“能力”“價值”四個維度定位教學目標，學習活動根據“導學”“探究”“體悟”“內化”“應用”五個環節推進，學習設計以任務驅動學生獨學、共學、展示、對話等，構建以促進學生深度學習為目標的課堂.

關鍵詞：“四元五環”；核心素養；深度學習

“四元五環”教學模式聚焦數學學科核心素養的培養，以任務驅動學生獨學、共學、展示、對話等過程，構建以學生為主體、合作探究為主導，促進學生深度學習為目標的課堂.

1 “四元五環”之內涵

1.1 “四元”定位教學目標

“四元”是指以知識、思維、能力、價值四個維度定位教學目標.

知識目標：對基礎知識和基本技能的理解和掌握，不僅是數學學習的重要目標，也是學生進一步發展的根本.

思維目標：以挑戰性任務引導學生持續思考一個問題，培養其分析能力和評價能力，創造高階思維，幫助學生積累基本思想和基本活動經驗.

能力目標：《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）倡導培養學生運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力^［1］，在培養學生“四能”的基礎上再培養關鍵能力；增強應用意識，提高實踐能力；體驗解決問題方法

的多樣性，發展創新意識；體會數學的基本思想和思維方式，學會獨立思考；與他人合作交流，形成評價與反思的意識等.

價值目標：對數學具有好奇心和求知欲，了解數學的價值，欣賞數學美，提高學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神.^［2］

以人教版《義務教育教科書數學五年級上冊》中“可能性”為例的“四元”教學目標如圖1所示.

1.2 “五環”實施教學

“四元”和“五環”猶如太極圖中的兩儀，魚頭和魚尾互相環抱，相互依存、相互制約，共處于一個生生不息的有機整體中（如圖2）.“五環”層層遞進，環環相扣，重心是“探究”“體悟”“內化”三環，它們直指學生的悟有所得，素養形成.“五環”教學以問題、任務為引領，留足時間和空間讓學生在一次次探究、一次次感悟、一次次表達中，不斷催化思考的深度，使學生獲得可言說的數學，讓思維不斷成長、逐漸豐盈.

2 “四元五環”之實踐

2.1 導學環——創設情境，感知背景

“導學環”背景的選擇尤為重要，新課標提倡引導學生在真實情境中發現和提出問題.一個情境是否合適并不取決于情境本身，而在于所提出的問題能否揭示學科知識的本質.^［3］“可能性”這一課教材以抽簽表演節目的生活情境，將學生帶入一個與可能性密切相關的情境中，使學生體驗到現實生活中存在著不確定現象，建立數學與生活的聯系.

（1）核心問題：思考第1個抽卡的小明有幾種結果，結果是怎么樣的？接著抽卡的小紅和小麗呢？

（2）學生活動：同桌合作，利用磁扣，邊模擬抽卡過程，邊分析抽到的結果.完成下面的練習題.

聯歡會上小明、小紅、小麗按先后順序抽簽表演節目，3張卡片分別寫著唱歌、跳舞、朗誦.

將“結果”用上“可能”“一定”或“不可能”寫在橫線上.

小明先抽取，抽到的有（" ）種結果，分別是" " " " " " "；

接著小紅抽取，抽到的有（" ）種結果，分別是"" " " " " " "；

最后小麗抽取，抽到的有（" ）種結果，分別是"" " " " " " " .

（3）展示匯報：小明有3張卡片，有3種結果，可能是跳舞、唱歌、朗誦；

小明抽走1張后，小紅還剩2張，有2種結果，可能是剩余2張；

小紅抽走1張后，小麗還剩1張，有1種結果，一定剩下1張.

師：為什么3名同學抽卡結果不一樣呢？

生：因為統計的卡片在減少，統計的結果也在變化.

（4）現場模擬：隨機請兩組學生上臺模擬.

生：卡片的數量由多個變成1個，統計結果就從多種的“可能”變成“一定”.

“導學環”喚醒學生模糊、粗淺、寬泛的已有認知，通過推理分析、模擬游戲的活動幫助學生逐

步明晰“可能性”的初步認識，體驗事件發生的確定性和不確定性，初步感知隨機性的現

實意義，為后面的學習逐步走向深入做好準備.

2.2 探究環——引領探究，抽象特征

核心素養的培養側重學生的自主探究和自我體驗，更多地依靠學生自身在實踐中的摸索、

積累和體悟.^［4］“探究環”要讓學生探究“足”，圍繞學習任務獨立思考、合作探究，從基本概念上尋找思路，抽象出結構特點、模型特征、變化規律、內蘊性質等.只有學生做足、做夠、做透，才能有所悟，實現學習的有益獲得.

“可能性”教學的重心是學生對“可能”這一不確定性的深刻理解.結論的得出需要依賴足夠多實驗結果的支撐，越豐富的實驗結果，越有利于學生在觀察、比較中發現一些規律性的東西，有利于知識的建構.^［5］利用摸球活動，感悟數據蘊含的信息，體會隨機性.

（1）引發猜想.

師：從箱子中任意摸出1個球，摸到什么顏色的球能確定嗎？

生：有可能摸到白球，也有可能摸到紅球，不能確定.

師：摸出哪種顏色的球的可能性大？說說你的理由.

（2）實驗驗證.

小組合作，輪流摸球，每次摸出1個球，用“正”字法記錄下它的顏色，再放回去搖勻，重復10次，完成記錄單（如圖3）.

（3）匯總數據.

全班13組數據統計在表1中.

（4）小組討論.

結合全班數據，你認為小組得到的結論正確嗎？請說明理由.

（5）集體交流.

生1：我們第6小組白球摸到8次，紅球2次，從全班的數據看來，除了第12組，其他都是白球摸到的比紅球多，所以我們的結論是正確的.

生2：雖然只有第12組摸到的紅球比白球多，但并不證明白球一定比紅球的可能性大，你們小組的結論太果斷了.

師：那你們小組的結論是什么？

生2：我們第2小組也是同樣，但是是劇烈搖晃之后才摸的，我們認為摸到什么顏色的球是不確定的.

師：所以第13組的數據撼動了你的結論？我們先在這里打個問號，稍后再討論.

生3：我們第7小組白球摸到7次，紅球3次，結論是正確的，因為白球數量更多，可能性更大，紅球數量更少，可能性更小.

師：你這里說的“多”，是數據里面的白球多嗎？

生3：不是，是指它的個數.從第1到第13組可以看出，白球摸到的數量明顯比紅球摸到的數量多.

師：我們可以用數據說話，一起來算一算.總共進行140次實驗，紅球35次，那白球就是105次，現在能說明嗎？

生4：白球摸到105次，紅球摸到35次，白球比紅球更多，所以摸到白球的可能性更大.

生5：我們是白球摸出6次，紅球4次，據統計140次實驗總共摸出白球105次，紅球35次，白球摸出的次數是比紅球多的，和我們的結論是一樣的.

師：給大家點贊，說出來的結論不是空口說白話，有理有據地用數據說話.大家不僅看了組數，還算了總數，初步得出這個結論是正確的.

本次實驗給了學生充足的時間和開放的空間，學生經歷了猜想、實驗、論證的研究過程，人人參與、合作摸球，從中獲得隨機性的真實體驗，學生用現場收集的數據說話，從組數和總數角度讓大數據下的規律性變得看得見、可表達、可交流，把摸球試驗一步步落到對數學本質的深度探尋，逐漸豐實學生對“可能性大小”的數學感覺，初步感受隨機事件發生的統計規律性，積累了基本的活動經驗.^［6］

2.3 體悟環——激發體悟，概括要義

“體悟環”是對知識的深層理解，教師要給學生提供思維層面的指導，激發學生體悟，進而主動概括知識的要義，促進問題的解決.“探究環”討論的是一般情況數據蘊含的信息，“體悟環”就要聚焦特殊數據深入交流，讓學生通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律以及小數據有偶然性，大數據有規律性等層面來體悟數據意識核心素養的要義.^［7］師生對“摸到白球10次，紅球0次”的情況進行討論.

師：如果在這個箱子里繼續再摸一次，有可能摸到紅球嗎？

生1：有可能，因為有1個紅球.

生2：雖然白球的可能性比較大，但還是有一定可能可以摸到紅球.

師：白球都摸出10次了，下次總該摸出紅球了吧？

生3：不一定，也有可能會摸到白球.

師：也就是每次摸球都有兩種可能，每次都不能確定.

師生對“摸到白球4次，紅球6次”的情況進行討論.

師：跟我們剛才得出的結論有點不一樣，這種數據你們怎么看？帶著你的思考，在小組里交流.

生4：雖然白球比紅球多3個，全班有一組是白球4次、紅球6次，說明摸到白球的數量不一定是多的，摸到紅球的數量也不一定是少的.

生5：我和他的看法是一樣的，結合全班的數據，并不能因為第13組紅球摸到的數量比白球多而否定我們之前的結論，所以我認為摸到白球的可能性比紅球的大.

生6：摸東西這樣的問題每次摸到的情況都不確定，都是有可能的.

師：有請出現這個數據的小組.

生7：雖然白球的數量多可能性大，但不能排除紅球摸到的次數多.

師：你能接受你們小組得到的數據嗎？你們小組原來的結論是什么？

生8：白球的可能性大，但是紅球摸到的更多，說明摸出球的顏色是不確定的.

師：摸出球的顏色是不確定的，生活中有沒有這樣可能性很小，但是有可能發生的現象？

生9：有，中彩票，雖然中彩票的可能性很小，但是也不是沒有可能.

生10：或者是被雷劈的時候順便中了一張彩票，還中了一等獎.

師：這個可能性非常小，但是有可能發生，會用生活中的事來解釋數學，真好.可能性大，不代表一定發生；可能性小，不代表不會發生.摸球次數少，就有可能出現這種偶然現象.

體驗到感悟是需要一個過程的，利用特殊數據引發思維沖突，通過小組數據、全班數據的對比分析，逐步讓學生體驗數據由小變大后，隨機性的影響也隨之越小，呈現出統計的規律性.^［8］學生對隨機中存在規律性的數學感覺，從憑直覺的猜想，到本組數據產生的確定或懷疑，最后思維交鋒后的清晰明朗的感覺，促進學生從感性認識上升到理性認識，發展數據意識.

2.4 內化環——促使內化，辨析內涵

“內化環”是辨析環節，辨析不只是辨析易錯點，還是要思辨知識背后蘊涵的本質內涵.

利用電腦數據模擬感知大數據時代數據分析的重要性，通過再一次摸球的思辨，讓學生體會摸球事件的隨機性內涵——雖然總有機會摸出其中的紅球，但究竟會在第幾次摸出紅球無法確定，不受實驗者主觀判斷的影響和制約.^［9］

（1）大數據會說話：動態演示19個班3 000多組實驗結果.

圖4中的大數據告訴我們什么？

生1：白球摸到的概率比紅球的大，白球更容易摸到.

生2：能告訴我們白球數量多，可能性大，紅球數量少，可能性小.

生3：這個數據告訴我們摸到白球的可能性大概是摸到紅球的4倍.

師：只要數據足夠多，隱藏在數據背后的規律就顯現出來.

（2）規律中有隨機：再摸一次，摸到哪種球的可能性大？

生：依然是摸到白球的可能性比較大，但是摸到紅球的可能性越來越小.

（3）把可能變一定：只要箱子里有紅球，一切皆有可能.怎么把這里的可能變成一定？

生：箱子里裝滿白球或紅球，就一定能摸到白球或紅球.

師：只要箱子里的球的顏色從多種變成一種，摸球這件事就從不確定變成確定了.

大數據圖象的演示進一步讓學生體會到摸球的次數越多，數據越大，圖象就越穩定.大量重復試驗事件發生的頻率趨于穩定，學生充分感受到大數據統計所呈現出來的規律性.^［10］

在白球數量的變化中，學生不斷積累活動經驗，數學思維不斷受到沖擊，認知結構不斷重建.學生對隨機思想的感受上升到了“只要有1個紅球，就有可能摸到，但不能確定在哪一次摸到”的新高度.學生在探究、體悟、內化三環圍繞“可能性大小”這一核心的學習，經歷

了一個對數學知識的理解由淺入深的逐步深化的過程，課堂彌漫著濃濃的數學味.

2.5 應用環——引導應用，深化理解

“應用環”是在學生基本掌握學習方法、理解新知識之后進行，目的在于鞏固知識、強化新知，歸納整理，形成技能.“應用環”的“深化理解”要引領學生觀察分析數學事實、提出有意義的問題，猜測探究適當的數學結論，給出解釋和證明.

在學生初步體驗事件發生的確定性和不確定性，教師安排了即時的口頭練習，用“一定”“可能”或“不可能”來描述隨機事件；再學以致用，用可能性解釋歷史故事大將軍狄青反敗為勝的秘密，使學生感受到統計在生活中的廣泛應用，學會用數學的眼光看待并分析生活中的現象，體會到數學的應用價值.

3 結語

“四元五環”教學模式改變了傳統的教學方式，在教的過程中融入學的任務，引導學生自主學習，理解學生又發展學生，線索明確且難易適度，喚醒舊知兼啟發探究，注重操作又留有一定的思維空間，兼顧各層次學生的發展需求，學生以自身已有的知識結構同化、順應所學知識，通過自主、合作、探究、反思的學習方式，使所學的知識得以不斷地豐富和創新，從而感悟數學思想，積累活動經驗，獲得素養的發展，不僅讓學生看到“學的價值”——我想，同時更好地看到“人的價值”——我能，給學生更多展示自我、突破自我的可能，讓課堂煥發生命的活力.

參考文獻

［1］［2］［7］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］姜榮富.創設合適的問題情境 滲透正確的統計觀念——平均數的理解與教學［J］.小學教學研究，2024（21）：15-18.

［4］北京師范大學出版社，基礎教育國標教材出版中心.21世紀學生發展核心素養研究（修訂版）中國學生發展核心素養總框架——指向21世紀的育人目標體系［J］.基礎教育課程，2021（5）：2.

［5］［9］張齊華.奠基學力 為學賦能——張齊華為學習力而教數學課堂10例［M］.北京：開明出版社，2021.

［6］［8］［10］臧曉梅，張寶玉.從感覺走向感悟——“可能性大小”教學實踐與思考［J］.小學數學教育，2021（23）：37-39.

**基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2023年立項課題“‘四元五環’視域下學生學習方式變革的實踐與探究”（項目編號：FJJKZX23-038）.