基于平均數統計意義的層次分析與教學應用

【摘" "要】分析現行小學數學教材中對平均數內容的編排，闡述平均數在統計意義認識中的四個層次及應用。基于此，設計平均數教學活動，以解決實際問題為主線，通過創設問題情境、引發矛盾沖突和回顧體悟價值三個維度，引導學生全面深入地理解平均數的多重意義，努力達成從程序性理解到概念性理解的過渡，最終指向數學模型的應用和數據分析意識的培養，實現學生素養的提升。

【關鍵詞】平均數；層次分析；教學應用

平均數是統計學中表示數據集中趨勢的統計量，也是小學數學“統計與概率”領域的重要學習內容。平均數概念不僅涉及基礎的算術運算——求和與除法，還承載了培養數據意識的豐富的統計內涵，包括描述數據整體特征與描述不同數據組間的差異。通過平均數，可以洞察數據的中心趨勢，為后續更復雜的統計分析，如數據分布的探討奠定基礎。

然而，當前平均數的教學實踐中存在一個顯著的問題，即過分偏重計算技能的訓練，而對平均數作為統計量的深層意義的挖掘與體現不足。這種偏差不僅限制了學生對平均數全面而深刻的理解，也阻礙了他們在解決實際問題中有效運用這一知識的能力發展。因此，需要重新審視并改進平均數的教學方法。

一、數學教材中平均數內容的編排

現行的小學數學教材均將平均數作為一個核心概念進行系統編排。盡管不同版本的教材在編排思路上有一定差異，但均關注了平均數的算法和統計意義，以及統計意義理解的四個層次。下面以北京師范大學出版社、人民教育出版社、江蘇鳳凰教育出版社出版的小學數學教材為載體，分析教材對平均數內容的安排。

（一）不同版本教材對平均數內容的編排

由北京師范大學出版社出版的小學數學教材（以下簡稱“北師大版教材”）將平均數的學習安排在四年級和五年級下冊。具體而言，四年級通過“記數字”等情境引入平均數，強調其代表性，并利用“移多補少”的方法幫助學生直觀理解平均數的計算，進而通過眾數和平均數的對比，深化學生對平均數意義的理解。五年級下冊則進一步探討平均數的靈敏性和虛擬性，通過“免票乘車”和“少兒歌手大獎賽”等情境，引導學生感受平均數在數據分析中的應用，并理解極端數據對平均數的影響。

由人民教育出版社出版的小學數學教材（以下簡稱“人教版教材”）同樣將平均數的學習安排在四年級下冊。教材先通過收集礦泉水瓶的實例聚焦平均數的計算；再通過比較不同人數的男女生隊在踢毽比賽中的成績，引導學生理解平均數的意義和計算方法，感受平均數在解決實際問題中的應用；最后通過單元練習中的一道習題，介紹歌手大賽中的規則——去掉一個最高分和一個最低分，幫助學生了解平均數容易受極端數據影響的特點，感知平均數的靈敏性，進一步深化學生對平均數意義的理解，培養學生的數據分析意識。

江蘇鳳凰教育出版社出版的小學數學教材（以下簡稱“蘇教版教材”）則將平均數的學習安排在四年級上冊。教材直接呈現不同人數的男女生隊的套圈成績統計圖，讓學生比較哪個隊套得更準，討論比較最值、比較總數和求平均數三種方法哪種更合理，感受平均數的代表性，學習平均數的計算方法。在后續的練習中，也同人教版教材一樣，安排了“朗誦比賽”的情境，介紹“去掉最高分和最低分”的比賽規則，引導學生感受平均數的靈敏性。此外，還通過“運動與身體變化”這一實踐活動，讓學生經歷真實的實驗過程，體會平均數作為統計量的意義，感受平均數的應用價值。

（二）不同版本教材共同關注的方面

三個版本的小學數學教材在平均數的教學上都注重算法和統計意義兩個方面的教學。

在算法的學習上，三個版本教材都通過例題介紹了移多補少、先求和再除法（即平均分）兩種計算方法，并設置了相應的練習題。

在統計意義的學習上，三個版本教材都引入實際數據和情境，引導學生在解決問題中感受用平均數分析和比較數據的過程，理解平均數的概念，明確平均數描述了數據的集中趨勢，從而感受其代表性。同時，讓學生在平均數計算過程中感受平均數的統計意義，并通過閱讀和思考問題串及人物對話，感受平均數的虛擬性和靈敏性，進而形成對平均數作為一種數學模型的意義的理解。最后在練習設計上，進一步豐富學生對平均數意義的理解，使學生對平均數統計意義的認識層層深入、螺旋上升。北師大版教材還專門在五年級下冊安排了“平均數的再認識”一課，通過“免票乘車”和“少兒歌手大獎賽”兩大情境和數據，引導學生借助數據分析再次感受平均數的統計意義，發展數據意識。

二、平均數統計意義認識中的四個層次

如前所述，平均數統計意義的認識可以體現在四個層次：代表性是平均數統計意義的核心和基礎，而平均數就是表達一組數據總體情況的一個代表性的值；虛擬性則是代表性意義的進一步延伸；靈敏性是由平均數的算法而帶來的特征；數學模型則體現了平均數這一統計量得以產生的緣由。

（一）平均數具有代表性

平均數的核心意義是它能刻畫、代表一組數據的整體水平。它不同于原始數據中的每一個數據，但又與每一個原始數據相關，代表這組數據的平均水平，具有良好的代表性。

比如人教版教材中呈現了由5名隊員組成的男生隊和4名隊員組成的女生隊各自的踢毽個數，問男生隊和女生隊哪個隊成績更好。此時選擇比較最值和總數都是不合適的，而求平均數顯得尤為合理，能代表各自的整體水平。

（二）平均數具有虛擬性

平均數是通過加工原始數據得到的，它不是客觀存在的，具有虛擬性。1831年，阿道夫提出“平均人”的概念，第一次將平均數作為總體的一個方面的代表值。這樣一來，原本真實的數據就走向虛擬的具有統計意義的代表值。也正因為如此，平均數盡管從數值上等于平均分的結果，但兩者的意義是極為不同的。后者是要真實地去操作“平均分”，最后的結果也是真的被平均了；而前者只是通過“勻”數據，讓人直觀理解平均數的代數性，通過“平均分”的運算求得平均數。

比如，把12塊糖平均分給3個孩子，平均每人分得4塊，這是典型的平均分；但如果3個孩子分別有3塊、4塊、5塊糖，那他們平均每人有4塊糖，這是平均數。盡管兩者的數值是相同的，但前者每人分得的糖數真的是4塊，而后者每人擁有的糖還是原來的數量，4只是代表他們擁有的糖數量的總體水平。

（三）平均數具有靈敏性

與眾數、中位數等集中量數相比，平均數的一個典型特點就是在計算時，每一個數據都參與了運算，這導致平均數具有靈敏性。因此，平均數的優點是“代表”了每個數據，但局限是平均數易受極端數據的影響。

比如，操場上站著6個人，他們的年齡分別是45歲、5歲、7歲、8歲、9歲、10歲。他們的平均年齡是14歲，但這個14歲并不能代表這6個人年齡的整體情況，因為45這個極端數據直接影響了平均數。

（四）平均數是一種數學模型

從一定意義上來說，統計量其實是人們為描述與分析現象，借助數據建構出來的一種數學模型。如果從這個角度去認識平均數，那就需要考慮平均數作為刻畫數據整體水平的一種模型，相較于其他模型具有怎樣的優點。實際上，現行教材中是有體現模型及模型優化的思想的。比如，在兩組人數不等的數據的比較中，人教版教材對“總數”模型進行了優化，蘇教版教材則同時優化了“極值”和“總數”兩個模型。而北師大版教材五年級下冊“平均數的再認識”一課中呈現的“少兒歌手大獎賽”的場景，則繼續優化平均數模型，制訂了“去掉最高分和最低分后再算平均數”的規則，從而規避了極端數據的影響，形成了更優的平均數模型。

三、基于平均數統計意義四個層次的教學設計

平均數是描述數據中間位置最重要也是最常用的統計量，教師的教學不能止于讓學生學會平均數的求法，還要以真實問題為載體，以平均數的統計意義為重點，讓學生在解決問題的過程中領悟平均數的本質內涵，感受平均數在處理和分析數據中發揮的作用，培養數據分析意識。北師大版教材五年級下冊“平均數的再認識”一課是在學生已經初步認識了平均數，知道平均數能代表一組數據的總體水平，掌握了平均數的計算方法后進一步要學習的內容。為了體現“再認識”，教學時需要將落腳點放在平均數基于統計意義的四個層次上。

（一）創設情境，感受平均數的代表性與虛擬性

創設歌唱比賽情境，呈現評委打分情況（如表1）。

思考1：基于四位評委的打分，你認為可以用什么方法排出他們的名次？引出平均數，并回顧求平均數的方法。

思考2：呈現三名選手目前的平均得分，排出名次，思考選手A的平均得分96指的是什么，是哪位評委的打分，這幾個評委的打分和這個96分是否有關系。

通過創設貼近學生生活實際的歌唱比賽情境，讓學生在熟悉的背景中感受平均數的應用，回顧平均數的計算方法，重溫平均數的代表性，在探討平均數與實際打分之間關系的過程中，深刻理解平均數并非實際存在的數據點，而是對一組數據整體特征的抽象描述，領悟平均數的虛擬性。

（二）制造懸念，揭示平均數的靈敏性

學生基于四位評委的打分排出了名次，并得出選手C穩奪桂冠。這時引入評委5，讓學生想一想：評委5會給選手C打幾分？他的打分對選手C的成績有何影響？如果他的打分比前面的平均分低，結果會怎么樣？比前面的平均分高又會怎樣？讓學生在想象中感受平均數的靈敏性。隨后亮出評委5的打分——84分，制造強烈的矛盾沖突，引導學生思考此時選手C的平均分大概是多少。再呈現評委5打分前后選手C的得分散點圖（如圖1、圖2），讓學生指一指平均分所在的大概位置，并說一說為什么平均分不在靠近84的地方。

利用散點圖，先呈現四位評委打分后的平均數，再觀察加入評委5的分數后平均數的變化。通過具體的數據變化和平均數的實時計算，直觀地展示了平均數的靈敏性。學生通過觀察和對比分析，深刻感受到數據中任何一個值的變化都會對平均數產生影響，并在教師的指導下，深入思考如何合理利用平均數的靈敏性特點解決實際問題，提升了數據意識和問題解決能力。

（三）解決問題，優化平均數模型

懸殊的打分引發了學生強烈的矛盾沖突，學生不禁思考：為什么評委5會給選手C打這么低的分？選手C現在還能得第一名嗎？教師順勢追問：“對于這樣的情況，你想說什么？對誰說？”學生在交流討論中，意識到當出現極端數據時，將所有數據的平均分作為最終成績的評定是不合理的，因為平均數極易受極端數據的影響，此時的平均數就不具有代表性了。基于此，教師引導學生思考該如何調整比賽規則才能使比賽更公平、更合理，從而引出“去掉最高分和最低分后再算平均數”的評選規則。

學生利用新規則再一次計算三名選手的平均分，發現選手C重新獲得第一名，從而感受到新規則的合理性。教師追問：“除此之外，還有別的方法嗎？”然后繼續優化平均數模型，展示增加評委數量后選手C的得分散點圖（如圖3），標出平均數所在的位置，讓學生直觀感知增加評委數量能減少極端數據的影響，以此體現增加評委數量同樣能夠優化平均數模型。

在引導學生構建和使用平均數模型解決實際問題的過程中，使學生感受到平均數作為數學模型是可以不斷被優化和完善的，以此培養學生的數學建模能力和創新思維，為其在未來的學習和職業生涯中更好地應用數學知識解決實際問題奠定基礎。

（四）應用模型，深化平均數的模型意識

在帶領學生感受了平均數的代表性、虛擬性、靈敏性，優化和完善了平均數模型后，教師繼續引導學生探討確定“公交車免票線”的問題，讓學生以決策者的身份思考確定免票線前需要做的工作，從而體會平均數的統計意義。首先，帶領學生解讀2002年抽樣調查6周歲兒童身高情況的散點分布圖（如圖4），使學生直觀感受平均數處于一組數據的集中區域內，反映一組數據的集中趨勢。在此基礎上，引導學生討論分析：為什么平均數明明是119厘米，卻要將免票線定為120厘米？以使學生體會方便原則，感受國家的良好政策讓更多人享受到了福利，達到數學的教育意義。同時，幫助學生明晰免票線并不是一成不變的，而是會隨著人民生活水平的提高而提高，感悟統計在生活中的應用價值，深化平均數的模型意識。

四、教學思考

本次教學活動的目的是通過創設問題情境、引發矛盾沖突和回顧體悟價值三個維度，引導學生深入理解平均數的四個層次，實現素養提升。

首先，創設問題情境，搭建學生新知建構的起點。選擇貼近學生生活實際的情境——歌唱比賽，讓學生在熟悉的背景中感受平均數的應用。通過回顧平均數的求解方法和意義，搭建學生的認知起點，為他們后續的學習奠定基礎。

其次，引發矛盾沖突，找準新知生長的著力點。通過制造矛盾，如選手C的得分中高分與低分之間的落差，激發學生的探究欲望，引導學生思考極端數據對平均數的影響，感受平均數的靈敏性。在調整評選規則，如去掉最高分和最低分或增加評委數量再算平均數的過程中，使學生感受平均數作為一種數學模型可以被優化和完善，豐富平均數模型。

最后，回顧體悟價值，立足素養培育的落腳點。在辨析比賽的公平性問題時，引導學生直面現實存在，主動想辦法避免干擾，增強學生解決問題的能力。在探討免票線確定的惠民政策時，讓學生經歷數據收集、整理、分析的過程，培養學生的數據意識，同時滲透愛國主義思想，將教學從數學層面擴展到德育層面，提升學生對平均數價值的認識。

總之，平均數的教學應以發展學生的數據意識為核心，以解決實際問題為主線，引導學生在具體的活動中體悟平均數基于統計意義的四個層次。利用借助舊知無法解決現有問題的緊迫性，激發學生的學習動機，實現對平均數局限性的修正，使學生充分感受平均數作為數學模型的重要價值，從而實現素養的提升。

（1.浙江師范大學附屬小學

2.浙江師范大學教育學院）