逐步Ⅰ型混合截尾下逆Lomax分布競爭失效產品的統計分析

摘" 要：在混合截尾樣本數據下，對逆Lomax分布競爭失效產品的統計分析問題進行了研究。首先，基于逆Lomax分布競爭失效產品，利用極大似然理論，推導出未知參數的極大估計；并利用漸近似然理論確定未知參數的近似置信區間。其次，通過設定無信息先驗為未知參數的先驗分布，采用MH抽樣算法求出參數的Bayes估計和HPD可信區間。最后，通過Monte Carlo模擬，計算出參數的均方誤差（MSE）、平均絕對偏差（MAB）、平均區間長度（AL）以及覆蓋率，并對兩種估計方法進行了對比。實驗結果表明，貝葉斯估計優于極大似然估計，在相同置信度下，基于Bayes估計的HPD平均可信區間長度優于MLE的近似置信區間平均區間長度。

關鍵詞：競爭失效；逆Lomax分布；極大似然估計；貝葉斯估計；MH抽樣算法

中圖分類號：TP391；O213.2" 文獻標識碼：A" 文章編號：2096-4706（2025）01-0076-07

Statistical Analysis of Competing Failure Products for Inverse Lomax Distribution under Progressive Type-Ⅰ Hybrid Censoring

Abstract： Under the Hybrid Censoring sample data， this paper studies the statistical analysis problem of competing failure products for inverse Lomax distribution. Firstly， based on the competing failure products for inverse Lomax distribution， it utilizes maximum likelihood theory to obtain the Maximum Likelihood Estimation of unknown parameters， and uses asymptotic likelihood theory to derive the Approximate Confidence Interval of unknown parameters. Secondly， by setting the uninformative prior as the prior distribution of the unknown parameters， the Bayes estimation and HPD Confidence Interval of the parameters are obtained by using the MH sampling algorithm. Finally， through Monte Carlo simulation， the Mean Squared Error （MSE）， Mean Absolute Bias （MAB）， Average Interval Length （AL）， and coverage percentage of the parameters are calculated， and the two estimation methods are compared. The experimental results show that Bayes Estimation is superior to Maximum Likelihood Estimation， and under the same confidence level， the average confidence interval length of HPD based on Bayes estimation is better than the approximate confidence interval average interval length of MLE.

Keywords： competing failure; inverse Lomax distribution; Maximum Likelihood Estimation; Bayes Estimation; MH sampling algorithm

0" 引" 言

在實際應用中，導致產品失效的原因是多種多樣的，例如，引起手機失效的原因可能有電池老化、物理損傷、軟件問題和水分侵入等，如果這些原因中任意一個都能引起產品失效，則這些引起產品失效的原因稱為失效機理，這個產品則稱為競爭失效產品。已有許多學者對競爭失效產品進行了研究。師義民等[1]基于逐步Ⅰ型混合截尾研究Pareto分布競爭失效產品恒定部分加速壽命試驗的統計推斷問題；Aljohani等[2]基于Ⅱ型截尾，在部分步加壽命試驗下，研究了Burr-XⅡ分布競爭失效產品參數估計問題；Ren等[3]在自適應Type-Ⅱ逐步截尾競爭風險數據下，研究Weibull分布未知參數的估計和生存與危險函數；毛松等[4]在各失效模式下壽命均服從指數分布的情況下，建立了競爭失效場合聯合Ⅱ型截尾壽命試驗模型，得到了參數的極大似然估計，并采用Bootstrap給出了參數的區間估計；Abu-Zinadah等[5]基于Ⅱ截尾，在部分步加壽命試驗下，對浴盆形狀產品建立了競爭失效模型，并得出了參數的估計值和區間估計；Wu等[6]基于逐步Ⅰ型混合截尾恒加壽命試驗，得到了未知參數的經典估計和漸近置信區間，基于無信先驗，采用Gibbs采樣算法獲得兩貝葉斯估計和HPD可信區間；王燕等[7]基于Marshall-Olkin擴展指數分布的逐步Ⅱ型截尾壽命試驗競爭失效模型，對未知參數的估計問題進行了研究。

逆Lomax分布是重要的壽命分布之一，是第二類廣義貝塔分布的一個實例，可用于具有遞減失效率的元件壽命的隨機模型。關于逆Lomax分布的研究，Singh等[8]在Ⅱ型截尾方案下，研究了逆Lomax分布（ILD）的參數、可靠性和危險函數的經典估計和貝葉斯估計問題，并通過一個現實生活中的應用來說明這一研究在現實生活中的應用；Yasser等[9]對逆Lomax分布下步進應力部分加速壽命試驗的參數估計問題進行了研究；Bantan等[10]研究了多重截尾數據下逆Lomax分布的Rényi熵和q熵的估計；黃亞楠[11]研究了逆Lomax分布可靠度R的統計推斷問題；Ramadan等[12]基于逐步首次失效，研究了逆Lomax分布多應力強度模型可靠性的參數估計問題；Rahman等[13]研究了參數未知時兩元件逆Lomax分布的混合模型問題；Jan[14]利用正態近似、Tierney和Kadane（T-K）近似等各種近似技術研究逆Lomax分布的形狀參數的行為，在這些近似技術下，考慮了不同的信息先驗和非信息先驗來獲得逆Lomax分布參數的Bayes估計，此外，還使用模擬技術和真實生活數據集對在這些先驗下獲得的估計進行了比較。近年來，逆Lomax分布在可靠性、地球物理應用分析、經濟學和精算科學等諸多領域都有應用[15-16]。

本文研究基于混合截尾樣本，對逆Lomax分布在競爭失效產品中的統計分析進行了探討。研究采用極大似然估計（MLE）和貝葉斯估計（BE）方法對未知參數進行了分析，同時通過Monte Carlo模擬比較了這兩種估計方法的效果。研究結果顯示，貝葉斯估計優于極大似然估計，且在相同置信水平下，貝葉斯方法的HPD可信區間長度較近似置信區間更短。

1" 基本假定與模型描述

1.1" 基本假定

以下列出了本章討論需要用的基本假設：

1）產品的失效是由兩個互相獨立的失效機理之一引起。

2）假設失效機理j引起的失效時間為Tj （ j = 1，2）。產品的壽命為2個失效機理的最小發生時間即T = min（T1，T2）。其壽命服從形狀參數為αj （ j=1，2）， 尺度參數為λj （ j = 1，2）的逆Lomax分布，其中分布函數和概率密度函數分別為：

1.2" 模型描述

情形1：t1＜t2＜…＜tm，tm≤τ。

情形2：t1＜t2＜…＜τ＜…＜tm，tm＞τ。

2" 極大似然估計（MLE）和區間估計

2.1" 極大似然估計

基于觀測樣本t = （t1，t2，…，），參數αj，λj（ j = 1，2）的似然函數為：

對式（4）取對數可得對數似然函數為：

其中：

對式（5）分別關于αj、λj求偏導，并令其等于0，有：

2.2" 近似置信區間

利用極大似然估計（MLE）的漸近正態性，可以推導出每個未知參數的近似置信區間（ACI），首先需要計算MLE的觀測Fisher信息矩陣，定義參數θ（θ1，θ2，θ3，θ4）=（α1，α2，λ1，λ2），對式（6）、式（7）關于參數θ求二階導，即可得到觀測Fisher信息矩陣如下：

可以得到具體的觀測Fisher矩陣的元素：

其中，zγ/2是標準正態分布的γ/2分位點。

由Delta[17]方法來求得，因此，參數的100（1-γ）%對數漸近置信區間為：

以這種方式，可以避免下限小于0的情況。

3" Bayes分析

3.1" Bayes估計

本節利用貝葉斯估計方法來估計參數。

參照文獻[18]中的先驗選取方法，取未知參數的先驗分布為無信息先驗分布，則的聯合先驗分布為：

可以得到參數的聯合后驗密度函數：

省略常數項，聯合式（3）、式（8），最終的聯合后驗密度函數為：

對于參數的興趣函數，在平方損失函數下的貝葉斯估計為：

可以看出式（11）是個多重積分，由于多重積分的顯式計算較為困難，本文采用MH抽樣算法來解決這一問題。

3.2" MH抽樣算法

運用MH抽樣算法[19]進行參數的貝葉斯估計，需計算未知參數的條件后驗密度函數。

利用聯合后驗密度函數分別對求積分，得到的滿條件后驗密度函數分別為：

由于式（12）、式（13）形式復雜，因此計算后驗估計很困難。需要使用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法從參數的后驗分布中抽樣，通過這些樣本來計算參數的貝葉斯估計和最高后驗密度（HPD）可信區間，使用MH算法進行抽樣的步驟如下：

1）設定為參數的初始值，i = 1。

2）設i = i+1。

3）從建議分布中產生一個候選點θ*；從均勻分布U（0，1）中產生一個值u。

4）計算接受概率：

若u≤γ，接受θ（i-1） = w*；否則θ* = θ（i-1）。

5）重復步驟2）～4），直到i = N。

6）根據步驟1）～5）可獲得序列θ（i），即參數的貝葉斯估計為：

7）將得到的所有分別按升序排列為：

設定顯著性水平為γ，當0＜γ＜1時，置信度為100（1-γ）%的區間估計為：

選取步驟7）中最短的區間作為參數的HPD可信區間。

4" 數值模擬

在本節中，為了評估這些方法的有效性進行數值模擬實驗，比較經典估計和貝葉斯估計的優良性，通過1 000次模擬，計算兩種不同估計的均方誤差（MSE）與平均絕對偏差（MAB），以及在95%置信水平近似置信區間與HPD可信區間等評價指標。其中MSE和MAB的計算式分別為：

在給定參數初始值（α1，α2，λ1，λ2） = （0.6，1，1.3，0.9），基于不同樣本量和不同的移走方案進行試驗，具體試驗移走方案如下所示。為比較不同樣本量對估計精度的影響，對（n，m）分別取（30，12）、（50，30）和（80，48）。在不同的移除方案和不同樣本量下，參數的模擬結果如表1和表2所示。

本文采用如下3種移走方案：

方案1：

方案2：

方案3：

由表1和表2的數據可以得到以下結論：

1）從總體上看，在三種不同移走方案下，參數的兩種估計方法的MSE隨著樣本量的增大而減小，方案3的估計效果比方案1和方案2的估計效果更穩定。

2）在三種移除方案下，當產品數量相等時，MH抽樣算法的貝葉斯估計方法的均方誤差（MSE）和平均絕對偏差（MAB）均顯著小于極大似然估計，突顯了貝葉斯方法的優越性。這表明在各種移除方案中，使用貝葉斯方法能更準確地估計參數。

3）隨著試驗樣本數量的增加，可以觀察到兩種區間估計的平均長度普遍減少，但方案3的估計效果比方案1和方案2的估計效果更穩定，在相同產品數量和相同的移走方案下，HPD可信區間的平均長度明顯短于平均近似置信區間，因此在95%的置信水平下，HPD可信區間整體優于近似置信區間

5" 結" 論

本章針對逆Lomax分布下競爭失效產品的統計分析問題，在逐步Ⅰ型混合截尾的條件下展開了研究。在假設失效機理獨立的情形下，首先給出模型描述和基本假定，根據觀測到的數據，建立模型參數的似然函數，利用Newton-Raphson算法，求出模型參數的極大似然估計，同時確定了參數的近似置信區間。然后，使用無信息先驗分布和平方損失函數，通過MH算法對模型參數進行貝葉斯估計，從而計算出了最大后驗密度可信區間。最后，通過對數值模擬比較參數的極大似然估計和Bayes估計的效果。模擬結果表明：總體上在三種不同移走方案下，產品數量相同時，MH抽樣算法得到的Bayes估計顯示，其均方誤差和平均絕對偏差均優于極大似然估計；HPD平均可信區間比平均近似置信區間長度更窄，方案3的估計效果比方案1和方案2的估計效果更穩定。

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