區(qū)間二型模糊PD控制器的參數(shù)設(shè)計(jì)方法

摘" 要：區(qū)間二型模糊PD控制器能夠很好地克服系統(tǒng)不確定性帶來的影響，因?yàn)閰^(qū)間二型模糊系統(tǒng)中FOU的寬度可以影響控制器性能。以往都是根據(jù)人為經(jīng)驗(yàn)來確定FOU的寬度，但其設(shè)計(jì)難度會(huì)隨著輸入函數(shù)的增多而增大。因此，提出了一種利用遺傳算法來設(shè)計(jì)FOU寬度的方法，選取時(shí)間乘誤差的積分與超調(diào)量的和構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，通過算法不斷的迭代優(yōu)化得出目標(biāo)函數(shù)值最小所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)FOU寬度。為了評(píng)估所提出算法的有效性，在兩種典型狀態(tài)下將其與傳統(tǒng)PID控制器、常規(guī)區(qū)間二型模糊PD控制器進(jìn)行比較分析。實(shí)驗(yàn)表明，所提出的優(yōu)化策略具有較快的調(diào)節(jié)時(shí)間和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

關(guān)鍵詞：區(qū)間二型模糊；FOU；遺傳算法；PD

中圖分類號(hào)：TP273+.4" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：2096-4706（2025）01-0066-05

Parameter Design Method for Interval Type-2 Fuzzy PD Controller

Abstract： The Interval Type-2 Fuzzy PD controller can effectively overcome the impact of system uncertainty， because the width of FOU in the Interval Type-2 Fuzzy system can affect the performance of the controller. Traditionally， the width of the FOU is determined based on human experience， but its design difficulty will increase with the increase of input function. Therefore， a method utilizing Genetic Algorithm to design the FOU width is proposed. The Integrated Time Absolute Error and the sum of overshoot are selected to construct the objective function， and the optimal FOU width corresponding to the minimum objective function value is obtained through the continuous iterative optimization of the algorithm. In order to evaluate the effectiveness of the proposed algorithm， it is compared with the traditional PID controller and the conventional Interval Type-2 Fuzzy PD controller in two typical conditions. Experiments show that the proposed optimization strategy has faster adjustment time and smaller steady-state error.

Keywords： Interval Type-2 Fuzzy; FOU; Genetic Algorithm; PD

0" 引" 言

模糊邏輯控制被廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)，如機(jī)器人技術(shù)、醫(yī)療行業(yè)、航空航天、環(huán)境監(jiān)測與控制、汽車行業(yè)等。一型模糊邏輯控制是由Mamdani等在Zadeh的模糊邏輯理論基礎(chǔ)上首次提出的控制方法[1-2]。由于經(jīng)典數(shù)學(xué)能夠描述現(xiàn)實(shí)世界中的準(zhǔn)確概念，但對(duì)自然界中非量化的模糊現(xiàn)象的描述就顯得力不從心，模糊數(shù)學(xué)就是在這樣的現(xiàn)實(shí)需求下應(yīng)運(yùn)而生的。從此，模糊數(shù)學(xué)正式走進(jìn)了人們的視野，能夠利用人類的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，將直覺推理納入決策過程，從而處理生活中各種不確定性和模糊性的問題。一型模糊邏輯控制提供了一種由專家經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造語言信息并將其轉(zhuǎn)化為控制策略的系統(tǒng)方法，能夠解決許多復(fù)雜而無法建立精確數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的控制問題。

由于一型模糊控制系統(tǒng)在處理復(fù)雜的不確定性問題時(shí)仍然存在一定的局限性[3]，Zadeh在1975年將一型模糊集合進(jìn)一步擴(kuò)展為二型模糊集合[4]。二型模糊集合在一型模糊集合的基礎(chǔ)上，將隸屬度函數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)區(qū)間范圍，因此二型模糊系統(tǒng)在控制領(lǐng)域得到了越來越多的關(guān)注，特別是區(qū)間二型模糊系統(tǒng)（Interval Type-2 Fuzzy System， IT2-FS）[5]。區(qū)間二型模糊系統(tǒng)中的不確定性軌跡（Footprint of Uncertainty， FOU）由上下隸屬函數(shù)（Lower Membership Function， LMF）組成[6]，因此相比于一型模糊函數(shù)，其處理不確定性問題的能力更強(qiáng)。研究者們將區(qū)間二型模糊控制應(yīng)用于各行各業(yè)，與傳統(tǒng)的一型模糊控制相比體現(xiàn)出了較好的效果。例如，Al-Mahturi等[7]利用區(qū)間二型模糊實(shí)現(xiàn)了對(duì)四旋翼的控制；Huang等[8]用區(qū)間二型模糊邏輯方法解決了欠驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)兩輪倒立擺模型的不確定性和外部干擾問題；Ren等[9]通過區(qū)間二型函數(shù)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)不確定性的補(bǔ)償，保證了主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性；Kumar等[10]提出了耦合的新型混合區(qū)間二型模糊邏輯控制器，以解決高度非線性的復(fù)雜機(jī)器人機(jī)械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題；Huang等[11]將區(qū)間二型模糊控制器應(yīng)用于移動(dòng)輪式倒立擺控制上，使系統(tǒng)達(dá)到了很好的控制效果。

但是，在上述區(qū)間二型模糊控制器中，隸屬函數(shù)的FOU寬度都是根據(jù)先驗(yàn)的專家經(jīng)驗(yàn)設(shè)定的固定值。其設(shè)定難度隨著輸入函數(shù)數(shù)量的增加而增加。本文采用遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）對(duì)區(qū)間二型模糊PD控制器中隸屬函數(shù)的FOU寬度進(jìn)行設(shè)計(jì)，以期得到一種快速設(shè)計(jì)區(qū)間二型模糊PD控制器參數(shù)的方法。由于FOU寬度受模糊函數(shù)上下隸屬函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，在此基礎(chǔ)上將優(yōu)化FOU寬度轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)的上下隸屬函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。因在模糊隸屬函數(shù)中上隸屬函數(shù)（Upper Membership Function， UMF）的標(biāo)準(zhǔn)差要始終大于下隸屬函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，所以在設(shè)置尋優(yōu)參數(shù)時(shí)，隸屬函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于下隸屬函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差加上一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差變化量。為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性，通過選取時(shí)間乘誤差的積分（Integrated Time Absolute Error， ITAE）與超調(diào)量之和構(gòu)建最終的目標(biāo)函數(shù)，合理地選擇遺傳算法中的各項(xiàng)參數(shù)指標(biāo)值。

1" 區(qū)間二型模糊PD控制器

區(qū)間二型模糊控制器得到了廣泛的應(yīng)用。與一型控制器相比，二型模糊控制器具有FOU特性，最終得到的值為一個(gè)區(qū)間值，因此區(qū)間二型模糊比一型模糊多一個(gè)最終降階的環(huán)節(jié)。區(qū)間二型模糊PD（Interval Type-2 Fuzzy PD， IT2-FPD）控制器的框圖如圖1所示。模糊控制器的輸入端為期望值R（t）與輸出值Y（t）之間的誤差e（t）和誤差變化率ec（t），u為系統(tǒng)的輸出控制量，K為模糊控制器的輸出比例因子。

圖1中區(qū)間二型模糊系統(tǒng)選用了高斯型隸屬函數(shù)。當(dāng)高斯型隸屬函數(shù)具有固定的均值m，標(biāo)準(zhǔn)差σ被模糊到區(qū)間[σL，σU]范圍時(shí)得到如圖2所示的高斯隸屬圖。

其表達(dá)式如式（1）所示：

由圖2可知，橫坐標(biāo)為輸入值x，縱坐標(biāo)為隸屬度μ，IT2-FS的FOU寬度由模糊函數(shù)的下隸屬函數(shù)和上隸屬函數(shù)組成，σL表示LMF的標(biāo)準(zhǔn)差值，σU表示UMF的標(biāo)準(zhǔn)差。σL和σU的大小決定了模糊函數(shù)FOU寬度，在 處不同σ對(duì)應(yīng)不同的隸屬度μL和μU，表示輸入值為 時(shí)，隸屬于該模糊子集的隸屬度為[μL，μU]。由此可得模糊函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ與模糊隸屬度μ之間存在：

圖1中兩個(gè)輸入隸屬度函數(shù)e（t）、ec（t）以及控制輸出量均由五個(gè)模糊子集構(gòu)成，即{NB，NS，Z，PS，PB}對(duì)應(yīng){負(fù)大，負(fù)小，零，正小，正大}。輸入模糊論域均為[-1，1]，輸出變量的模糊論域?yàn)閇-4，4]。在模糊邏輯中，模糊規(guī)則表示了輸入和輸出之間的模糊關(guān)系，由專家經(jīng)驗(yàn)知識(shí)可知[12]，對(duì)于p個(gè)輸入變量和一個(gè)輸出變量，區(qū)間二型模糊控制系統(tǒng)的輸入與輸出模糊規(guī)則如表1所示。

其表達(dá)式如式（3）所示：

由圖2可知，不同的e（t）、ec（t）輸入值隸屬于該模糊子集的隸屬度不同，則第n條規(guī)則的上下激活強(qiáng)度fn由e（t）、ec（t）兩者的模糊隸屬度乘積得到：

由式（2）和式（4）可知，第n條規(guī)則的激活強(qiáng)度fn與模糊函數(shù)上下隸屬函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ之間存在：

需對(duì)式（4）的區(qū)間值進(jìn)行降型處理，以得到一型模糊集。經(jīng)典的降型縮減方法如KM算法但其迭代次數(shù)較大，在系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制過程中很難保證實(shí)時(shí)更新，從而影響控制器的性能。為提高控制器的效率，通過Nie-Tan（NT）[13]直接去模糊方法，將式（4）中的區(qū)間值降為一型，則最終控制輸出量為：

其中，yn表示第n條規(guī)則的一個(gè)清晰值。由式（5）和式（6）可知，輸出值Y（t）與模糊函數(shù)上下隸屬函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σ之間存在：

2" 基于遺傳算法的參數(shù)優(yōu)化方法

由式（8）可知輸出值Y（t）、期望值R（t）之間的誤差e（t）與兩個(gè)輸入函數(shù)的σ之間存在：

為使控制器具有較快的調(diào)節(jié)時(shí)間、較小的穩(wěn)態(tài)誤差以及超調(diào)量（p）最小，p反映了系統(tǒng)響應(yīng)在到達(dá)期望值前超過期望值的程度，較小的超調(diào)量體現(xiàn)出系統(tǒng)的振蕩或過沖程度較小，系統(tǒng)對(duì)給定輸入信號(hào)的過渡更加平穩(wěn)。時(shí)間乘誤差的積分表示在某一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)期望值與輸出值之間的誤差乘以時(shí)間的累積值，該值既能體現(xiàn)出系統(tǒng)到達(dá)期望值的調(diào)節(jié)時(shí)間又能體現(xiàn)出系統(tǒng)在某一時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差。因此本文選用ITAE與系統(tǒng)最大p之間的和作為適應(yīng)度函數(shù)，該值越小則表示系統(tǒng)的控制性越好，其表達(dá)式如式（9）所示：

3" 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

為驗(yàn)證所提控制策略的有效性，選用四軸飛行器姿態(tài)部分中的垂直通道作為被控對(duì)象，其傳遞函數(shù)[14]如式（10）所示：

在MATLAB/Simulink環(huán)境下進(jìn)行四軸飛行器控制系統(tǒng)的仿真，假設(shè)四軸飛行器的初始質(zhì)量為0.5 kg，四軸飛行器的懸停垂直高度期望為1 m。將基于遺傳算法的區(qū)間二型模糊PD控制器（GA Interval Type 2 Fuzzy PD Controller， GA-IT2F-PDC）分別在兩種典型狀態(tài)下與傳統(tǒng)PID控制器（Traditional PID Contro-ller， PIDC）、常規(guī)區(qū)間二型模糊PD控制器（Interval Type 2 Fuzzy PD Controller， IT2F-PDC）對(duì)比控制效果。選擇系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間（ts）、時(shí)間乘以誤差的積分（ITAE），以及時(shí)間加權(quán)乘以誤差平方的積分（ITSE）指標(biāo)作為衡量控制系統(tǒng)性能的指標(biāo)。ts能夠反映出系統(tǒng)從輸入信號(hào)開始后最終穩(wěn)定在期望值附近所用的時(shí)間，ts越小表示控制器的快速性越好。ITAE和ITSE兩者都對(duì)系統(tǒng)開始階段的誤差具有較大的權(quán)重，因而更能夠同時(shí)體現(xiàn)出控制器的快速性和穩(wěn)定性。

3.1" 理想狀態(tài)下

在理想狀態(tài)下對(duì)控制器的性能進(jìn)行驗(yàn)證，即沒有任何擾動(dòng)或其他不確定性因素的影響。將幅度為1 m的階躍參考信號(hào)輸入到控制器中，四軸飛行器高度控制的動(dòng)態(tài)響應(yīng)圖以及性能指標(biāo)參數(shù)如圖3和表3所示。

由圖3和表3可知，GA-IT2F-PDC調(diào)節(jié)時(shí)間為0.43 s，比PIDC提高了60.5%、比IT2F-PDC提高了46.9%。其時(shí)間乘以誤差的積分（ITAE）為1.158 7，比PIDC減少了85.8%，比IT2F-PDC減少了70.1%，ITSE為0.269 7，比PIDC減少了87.9%，比IT2F-PDC減少了67.2%，由此可知在理想情況下GA-IT2F-PDC與PIDC和IT2F-PDC相比，能夠使系統(tǒng)快速地到達(dá)期望位置并且穩(wěn)定之后的穩(wěn)態(tài)誤差最小。因此所提的方法能夠讓四旋翼在懸停飛行執(zhí)行工作過程中具有較高的效率。

3.2" 加入階躍干擾

為驗(yàn)證控制器在應(yīng)對(duì)輸入端突然干擾時(shí)響應(yīng)效果，在2 s時(shí)加入一個(gè)0.2的階躍函數(shù)作為高度值干擾，系統(tǒng)高度控制的動(dòng)態(tài)響應(yīng)圖以及性能指標(biāo)參數(shù)如圖4和表4所示。

由圖4和表4可知，當(dāng)系統(tǒng)的垂直高度通道在運(yùn)行過程中遇到突發(fā)的輸入端高度值干擾時(shí)，一旦干擾消除，GA-IT2F-PDC能夠快速回到原來的位置上，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.74 s，比PIDC提高了30.2%，比IT2F-PDC提高了21.3%，GA-IT2F-PDC的時(shí)間乘以誤差的積分（ITAE）為10.903 3、ITSE為1.172 3，均低于其他兩者。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)四旋翼遇到干擾后，GA-IT2F-PDC能夠使其以較快的速度回到期望的位置并穩(wěn)定懸停飛行。

4" 結(jié)" 論

針對(duì)區(qū)間二型模糊PD控制器的性能受FOU的影響，其設(shè)計(jì)難度隨著輸入函數(shù)的增多而變大的問題，本文通過優(yōu)化算法來尋找上下隸屬函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，從而形成合適的FOU，能夠快速得到一組合適的區(qū)間二型模糊PD控制器參數(shù)值。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，在理想狀態(tài)和外部干擾條件下，所提出的優(yōu)化策略的性能均優(yōu)于PIDC和IT2F-PDC，使得系統(tǒng)具有較好的快速性和穩(wěn)定性，為飛行器高度控制應(yīng)用提供了一個(gè)有效的選擇。

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