區間二型模糊PD控制器的參數設計方法

摘" 要：區間二型模糊PD控制器能夠很好地克服系統不確定性帶來的影響，因為區間二型模糊系統中FOU的寬度可以影響控制器性能。以往都是根據人為經驗來確定FOU的寬度，但其設計難度會隨著輸入函數的增多而增大。因此，提出了一種利用遺傳算法來設計FOU寬度的方法，選取時間乘誤差的積分與超調量的和構建目標函數，通過算法不斷的迭代優化得出目標函數值最小所對應的最優FOU寬度。為了評估所提出算法的有效性，在兩種典型狀態下將其與傳統PID控制器、常規區間二型模糊PD控制器進行比較分析。實驗表明，所提出的優化策略具有較快的調節時間和較小的穩態誤差。

關鍵詞：區間二型模糊；FOU；遺傳算法；PD

中圖分類號：TP273+.4" 文獻標識碼：A" 文章編號：2096-4706（2025）01-0066-05

Parameter Design Method for Interval Type-2 Fuzzy PD Controller

Abstract： The Interval Type-2 Fuzzy PD controller can effectively overcome the impact of system uncertainty， because the width of FOU in the Interval Type-2 Fuzzy system can affect the performance of the controller. Traditionally， the width of the FOU is determined based on human experience， but its design difficulty will increase with the increase of input function. Therefore， a method utilizing Genetic Algorithm to design the FOU width is proposed. The Integrated Time Absolute Error and the sum of overshoot are selected to construct the objective function， and the optimal FOU width corresponding to the minimum objective function value is obtained through the continuous iterative optimization of the algorithm. In order to evaluate the effectiveness of the proposed algorithm， it is compared with the traditional PID controller and the conventional Interval Type-2 Fuzzy PD controller in two typical conditions. Experiments show that the proposed optimization strategy has faster adjustment time and smaller steady-state error.

Keywords： Interval Type-2 Fuzzy; FOU; Genetic Algorithm; PD

0" 引" 言

模糊邏輯控制被廣泛應用于各行各業，如機器人技術、醫療行業、航空航天、環境監測與控制、汽車行業等。一型模糊邏輯控制是由Mamdani等在Zadeh的模糊邏輯理論基礎上首次提出的控制方法[1-2]。由于經典數學能夠描述現實世界中的準確概念，但對自然界中非量化的模糊現象的描述就顯得力不從心，模糊數學就是在這樣的現實需求下應運而生的。從此，模糊數學正式走進了人們的視野，能夠利用人類的經驗和知識，將直覺推理納入決策過程，從而處理生活中各種不確定性和模糊性的問題。一型模糊邏輯控制提供了一種由專家經驗構造語言信息并將其轉化為控制策略的系統方法，能夠解決許多復雜而無法建立精確數學模型系統的控制問題。

由于一型模糊控制系統在處理復雜的不確定性問題時仍然存在一定的局限性[3]，Zadeh在1975年將一型模糊集合進一步擴展為二型模糊集合[4]。二型模糊集合在一型模糊集合的基礎上，將隸屬度函數變為一個區間范圍，因此二型模糊系統在控制領域得到了越來越多的關注，特別是區間二型模糊系統（Interval Type-2 Fuzzy System， IT2-FS）[5]。區間二型模糊系統中的不確定性軌跡（Footprint of Uncertainty， FOU）由上下隸屬函數（Lower Membership Function， LMF）組成[6]，因此相比于一型模糊函數，其處理不確定性問題的能力更強。研究者們將區間二型模糊控制應用于各行各業，與傳統的一型模糊控制相比體現出了較好的效果。例如，Al-Mahturi等[7]利用區間二型模糊實現了對四旋翼的控制；Huang等[8]用區間二型模糊邏輯方法解決了欠驅動的移動兩輪倒立擺模型的不確定性和外部干擾問題；Ren等[9]通過區間二型函數設計實現了對系統不確定性的補償，保證了主動磁懸浮軸承系統的漸進穩定性；Kumar等[10]提出了耦合的新型混合區間二型模糊邏輯控制器，以解決高度非線性的復雜機器人機械臂系統的軌跡跟蹤問題；Huang等[11]將區間二型模糊控制器應用于移動輪式倒立擺控制上，使系統達到了很好的控制效果。

但是，在上述區間二型模糊控制器中，隸屬函數的FOU寬度都是根據先驗的專家經驗設定的固定值。其設定難度隨著輸入函數數量的增加而增加。本文采用遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）對區間二型模糊PD控制器中隸屬函數的FOU寬度進行設計，以期得到一種快速設計區間二型模糊PD控制器參數的方法。由于FOU寬度受模糊函數上下隸屬函數標準差的影響，在此基礎上將優化FOU寬度轉化為尋找最優的上下隸屬函數的標準差。因在模糊隸屬函數中上隸屬函數（Upper Membership Function， UMF）的標準差要始終大于下隸屬函數的標準差，所以在設置尋優參數時，隸屬函數的標準差等于下隸屬函數的標準差加上一個標準差變化量。為保證系統的穩定性和快速性，通過選取時間乘誤差的積分（Integrated Time Absolute Error， ITAE）與超調量之和構建最終的目標函數，合理地選擇遺傳算法中的各項參數指標值。

1" 區間二型模糊PD控制器

區間二型模糊控制器得到了廣泛的應用。與一型控制器相比，二型模糊控制器具有FOU特性，最終得到的值為一個區間值，因此區間二型模糊比一型模糊多一個最終降階的環節。區間二型模糊PD（Interval Type-2 Fuzzy PD， IT2-FPD）控制器的框圖如圖1所示。模糊控制器的輸入端為期望值R（t）與輸出值Y（t）之間的誤差e（t）和誤差變化率ec（t），u為系統的輸出控制量，K為模糊控制器的輸出比例因子。

圖1中區間二型模糊系統選用了高斯型隸屬函數。當高斯型隸屬函數具有固定的均值m，標準差σ被模糊到區間[σL，σU]范圍時得到如圖2所示的高斯隸屬圖。

其表達式如式（1）所示：

由圖2可知，橫坐標為輸入值x，縱坐標為隸屬度μ，IT2-FS的FOU寬度由模糊函數的下隸屬函數和上隸屬函數組成，σL表示LMF的標準差值，σU表示UMF的標準差。σL和σU的大小決定了模糊函數FOU寬度，在 處不同σ對應不同的隸屬度μL和μU，表示輸入值為 時，隸屬于該模糊子集的隸屬度為[μL，μU]。由此可得模糊函數標準差σ與模糊隸屬度μ之間存在：

圖1中兩個輸入隸屬度函數e（t）、ec（t）以及控制輸出量均由五個模糊子集構成，即{NB，NS，Z，PS，PB}對應{負大，負小，零，正小，正大}。輸入模糊論域均為[-1，1]，輸出變量的模糊論域為[-4，4]。在模糊邏輯中，模糊規則表示了輸入和輸出之間的模糊關系，由專家經驗知識可知[12]，對于p個輸入變量和一個輸出變量，區間二型模糊控制系統的輸入與輸出模糊規則如表1所示。

其表達式如式（3）所示：

由圖2可知，不同的e（t）、ec（t）輸入值隸屬于該模糊子集的隸屬度不同，則第n條規則的上下激活強度fn由e（t）、ec（t）兩者的模糊隸屬度乘積得到：

由式（2）和式（4）可知，第n條規則的激活強度fn與模糊函數上下隸屬函數標準差σ之間存在：

需對式（4）的區間值進行降型處理，以得到一型模糊集。經典的降型縮減方法如KM算法但其迭代次數較大，在系統的實時控制過程中很難保證實時更新，從而影響控制器的性能。為提高控制器的效率，通過Nie-Tan（NT）[13]直接去模糊方法，將式（4）中的區間值降為一型，則最終控制輸出量為：

其中，yn表示第n條規則的一個清晰值。由式（5）和式（6）可知，輸出值Y（t）與模糊函數上下隸屬函數的標準差σ之間存在：

2" 基于遺傳算法的參數優化方法

由式（8）可知輸出值Y（t）、期望值R（t）之間的誤差e（t）與兩個輸入函數的σ之間存在：

為使控制器具有較快的調節時間、較小的穩態誤差以及超調量（p）最小，p反映了系統響應在到達期望值前超過期望值的程度，較小的超調量體現出系統的振蕩或過沖程度較小，系統對給定輸入信號的過渡更加平穩。時間乘誤差的積分表示在某一段時間內系統期望值與輸出值之間的誤差乘以時間的累積值，該值既能體現出系統到達期望值的調節時間又能體現出系統在某一時刻的穩態誤差。因此本文選用ITAE與系統最大p之間的和作為適應度函數，該值越小則表示系統的控制性越好，其表達式如式（9）所示：

3" 實驗仿真與分析

為驗證所提控制策略的有效性，選用四軸飛行器姿態部分中的垂直通道作為被控對象，其傳遞函數[14]如式（10）所示：

在MATLAB/Simulink環境下進行四軸飛行器控制系統的仿真，假設四軸飛行器的初始質量為0.5 kg，四軸飛行器的懸停垂直高度期望為1 m。將基于遺傳算法的區間二型模糊PD控制器（GA Interval Type 2 Fuzzy PD Controller， GA-IT2F-PDC）分別在兩種典型狀態下與傳統PID控制器（Traditional PID Contro-ller， PIDC）、常規區間二型模糊PD控制器（Interval Type 2 Fuzzy PD Controller， IT2F-PDC）對比控制效果。選擇系統的調節時間（ts）、時間乘以誤差的積分（ITAE），以及時間加權乘以誤差平方的積分（ITSE）指標作為衡量控制系統性能的指標。ts能夠反映出系統從輸入信號開始后最終穩定在期望值附近所用的時間，ts越小表示控制器的快速性越好。ITAE和ITSE兩者都對系統開始階段的誤差具有較大的權重，因而更能夠同時體現出控制器的快速性和穩定性。

3.1" 理想狀態下

在理想狀態下對控制器的性能進行驗證，即沒有任何擾動或其他不確定性因素的影響。將幅度為1 m的階躍參考信號輸入到控制器中，四軸飛行器高度控制的動態響應圖以及性能指標參數如圖3和表3所示。

由圖3和表3可知，GA-IT2F-PDC調節時間為0.43 s，比PIDC提高了60.5%、比IT2F-PDC提高了46.9%。其時間乘以誤差的積分（ITAE）為1.158 7，比PIDC減少了85.8%，比IT2F-PDC減少了70.1%，ITSE為0.269 7，比PIDC減少了87.9%，比IT2F-PDC減少了67.2%，由此可知在理想情況下GA-IT2F-PDC與PIDC和IT2F-PDC相比，能夠使系統快速地到達期望位置并且穩定之后的穩態誤差最小。因此所提的方法能夠讓四旋翼在懸停飛行執行工作過程中具有較高的效率。

3.2" 加入階躍干擾

為驗證控制器在應對輸入端突然干擾時響應效果，在2 s時加入一個0.2的階躍函數作為高度值干擾，系統高度控制的動態響應圖以及性能指標參數如圖4和表4所示。

由圖4和表4可知，當系統的垂直高度通道在運行過程中遇到突發的輸入端高度值干擾時，一旦干擾消除，GA-IT2F-PDC能夠快速回到原來的位置上，調節時間為0.74 s，比PIDC提高了30.2%，比IT2F-PDC提高了21.3%，GA-IT2F-PDC的時間乘以誤差的積分（ITAE）為10.903 3、ITSE為1.172 3，均低于其他兩者。由實驗結果可知，當四旋翼遇到干擾后，GA-IT2F-PDC能夠使其以較快的速度回到期望的位置并穩定懸停飛行。

4" 結" 論

針對區間二型模糊PD控制器的性能受FOU的影響，其設計難度隨著輸入函數的增多而變大的問題，本文通過優化算法來尋找上下隸屬函數標準差，從而形成合適的FOU，能夠快速得到一組合適的區間二型模糊PD控制器參數值。實驗仿真結果表明，在理想狀態和外部干擾條件下，所提出的優化策略的性能均優于PIDC和IT2F-PDC，使得系統具有較好的快速性和穩定性，為飛行器高度控制應用提供了一個有效的選擇。

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